应用泛函分析复习.pdf

1、 1第一章 实分析概要 本章将简要的介绍数学分析与实变函数的一些 基础知识，特别是点集的勒贝格测度 与 勒贝格积分理论。这些知识不仅是学习泛函分析的必要准备，而且在数学及其它学科中有直接的应用。 第一节 集合及其运算 第二节 实数的完备性 第三节 可数集与不可数集 第四节 直线上的点集与连续函数 第五节 点集的勒贝格测度 与可测函数 2第六节 勒贝格积分 第一节 集合及其运算 1） ;, AAAAAA = 2） =AAA ,= ； 3）若 BA ，则 ； = BAABABBA ,4) 设 X 为基本集，则 CBABAA = ,CCCCAAAXAA = )(, BACCBA 。 又若 ，则集合的

2、运算法则： 3ABB交换律 AABBA = ,CBAC ； 结合律 BACBA = )()(CBAC； BACBA = )()()()()( CBC； 分配律 ACBA = ； )()()( CBC ACBA )()()( CBC= ； ACBA = . 定理 1.1 设 X 为基本集， 为任意集组，则 ACICIAA )()( = IUCICA )()= U1) (1.6) 2) (1.7) IA(IBABAA I)( = 第二节 实数的完备性 2.1 有理数的稠密性 2.2 实数的完备性定理 定义 2.1 (闭区间套 ) 4设 是一列闭区间，),2,1(, L=nbann nnba 定义

3、2.4 (确界 ) 设 A是一个数集， M 是 A的一个上 （下） 界。 如果对任意的 ， 必存在6A中的数 ，使得x )( MxMx ，那么就称 M 为数集 A的 上（下）确界。 定理 2.5 确界存在定理 (不讲 ) 由上（下）界的数集必有上（下）确界。 定义 2.5 (覆盖 ) 设 是一个闭区间， ,ab |aaI=是一个区间族，其中区间a 可以是开的， 闭的或者半开半闭的， 而指标集 I 可以是有限集， 也可以是无限集。 如果 中的每一点必,ab含于区间族 的某一区间a 之中，那么就称 覆盖 区间 ，或者区间 被 覆盖 。 ,ab ,ab ,ab定理 2.6 （有限 覆盖 定理 ） (

4、不讲 ) 若闭区间 被区间族 覆盖，则能从 中选出有限个开区间覆盖 。 ,ab7上面我们介绍了刻画实数完备性的六个定 理，它们是按这样的逻辑顺序进行的：从 定理2.1 (区间套定理 )出发，推出 定理 2.2 （ 列紧性定理） ，又从定理 2.2 推出 定理 2.3 柯西（ Cauchy）收敛原理 (完备性定理 )， 又从定理 2.3 推出 定理 2.4 (单调收敛定理 )， 又从定理 2.4 推出 定理 2.5 确界存在定理 )， 最后，从定理 2.5 推出 定理 2.6 （有限 覆盖 定理 ） 第三节 可数集与不可数集 3.1 映射 定义 3.1 设 A与 B是两个 非空 集合，如果按照一

5、定的法则 ，对于f A中的每个元89x， 都存在 B中的 一个确定 的元 与 相对应， 那么我们称 为y x f 定义 A上 取值 于 B中的一个 映射 ，记作 。 称为 在映射 下的 象 ，对于固定的 ，)x(f y x yy = f A中适合关系式的 的全体称为)(x xfy = y 的 原象 。集 A称为映射 的 定义域 ， 称为映射 的 值域 ，一般 。 f |)()( AxxfAf =f Af )( B到 的映射写成 为方便起见，今后常将把从集 A BAf )( BAf :特别，若 B是一个数集，此时映射 称为 泛函 ；若f A与 B都是数集， 就是通常f的函数。 103.2 可数集

6、与不可数集，集合的势 定理 3.1 有理数集是可数集。 定理 3.3 可数个可数集的并是可数集。 定理 3.4 区间 0, 1中的点是不可数的。 第四节 直线上的点集与连续函数 本节先 讨论直线上的点集的基本性质， 然后， 在此基础上研究 4.1 开集、闭集及其性质 4.2 开集的构造 4.3 点集上的连续函数，函数的一致连续性 4.4 函数列的一致收敛性 4.1 开集、闭集及其性质 定义 4.1 设 E是直线 R上的任一点集， 是直线上的任意一点，我们把直线上包含 的任一区间aa , )( 称为点 的 邻域 ；设 是a a E 中的点，如果存在着 的一个邻域a),( 整个包含于 E 内， 则

