1、丰台区高三二模数学（理科）第 1 页 共 10 页北京市丰台区 2012年高三二模 2012.5数学（理科）第一部分 （选择题 共 40分）一、选择题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项1复数 的虚部是i2(A) i(B) 3i(C) 1 (D) 352一个正四棱锥的所有棱长均为 2，其俯视图如右图所示，则该正四棱锥的正视图的面积为(A) (B) 3(C) 2 (D) 43由曲线 与 y=x，x =4 以及 x 轴所围成的封闭图形的面积是1(A) (B) 2316(C) ln42(D) ln44执行如图所示的程序框图，若输出的结果为 63，
2、则判断框中应填(A) 7(B) 7(C) 6(D) 65盒子中装有形状、大小完全相同的 3 个红球和 2 个白球，从中随机取出一个记下颜色后放回，当红球取到 2 次时停止取球那么取球次数恰为 3 次的概率是(A) 182(B) 15(C) 45(D) 826在ABC 中，BAC=90，D 是 BC 中点，AB=4，AC=3，则 =ADBC(A) 7(B) 7(C) 2(D) 77已知函数 的图象如图所示，则函数 的图象可能是sin(0)yaxblog()ayxb开始结束， ，0S1n3a2a1n输出 S是 否俯丰台区高三二模数学（理科）第 2 页 共 10 页(A) (B)(C) (D)8已知
3、平面上四个点 ， ， ， 设 是四边形 及其内1(0,)A2(3,)3(24,)A4(,0)D1234A部的点构成的点的集合，点 是四边形对角线的交点，若集合 ，P0|,iSP则集合 S 所表示的平面区域的面积为(A) 2 (B) 4 (C) 8 (D) 16第二部分 （非选择题 共 110分）二、填空题共 6 小题，每小题 5 分，共 30 分9在极坐标系中，圆 的圆心的极坐标是_ 2sin10已知椭圆 上一点 M 到两个焦点的距离分别是 5 和 3，则该椭圆的离心率为21(7)xym_ 11如图所示，AB 是圆的直径，点 C 在圆上，过点 B，C 的切线交于点 P，AP 交圆于 D，若 A
4、B=2，AC=1，则 PC=_，PD=_ 12某地区恩格尔系数 与年份 的统计数据如下表：(%)yx年份 x 2004 2005 2006 2007恩格尔系数 y(%) 47 45.5 43.5 41从散点图可以看出 y 与 x 线性相关，且可得回归方程为 ，据405.ybx此模型可预测 2012 年该地区的恩格尔系数(%)为_ PDCBA丰台区高三二模数学（理科）第 3 页 共 10 页13从 5 名学生中任选 4 名分别参加数学、物理、化学、生物四科竞赛，且每科竞赛只有 1 人参加，若甲不参加生物竞赛，则不同的选择方案共有 种 14. 在平面直角坐标系中，若点 ， 同时满足：点 ， 都在函
5、数 图象上；点 ，ABAB()yfxA关于原点对称，则称点对( , )是函数 的一个 “姐妹点对” （规定点对( , )与点对B()yfxB( , )是同一个 “姐妹点对 ”） 那么函数 的“姐妹点对”的个数为A24,0,f_；当函数 有“姐妹点对”时， 的取值范围是_()xgaa三、解答题共 6 小题，共 80 分解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程15.（本小题共 13 分）已知函数 ()cos(3sin)3fxx（）求 的值；（）求函数 在区间 上的最小值，并求使 取得最小值时的 x 的值()yfx0,2()yfx16.（本小题共 13 分）某商场举办促销抽奖活动，奖券上印有数字 10
6、0，80，60，0凡顾客当天在该商场消费每超过 1000元，即可随机从抽奖箱里摸取奖券一张，商场即赠送与奖券上所标数字等额的现金（单位：元） 设奖券上的数字为 ， 的分布列如下表所示，且 的数学期望 E=22 100 80 60 0P 0.05 a b 0.7（）求 a，b 的值； （）若某顾客当天在商场消费 2500 元，求该顾客获得奖金数不少于 160 元的概率丰台区高三二模数学（理科）第 4 页 共 10 页17.（本小题共 14 分）在如图所示的几何体中，四边形 ABCD 为矩形，平面 ABEF平面 ABCD， EF / AB，BAF=90， AD= 2，AB =AF=2EF =1，点
