1、1叠加定理与齐次定理的关系及应用姓名：常永娟 学号：20075042095院系：物理电子工程学院 专业：电子信息工程指导老师：余本海 职称：副教授摘要：讨论了线性电路中叠加定理和齐次定理的证明及应用，并讨论了两者之间的关系，即：齐次定理可从叠加定理推出， 电路满足叠加定理也一定满足齐次定理，同时说明了应用两个定理时应注意的问题。关键词：线性电路； 叠加定理； 齐次定理The relationship between Superposition theorem and Homogeneous theorem and its applicationAbstract：The proof and ap
2、plications of Superposition theorem and Homogeneous theorem are discussed respectively in this paperAnd the relationship between Superposition theorem and Homogeneous theorem has been proven too，namely ：The Homogeneous theorem may promote from the Superposition theoremThe Superposition theorem is sa
3、tisfied in the electric circuit certainly to be also Homogeneous theorem is satisfiedAccount for some problems we should notice when we use the Superposition theorem or the Homogeneous theoremKey Words：Linear circuit ； the Superposition theorem ； the Homogeneous theorem引言叠加定理与齐次定理在线性电路分析中起着重要作用，它们是分
4、析线性电路的基础，线性电路中很多定理都与叠加定理及齐次定理有关。利用它们还可以把多电源作用的复杂电路的计算问题转化为单电源作用的简单电路的计算问题，可简化计算，特别是对计算支路电流的值有着举足轻重的作用。1. 叠加定理的证明及应用1.1 叠加定理的证明 叠加定理的主要内容：在线性电阻电路中，某处电压或电流都是电路中各个独2立电源单独作用时，在该处分别产生的电压或电流的叠加。证明如下：对于一个具有 b 个支路，n 个结点的电路，可以用回路电流或结点电压作为变量列出电路方程，此种方程具有以下形式： 1121bxaxaN 222 (1)NNbxaxa21式中求解变量以 xk (k=1,2,.N) 表
5、示，右方系数 bkk(k=1,2,N) 是电路中激励的线性组合，当此方程是回路电流方程时，x k 是回路电流 i1k，系数 ak(k=1,2,N, j=1,2,N)是自阻或互阻，b kk 则是回路中电压源电压和由电流源等效变换所得电压源电压的线性组合，当此方程是结点电压方程时，x k 是结点电压 ukk，系数 akj 是自导或互导， bkk 是结点上的电流源的注入和电压源等效变换所得电流源的注入电流的线性组合，式（1）的解一般形式为： Nkkbb21式中，为 akj系数构成的行列式， jk是的 第 j 行第 k 列的余因式。由于b11，b 12都是电路中激励的线性组合，而每个解答 xk由是 b
6、11,b12的线性组合，故任意一个解（电压或电流）都是电路中所有激励的线性组合，当电路中有 g 个电压源和 h 个电流源时，任意一处电压 uf或电流 if都可以写成以下形式smhfsmgf ShfSfSfSgfSfSff hsmfsmgf ShfsfsfSgfSfSff iKuk iKiiukii iiiku 11 21211 212 1.2 定理的推广应用1.2.1 应用叠加定理计算电压与电流 例 1：试用叠加定理计算图 a 所示电路中的 U1 与 I1。解：画出电压源与电流源分别作用时的分电路如图 1 中（b）与（c）所示：对图（b） 有：R1iS3AI VU5.022)03(21 对于图
7、（c）有： AI VU25.0.201.)3(21原电路的总响应为： II V75.0)2.50(912211 显然由于使用了叠加定理，本题的求解得以简化。（a） (b) (C)图 1 例 1 的图1.2.2 推广应用除解题方便之外，叠加定理还在电子线路分析中起到了重要作用。在小信号放大电路分析中，在差动放大电路中及集成运放电路中都可以用叠加定理来分析，把复杂的电路简单化。2 齐次定理的证明及应用2.1 齐次定理的证明齐次定理的主要内容：在线性电路中，当所有激励（电压源和电流源）都同时4增大或缩小 k 倍（k 为实常数）时，响应（电压和电流）也将同样增大或缩小 k 倍。应注意，这里的激励是指独