7、称 是a E 的 内点 ；如 果 点 集 E 的 每一点 都是它的内点， 则 称E是一个 开集 。 定理 4.1 开集具有下列的性质： 1） 空集 与直线 的本身都是开集； R11122） 任意多个开集的 并 是开集； 3） 有限多个开集的 交 是开集 . 定义 4.2 设 E 是直线 R 上的任一点集， 是直线上的任意一点 (不一定属于a E )。如果 的 任一 邻域a ( ), 中含有 E中不同于 的点，则称 为a a E的 极限点 （ 或 聚点 ） 。 定理 4.2 点 是集a E 的极限点的 充要条件 是存在 E 中的点列 ，使 )( aaannaann=lim定义 4.3 设 E 为

8、直线上的点集，由 E 的所有极限点构成的集称为 E 的 导集 ，记作E ，称 集为EEU E 的 闭包 , 记作 。若 集 E 的余集 为开集， 则称ERCE = E 为 闭集 . E定理 4.3 非空集 E是闭集的 充要条件 是 EE 定理 4.4 集合 E 为闭集的充要条件是 。 EE =定理 4.5 闭集具有下列基本性质 131） 空集 与全直线 R是闭集； 2） 任意多个闭集的交是闭集； 3） 有限多个闭集的并是闭集 . 4.2 开集的构造 定义 4.4 设 是直线 满足条件： G R 上的一个有界开集，如果开区间 ),( 1) G)G,(2) G则称 ),( 为开集 的一个 构成区间

9、 。 GG G定理 4.6 （ 开集的构造原理 ） 设 为直线上的任意非空有界开集， 则 可以表示为至多可数个互不相交的构成区间之并，即 14),(kkIkG = U其中 I 为有限的或可数的指标集 . 4.3 点集上的连续函数，函数的一致连续性 定义在区间上的连续函数的概念几乎可以逐字 逐句的推广到直线的点集上 去 。 定义 4.5 设 E 是直线 R 上的点集， 是定义在)(xf E 上的一个函数 (即映射)， 是REf :0x E 中的任意一点。如果对于 E 中任何收敛于 的点列 ，都有 0x nx)()(0xfxfnlim0xxn=那么称函数 在点 连续 。 如果 在 上连续 。 )(

10、xf0x )(xf E 中每点都连续， 那么称 在集)(xf E定理 4.7 设 是直线 上的有界闭集， 是定义在 上的连续函数，则 )(xf FF R15(xf F)(xf(1) 在集 上必有界， )(2) 并且能取得它的最大值（上确界）与最小值（下确界） 。 定义 4.6 设 定义在点集 RE 0上， 如果对于任意的 ， 都能找 到 0)( （注意 )( 与点 无关） ，使得对于x E中的任意两点 与 ，只要1x2x 时，不等式 对于任意给定的 ，都能找到正整数 )(N ，使得当 )(Nn (xfn ，存在正整数 )(N )(,，使得当 时，不等式 Nnm = 是可测集： 2） ,)(|)

11、( ExxfxfE = 是可测集： 3） ,)(|)( ExxfxfE rX0x rxxXxxrxS = ),(,0|),(0 为半径的 开球 ，或 的一个邻域；称集合 27是以 为中心，0x r0x rxxX ),(,00xxxrxS = |),(0是以 为中心， r 为半径的 闭球 。 2） 设 XA ),(0rxS),(0rxSA，如存在一个开球 ，使得 则称 A是 X 中的 有界集 。 定理 1.2 设 X 是距离空间，则 X 的任何收敛点列必是有界的。 28第二节 距离空间中的开集、闭集与连续映射 本节将直线上 点集 的有关概念以及定一在直线上的 连续函数 的概念推广到 距离空间 中

12、去。 由于 许多概念的定义及定理的证明几乎可以 逐字逐句 地移植， 因此 ，我们省略了某些定理的证明，留给读者作为练习自行补足。 2.1 距离空间中的开集和闭集 定义 2.1 设 X 为 距 离 空 间 。 XxXG ,0x GrxS ),(0 0xG G G),(0rxS0， 如果存在 的邻域 ， 则称为 的 内点 。如 的每个点都是内点，则称 为 开集 。 例 2.1 任一开球 是开集。 29定理 2.1 距离空间 X 中的开集具有下列性质： 是开集； 1） 空集 于全空间 X2） 任意多个 开集的 并 集是开集； 3） 有限个 开集的 交 是开集 . 定理 2.3 设 X 是距离空间，则 是开集。 XF FXF 是闭集的 充要条件 是 =定理 2.4 距离空间 X 中的闭集具有下列性质： 都是闭集； 1） 空集 与全空间 X2） 任意多个闭集的交是闭集； 3） 有限个闭集的并集是闭集 . 30