1、习题 3-11、计算下列第二类曲线积分：（1） L为抛物线 上由点（0,0）到点（2,4）的一段弧；Ldxy,)(2xy2（2） L为按逆时针方向饶行的圆 ；,)(2 22ayx（3） L为螺旋线 上由 t=0到 t=2Lxdzy, btzaytx,sin,co的有向弧段;（4） L为由点（1，1，1）到点（2，3，4）的一段直线；Lx,)(（5） 其中 L为由 y=x,x=1及 y=0所构成的三角形闭路，取逆时,LdlF),(xy针方向；（6） 其中 ，L 按逆时针方向饶行的圆 .Ll,21yxe taytxsin,co解（1）化为对 x的定积分，L: ，x 从 0到 2，所以=Ldyx)(
2、2 156)31()( 05402 d（2）圆周的参数方程为： taytxsin,co)2(Lyxd2)()(= 20 )sin()icos()()sinco(1 tadttattata= coi2= 20dt（3）L 的参数方程为： ，t 从 0到 2 ，所以bztaytx,sin,co=zyx )(cos)i()(si20 tbdadd= 22costtt （4）直线的参数方程为： )10(3,1, zyx代入dtztdytx3,2,Ldzyxdx)1(= 10 )1232)( dtttt= 764（5）三条直线段的方程分别为y=0,x从 0到 1；x=1,y从 0到 1；y=x,x从 1
3、到 0.所以 =LdlFxdy010110x=021)sin(co)s(sin)6(20 2202dt tadttatyxdyxlFL2、一力场由以横轴正向为方向的常力 F构成，试求当一质量为 m的质点沿圆周按逆时针方向走过第一象限的弧段时，场力所作的功.2Ryx解：由题意知，场力所作的功为 dxFWLL: ,x从 R变到 0，22y于是，w= FdxL03、有一平面力场 F，大小等于点（x,y）到原点的距离，方向指向原点.试求单位质量的质点 P沿椭圆 逆时针方向绕行一周，力 F所作的功.12byax解： ),(椭圆 的参数方程为： ，t 从 0到 212byax bytaxsin,co所以，
4、02sin2cos )sin(i)cos(020tbta tdbttdadlFWL4、有一力场 F，其力的大小与力的作用点到 xoy平面的距离成反比且指向原点，试求单位质量的质点沿直线 从点 移动到 时，)(,ctzytx ),(cba)2,(cba该场力所作的功.解： ),( 22222 zyxzyxzyxzk 直线的参数方程为： ，t 从 1到 2)0(,ctbat所以， cbakdtctbatkdlFWL2ln)(221 222 习题 3-2 答案1、 解：记 S 在 x0 一侧为 ，在 x0 一侧为 ，在 y0 取下侧2s2yxzz0则(4)记 S 在 z=0 上的部分为 ，在 x=0
5、 上的部分为 ,在 y=0 上的部分为 ,在1S2S3S上的部分为 ,在 上的部分为 .有12yx42yxz503 21 22 2S Sydzxxzdy ydzxxzdz21.1631 10221 22224 dzxxzd dxzxydyxzDS 8163 16)cos1(3cos2sin cosin3s2sin2201 22445 10 2445224 222225 原 式 drd drrdxyxy xyxyxyxdx xyDDS3、 解：（1） ,32yxz3521cos ,521cos,3cs ,3651,22 222 22 yzx yzxyzxyzxyzxz 原式= . S SdSRQ
6、PdRQP 5325coscos（2） ,2,yzx222 222 222 411coscs 411cos yxyzxyxyzxyxyzx原式= S SdSyxRQPdRQP 241coscos3-3 格林公式及其应用1(1) ， ，yexQP,2 1,xQp abdxyPQD2)(故 原 式(2) , ,)2(,)1(yy2,D dxdxP1061)()(故 原 式（3） ，)(,)(22yQyxPQyp2),( 10 013012 )()4()( yD ydxddxyP故 原 式（4） ，)sin(),cos1( yeQePxx )sin(,sineQyepxx而在以 为起点 为终点的直线