7、 P 在棱 DF 上（）若 P 是 DF 的中点， () 求证：BF / 平面 ACP；() 求异面直线 BE 与 CP 所成角的余弦值； （）若二面角 D-AP-C 的余弦值为 ，求 PF 的长度63 PFE DCAB18.（本小题共 13 分）已知数列a n满足 ， ， p 为常数)， ， ， 成等差数14a131nnap(N1a263列（）求 p 的值及数列a n的通项公式；（）设数列b n满足 ，证明： 2nba49nb19.（本小题共 14 分） 在平面直角坐标系 xOy 中，抛物线 C 的焦点在 y 轴上，且抛物线上的点 P(x0，4)到焦点 F 的距离为5斜率为 2 的直线 l
8、与抛物线 C 交于 A，B 两点（）求抛物线 C 的标准方程，及抛物线在 P 点处的切线方程；（）若 AB 的垂直平分线分别交 y 轴和抛物线于 M，N 两点（M ，N 位于直线 l 两侧） ，当四边形AMBN 为菱形时，求直线 l 的方程20.（本小题共 13 分）设函数 ()ln()lfxax(0)a（）当 时，求函数 的最小值；1af（）证明：对 x1，x 2R +，都有 ；121212lnl()ln()lxxx（）若 ，证明： 21ni1llnii*,iN丰台区高三二模数学（理科）第 5 页 共 10 页（考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效）北京市丰台区 2012年高三二模数
9、 学（理科）参考答案一、选择题：本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分题号 1 2 3 4 5 6 7 8答案 D A C D B B C B二、填空题：本大题共 6 小题，每小题 5 分，共 30 分9 10 11 ， (1,)274371231.25 13 96 141， a注：第 11 题第一个空答对得 2 分，第二个空答对得 3 分；第 14题第一个空答对得 3 分，第二个空答对得 2 分 三、解答题：本大题共 6 小题，共 80 分解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程15.解：因为 ()cos(3sin)3fxx2cosincs3xx= 12) cosin2x 3(2)6
10、（） ()cos()32f= 732分（）因为 ， 0,x所以 266当 ，即 时，函数 有最小值是 x512x()yfx312当 时，函数 有最小值是 13512()yf 312分丰台区高三二模数学（理科）第 6 页 共 10 页OBACDEFPz yx PFE DCAB16解：（）依题意， ， 10.5860.72Eab所以 867ab因为 ， 0.5.所以 2由 可得 71,.ab0.1,5ab分（）依题意，该顾客在商场消费 2500 元，可以可以抽奖 2 次 奖金数不少于 160 元的抽法只能是 100 元和 100 元； 100 元和 80 元； 100 元和 60 元；80 元和
11、80 元四种情况 设“该顾客获得奖金数不少于 160 元”为事件 A， 则 ()0.520.5120.51.0.375PA答：该顾客获得奖金数不少于 160 元的概率为 0.0375 13分17 （）()证明：连接 BD，交 AC 于点 O，连接 OP因为 P 是 DF 中点，O 为矩形 ABCD 对角线的交点，所以 OP 为三角形 BDF 中位线，所以 BF / OP， 因为 BF 平面 ACP，OP 平面 ACP， 所以 BF / 平面 ACP 4分()因为BAF=90，所以 AFAB， 因为 平面 ABEF平面 ABCD，且平面 ABEF 平面 ABCD= AB， 所以 AF平面 ABC