8、立电源，并且全部激励同时增大或缩小 k 倍，否则将导致结果错误，证明如下：图 2 齐次定理证明图使用结点电压法，取结点 0 为参考结点，结点 1 和结点 2 为独立结点，对于结点 1、2 列方程： (1) 21212snniUG式中 G 11=1/R1+1/R3+1/R4 ； G 12=G21=+(1/R3+1/R4)；G22=1/R2+1/R3+1/R4 ；i s11=is1+Us3/R3 ； i s22=Us2/R2-Us2/R3由于此电路为线性电路，所以方程为线性方程，所以可用线性代数行列式求（1）的解： 2112132ssssn URiiU因为是线性电路，所以 、 和 都是一个常数，将
9、三者分别1si21s 23s设为 a1、b 1、c 1则上式可写为： 211sssnucbiaU同理：(2)22211sssni当所有激励都扩大 k 倍（k 为实数）变成：； ；11si 11ssk 22sskU5代入（2）式，则： 11)(21nsssnkUcubiak即响应 = 等于原来的 k 倍。1nU1k2.2 定理的推广应用2.2.1 应用于梯形电路例 2：求图 3 中所示梯形电路中各支路电流。图 3 例 2 的图解：设 ,则：Ai15ViRuBC)(56Ai1.4i253uBCAD.6Ri12Ai4.31VuDS0现给定 =120V,相当于将以上激励 增至 倍，即 K= =3.63
10、Su2.02.31故各支路电流应同时增至 3.63 倍，即： iK38.11=4.76A2=7.62A3i6=3.99A4iK=3.63A5本题计算是先从梯形电路最远离电源的一端开始，倒退至激励处，这种计算方法称为“倒退法” ，先对某个电压或电流设以便于计算的值，如本题例设 =1A，最后再5i按齐次定理予以修正。2.2.2 推广应用当电路中有若干电源时，必须是全部激励同时增大或缩小 K 倍，响应才能是原来的 K 倍，也就是只有在这时才能直接应用齐次定理。但在很多情况下激励不是全部变化，而是一个变化或部分变化，还有一个电源或几个电源变化若干次，这就发生了矛盾，如果直接用齐次定理将导致错误，不用齐
11、次定理，变化一次或用其他方法求解一遍又太麻烦，在这种情况下，我们可以先用叠加定理，再用齐次定理，证明如下：利用齐次定理证明时的结果： 3221sssncubaiU= n其中： = ； = ； = 分别为第一个激励，第二个激励和第三个激1nUsai2n2sbu3n32scu励单独作用时在结点 1 处的结点电压，在结点 1 处的总电压等于各个电源单独作用的电压的代数和，所以我们只要实现计算处每个电源在结点 1 处的结点电压值，则各个电源共同作用的结点电压 = ，这就应用了叠加定理。当电源1nU32n发生变化时，可能时全部变化或部分变化，也可能时变化形同倍数或者变化不同倍数，当电源全部变化相同倍数时
12、，直接应用齐次定理，否则，就在变化的电源上应用齐次定理。例 3：电路如图 4 所示，其中 CCVS 的电压受流过 6 自阻的电流控制。(1)求电压 ；su(2)当 6V 电压源增至 8V 时的 ?3u7(a) (b)(c) (d)图 4 例 3 的图解：应用叠加定理：Us2 独立作用时，如（a ）图所示： Ai146021 Vu6)(3 Is 单独作用时，如（b）图所示： Ai6.1461i22Vu.5013Us3 电源单独作用时，如（ c）图所示： ARUiS6.0421321 i903V2563(2)当 6V 电压增至 8V 时，只有一个电压源变化，根据齐次定理， K34688VUK8.1
13、26.934)3( )3()1(3= 42563 总结叠加定理与齐次定理是两个非常重要的定理，齐次定理可由叠加定理推出，在应用时，二者又是相辅相成的，但在应用时应注意以下几点：(1)二者都仅使用于线性电路，不适用于非线性电路。(2)在叠加定理的分电路中，不作用的电压源要求置零，在电压源处用短路代替，不作用的电流源要求置零，在电流源处用开路代替，电路中所有电阻不予变动，受控源则保留在各分电路中。(3)叠加时各分电路的电压和电流的参考方向可以取为与原电路相同，取代数和时应注意各分量前的“+” “-”号。(4)功率不可叠加。(5)运用齐次定理时应注意电源个数，如果只有一个电源可直接用，如果由多个，应注意其变化倍数是否相同，是否全部变化，如果是，可直接用，否则，则先用叠加定理，后用齐次定理，这样就可以大大简化计算步骤。参考文献：1 邱关源，罗先觉电路（第五版） M 北京：高等教育出版社，2006：82882 秦曾煌电子学（第四版） M 北京：高等教育出版社，1900：7984 3 郭木森电子学M 北京: 高等教育出版社，1971：6572