7、上)0,(),()0,(),( 0)i()co1 dydxx所以原式 )1(520sincos41sin21)i( 000sineexexe dxeydxdyyxDxx 2 ，4213456,yxQyxP 222)1(6,xyxQp因为积分与路径无关，所以 ,得3 )2,1()0,( 1020444234 579)6()56() dydxyxdyx3.(1) ，是二元函数 u(x,y)(的全微分.Qp, Qp，得yxu2由 )(21)2(),( yxdxyxuy ()( 得 ，及由，故C21)( Cyxyxu221),(2)，是二元函Qxpcos3,cos3ins4 xQyxyp3cossin
8、数 u(x,y)(的全微分 .，得yxusi2由 )(2si)si2(),( ydxxu 0)(co3co3 yyQy得 ，及由，故C)(Cxyxu2cos3in),(3) ，是yyp in,sico22 xQyxpsin2i二元函数 u(x,y)(的全微分.，得xxusin2由 )(cos)co(),( 22yxydyy 0)(sinco2)(cos2sin 22 yxyQuyxyxyu 得 ，及由，故C)(Cxcos),(2(4)，是二元函数 u(x,y)(的全微分.xQyp1,2xyp2，得2u由 )(),(2ydyu011xyxy得 ，及由，故C)( Cu),(4（1） 2246,3y
9、xQyxP,故为全微分方程。 )(3)63(),(,63 222 yxdxyyxuxu 得由，故222 4(4)(Qyy 得及由 C34通解为 Cx3234（2） yeQPy,故为全微分方程。xy)(),(, yxedyueuyy 得由，故Qxyy 22 得及由 Cy2)(通解为 Cey2（3）22,1eQP,故为全微分方程。2 )()1(),(,1 222 edeuePu得由，故0(22 得及由 QC通解为 Ce)1(（4） 2),(xyxP,故不是全微分方程。Q,3-4 高斯公式和斯托克斯公式1（1）原式= dxyzRyQxP)(= z322= dda0420sin= 51（2）原式= d
10、xyzRyQxP)(= )12= adxbc02(= 31（3）原式= dxyzRyQxP)(= z2= dxyd21030)(= rzrz10230 )cossin(= （4）原式= dxyzRyQxP)(= dz3= 2R（5）原式= )()(SRdxyQzPdydxyzQxP= x448= Sedyzxa14= 22)(a2.解:(1)圆周事实上就是 xoy 面上的圆 ,取 为圆域92yx的上侧,92yx XYDL dxyzxydydzzd 932322(2) 取 为平面 被 L 所围成的部分的上侧, 的面积为 的单位法0zx ,2a向量为 ,31,cos,csn 031dsyxzyxd
11、zxyzdxyL3.解: L dxyzyxzyxzyddzyxzdy 333 222其中 为平面 z=2 被 L 所围成的部分的上侧,因为 在 yoz 面上的投影区域为线段,所以 ,又 在 xoy 面上的投影区域为 ,所以02dyzx 42yx,xyDdy053232Lzzdy02习题 351 解：（1） ，xyzRxyQxP222,，)(zzdivA10)3,(i（2） ，2cos,csxzRxyQePxy，2sinixzyezdivAy0)1,(i（3） ，xzRyQP,2，xxdivA20。2)3,1(divA2 证明：场力沿路径 L 所作的功为 ，要证明场力所作的功与所LydrkxW3
12、3取的路径无关，只需证明上面的积分与路径无关，显然，半平面 x0 是单连通域。在该区域具有一阶连续偏导数，另外 ，所以yrkQxrP33, yRxrkQ53上面的积分与路径无关，因而结论正确。3解：（1） 0xyzkjirotA（2） kzxyjzxiyzxyzkjirot （3） jiyxzyzzxkjirotA0cossin（4） kyxzyjzyixzyzxkjrot coscscosncoscsin 2222 4证明：（1） 0cos2,sinco22ixyyxyxirtA所以 A 为有势场cyxy ddbHaybosc sini,22 22（2） 0sin)co()s(zxyyxkjirtA所以 A 为有势场czxy zdyxdbxHxaybcos)sin( sin)cos()(,