12、D， 因为四边形 ABCD 为矩形，所以以 A 为坐标原点，AB ，AD，AF 分别为 x，y ，z 轴， 建立如图所示空间直角坐标系 Oxyz所以 ，(1,0)B， ， 1(,0)2E1(,)2P(,0)C所以 ， ，B1(,)2P所以 ，45cos,|BE即异面直线 BE 与 CP 所成角的余弦值为丰台区高三二模数学（理科）第 7 页 共 10 页 9 分451（）解：因为 AB平面 ADF，所以平面 APF 的法向量为 1(,0)n设 P 点坐标为 ， (0,2)t在平面 APC 中， ， ，,At(1,20)AC所以 平面 APC 的法向量为 ， 2(,tn所以 ， 112222| 6
13、cos, 3()1()nt解得 ，或 （舍） 3tt此时 14 分5|PF18解：（）因为 ， ，14a131nnap所以 ； 235p 216p因为 ， ， 成等差数列，16所以 2( )= + ， 即 ， 2a1361024p所以 p依题意， ，1nn所以当 n2 时， ，123a，23，21231nna相加得 ， 1221(3)nn n丰台区高三二模数学（理科）第 8 页 共 10 页所以 ， 113()2(nna所以 n当 n=1时， 成立， 134a所以 8n分（）证明：因为 ，3na所以 22()nnb因为 ， 221+11+=33nnnn *()N若 ，则 ，即 时 2021nb
14、又因为 ， ，13b249所以 13n分19解：（）依题意设抛物线 C： ， 2(0)xpy因为点 P 到焦点 F 的距离为 5，所以点 P 到准线 的距离为 5 y因为 P(x0，4)，所以由抛物线准线方程可得 ， 12p所以抛物线的标准方程为 424xy分即 ，所以 ，点 P(4，4) ，214yx1所以 ， |()2x|2xy所以 点 (-4，4) 处抛物线切线方程为 ，即 ；P(4)x40xy点 (4，4) 处抛物线切线方程为 ，即 4y点处抛物线切线方程为 ，或 7 分20x20xy丰台区高三二模数学（理科）第 9 页 共 10 页（）设直线 的方程为 ， ， ，l2yxm1(,)A
15、y2(,)Bx联立 ，消 y 得 ， 24x28406410m所以 ， ，12812x所以 ， ， 4x8ym即 的中点为 AB(,)Q所以 的垂直平分线方程为 1()(4)2yx因为 四边形 AMBN 为菱形，所以 ， ， 关于 对称， (0,1)MmN(4,8)m所以 点坐标为 ，且 在抛物线上， N(8,6)所以 ，即 ，6410所以直线 的方程为 14 分l2yx20解：（） 时， ，( )，1a()ln(1)lf x01则 ()lnxfx令 ，得 02当 时， ， 在 是减函数，1x()0fx()f1,2当 时， ， 在 是增函数， 2所以 在 时取得最小值，即 4 分()fx2()
16、lnf（）因为 ，ln()lax所以 ()nfx所以当 时，函数 有最小值2()fxx1，x 2R +，不妨设 ，则12a1212211lnlln()ln()ln()xxxx 8 分11()()x丰台区高三二模数学（理科）第 10 页 共 10 页（） （证法一）数学归纳法)当 时，由（）知命题成立1n）假设当 ( kN *)时命题成立，即若 ，则 1221xx 122lnllnl2kkkxx当 时， ， ， 满足 1212k12k 11122kk设 ，11112()lnllnlnkkkkFxxxx由（）得 1111122 2()()()l()ln2kkkkx= 1111 122l )l .kkkk kxxxx = 11111212()n()(n()lnkkkkx由假设可得 ，命题成立llnkFx所以当 时命题成立k由)，）可知，对一切正整数 nN *，命题都成立，所以 若 ，则 13 分21nix21ll2niix*(,)in（证法二）若 ，22n那么由（）可得 122lnllnxxx12121()()()ln()ln2nxx122l .)lnnnn nxx12121()n()()l()lnnnnxx1234134212l ()lnnnnxx x222(.)()lln nx 13 分（若用其他方法解题，请酌情给分）
