第4章群环域习题(最新).doc-道客多多

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1、应用离散数学群环域第 4 章：群、环、域4.1 代数运算习题 4.11. 判断下列集合对所给的二元运算是否封闭。（1）集合关于普通的加法和普通乘法运算，其中是一个正整数。|ZZzn n（2）集合关于普通的加法和普通的乘法运算。12nxS，（3）集合关于普通的加法和普通的乘法运算。0，（4）集合关于普通的加法和普通的乘法运算。|，（5）所有阶实可逆矩阵集合关于矩阵加法和矩阵乘法运算。n)()(RnM对于封闭的二元运算，判断它们是否满足交换律、结合律和分配律，并在存在的情况下求出它们的单位元、零元和所有可逆元素的逆元。解：（1）任意，Zba,，所以对普通的加法运算封闭。nn，所

2、以对普通的乘法运算封闭。nZb2)(（2）2. 判断下列集合对所给的二元运算是否封闭。（1）正实数集合和*运算，其中*运算定义为：Rbaba， R（2）。*运算定义为：221naA， A，对于封闭的二元运算，判断它们是否满足交换律、结合律和等幂律，并在存在的情况下求出它们的单位元、零元和所有可逆元素的逆元。解：（1）不封闭。例如，。1313 R（2）封闭。，所以*运算在上是封闭的。Abab， A，有：Rc,，而，因为不恒成立，即，aaab所以不满足交换律。应用离散数学群环域因为，，acba)( abc)(所以，所以满足结合律。)(又因为，所以满足等幂律。设

3、为单位元，则因有，，即，由的任意性可知，eAaaeae单位元不存在。3. 设，这里是有理数集合，*为上的二元运算，QSS，yxvu， vyuxyxvu，（1）*运算在上是否可交换、可结合？是否为等幂的？S（2）*运算是否有单位元、零元？如果有，请指出，并求中所有可逆元素的逆元。S（3）*运算在上是否满足消去律？解：（1），Syxvu，vyu，xyx，所以，故*运算在上不可交换。v,， S又，有Sbayxu,， bavuyxyvuba ,),( vxv),(所以，故*运算在上可结合。),(,yx S又，所以*运算在上不等幂。yyx（2）*运算在上的单位元是

4、，存在逆元的元素的逆元是S0,1yx,，1,且的可逆条件是，不存在零元。yxx（3）若 yxbavuba,即，y也即，所以，也就是，xu且, vu, yxvu,故，所以满足左消去律， yxxv , 同理可证满足右消去律，故满足消去律。4. 为实数集合，定义以下六个函数。有R 61ff， R，应用离散数学群环域，，yxf)(1， yxf)(2，，|3， 4，)min(5f， )ma(6f，（1）指出哪些函数是上的二元运算。R（2）若是上的二元运算，说明是否可交换的、可结合的、等幂的？（3）若是上的二元运算，求单位元、零元以及每一个可逆元素的逆元。（4）若是

5、上的二元运算，说明是否满足消去律。解：（1）这 6 个都是上的二元运算。R（2）它们的可交换性、可结合性、等幂性、单位元、零元判断如下：函数交换结合等幂单位元零元1f 为 0 2 3f 4 为 1 为 05f 6 （3）的逆元为，的逆元为。yxyx)/(xy（4）略5. 设，问下面定义的运算在上是否封闭？对于封闭的二元运算，102， GG请说明运算*是否满足交换律、结合律，并在存在的情况下求出运算*的单位元、零元和所有可逆元素的逆元。（1），是与的最大公因数。)(yxyx，gcd)(yx，gcd（2），是与的最小公倍数。lm，l，（3）大于等于和的

6、最小整数。（4）质数的个数，其中。yxpypx解：（1）封闭。因为，为与的因数，故。交换Gx,)(，gcd Gyx)(，gcd律和结合律都满足。单位元没有，1 是零元。（2）不封闭。例如，，。14)72(，lm（3）封闭。交换律和结合律满足。单位元是 1，零元是 10。应用离散数学群环域（4）不封闭。例如，，。018G4.2 半群与群习题 4.21. 设是所有形如G012a的矩阵组成的集合， *表示矩阵乘法。试问是半群吗？是有么半群吗？这里，G是实数。12a、解：任取的 2 个元素，G012aA012bBB012a12b121aG是一个代数系统。又因为矩阵的乘

7、法满足结合律，所以是一，，个半群。又因为，只要，则1a ，BA02112b0121ba012B对任何成立，即是左单位元（不论取何值）。因此单位元不存在（若单G12a12位元则左右单位元都存在且相等还唯一），即不是有么半群。事实上，右单位元确，G实不存在，因为不论取何值12,b BA012a0121ba01aA不可能对任何成立，所以右单位元不存在。G因此单位元不存在不是有么半群。，应用离散数学群环域2. 在正实数集合上定义运算*如下Rabyx1试问是半群吗？是有么半群吗？，R解：任取中的 3 个元素 Rcba,，所以是一个代数系统。ba1， bcacabcac

8、 11)( cccbca1)(，即是一个半群。)()(a，R如果存在单位元，则，，可得，所以没有单exex0eR位元，所以不是有幺半群。3. 对自然数集合定义运算和如下：N，mab， minba，试问和是半群吗？是有么半群吗？，N，解：显然都满足运算的封闭性，所以和都是代数系统。，N，显然都满足运算的结合律，所以和都是半群。，，有单位元“1” ，所以是有么半群。，N没有单位元，所以不是有么半群。，4. 设是一个半群，它有一个左零元，令，G|Gx证明也构成一个半群。，5. 在一个多于一个元素的有么半群中，证明一个右零元不可能有右逆元。证：有么半群中的么元显

9、然不可能等于任一个右零元。e应用离散数学群环域设有一个右零元，它的右逆元为，则，因为，r1rer1 rr所以，即，，导致矛盾，因此一个右零元不可能有rr11 e右逆元。6. 设是一个多于一个元素的集合，是上所有函数组成的集合，证明有么半群GG有多于一个的右零元，但没有左零元。这里表示复合运算。，证：因至少含有 2 个元，不妨设，且，定义如下两个映射：ba,bGf21,， xaf,)(1 Gxf,)(2则因为， aff)()(11 bff)()(22所以，，即和是的右零元，所以说f21f2，G有多于一个的右零元。，G下面证明无左零元，用反证法，设有

10、左零元，则有：0fxaxffxf )()()(01100b22这与矛盾，所以无左零元。ba，G7. 设为整数集合，在上定义二元运算如下：ZZZyxyx，2问关于运算能否构成群？为什么？解：易证 Z 关于运算是封闭的，且对任意有z,42)()( yxzyxzyx，42)( zyxz结合律成立。2 是运算的么元。，是关于运算的逆元。纵上所述，Z够成群。,Z应用离散数学群环域8. ，证明是一个群，这里是复合运0|)(RbabaxfG，，G算。证：，且，对于任意的，有Rdcba,cxbadcbdcaxffbac )()()(,又，得，故运算在上是封

11、闭的。G0 Gffacc,恒等变换，从而有单位元。fI,1 I，取，有Rbafba, fba1,0,.1, 11 ffbaa ., 111fba故可逆，且。所以是一个群。baf, 1,1,abf，G9. 设，证明是一个群，)/()(/ rrrrG，，G这里，运算表示将代换到中所在位置。证： r1rr11rr1rr1r1rrr11rr1r1rr1r1r应用离散数学群环域从运算表上可以看出，运算具有封闭性，满足结合律，单位元为，每个元都有逆元，r所以构成一个群。10. 设。在上定义六个函数如下：10|，xARA，，xf)(1 12)(xf，，3 4，15)f

12、 16)f令为这六个函数构成的集合，是复合运算。G（1）给出的运算表。（2）验证是一个群。，，G证：（1）建造如下的运算表，)(1xf2f)(3xf4f)(5xf6f1f22f1f4f3f6f5f)(3xf3)(5x)(16x)(24x44f6f2f5f1f3f5f536142)(6x6f)(4xf)(5f2xf)(3f1xf（2）从表上可以看出，函数的复合运算在 G 上具有封闭性，有可结合性，有么元，)(1xf的逆元为，的逆元为，的逆元为，与2)(2xf3f)(3xf6f)(6xf4f5f互为逆元。故是一个群。，G11. 在群中计算下列元素的幂：，R，，?.

13、02?5.01，，542，41解：，，，.025.010.，， 412 设是一个群，证明，G应用离散数学群环域，，nmxnmx)( Zn，13. 设，对于上的二元运算“模 7 乘法 ”：654321，GG)od7jiji构成一个群。请7，（1）给出的运算表。（2）给出每个元的逆元。7，（3）给出每个元的次数。解：（1） 7 1 2 3 4 5 61 1 2 3 4 5 62 2 4 6 1 3 53 3 6 2 5 1 34 4 1 5 2 6 35 5 3 1 6 4 26 6 5 4 3 2 1（2）逆元：，，，，，。121（3）元素 1，2，3，4，5

14、，6 的次数分别为 1，11，5，2，3，6。14. 设，对于上的二元运算“模 15 乘法 ”：387，GG15)(mod15jiji构成一个群。请15，（1）给出的运算表。（2）给出每个元的逆元。15，（3）给出每个元的次数。解：（1）15 1 2 4 7 8 11 13 141 1 2 4 7 8 11 13 142 2 4 8 14 1 7 11 134 4 8 1 13 2 14 7 117 7 14 13 4 11 2 1 88 8 1 2 11 4 13 14 711 11 7 14 2 13 1 8 413 13 11 7 1 14 8 2 2应用离散数学群环域14 1

15、4 13 11 9 7 4 2 1（2）逆元：，，，，，，，1824113817341（3）元素 1，2，4，7，8，11，13，14 的次数分别为 1，4，2，4，4，2，4，2。4.3 群的性质、循环群习题 4.31. 设为群，若有，证明为交换群。，GGxe2，G证：，因为有，所以有，xe21因为，即，又因为为群，12 x1，所以为交换群。，2. 设是群，证明是交换群的充要条件是有。，GGba， 22)(ba证：充分性：条件已知，由于是群，运算满足结合律和消去律，有22)(ba，故，所以ba)()( ab是交换群。G必要性：条件已知是交换群

16、，运算满足结合律和交换律，有，22 )()()()()( baabababab 即 22证毕。3. 设为群，并且对任意的都有，GG， 33)(，证明是交换群。55)(ba证： ,因为为群，所以运算满足消去律和结合律，又有， 55)(ba所以bababa 从左边消去和右边消去后可得44)(应用离散数学群环域即 3344 )()()( bababa对上式使用消去律，有（1）33(2)4555 )()( bababa由（1）和（2）可推出： 4334 )()(对使用消去律，则有。3)(abaab所以是交换群。G4. 设为有限半群，且满足消去律，证明是群。， G证：对于，

18、证，即是和的公倍数。由于与互质，必有。d|综合前边的结果得。即。b|7. 证明循环群一定是交换群，举例说明交换群不一定是循环群。证：若为循环群，则，使得，,GGa|Zka所以，使得，cbnmcb,所以，即满足交换律，也即bcmnn ,G是交换群。,不是所有的交换群都是循环群，例如：Klein 四元群是交换群，但不是循环群。8. 证明由 1 的次复根的全体所组成的集合与复数的乘法构成一个阶循环群。n n证：由代数的知识可知，1 的次复根的全体所组成的集合为 1,20|2nkeGi，,2qpeinqip inqpinqipee)(22若，则；in)(2若

19、，则存在，使得，而,k k。因此关于数的乘法是封闭的。数的乘法运Geeinininqp2)(2)(2算满足结合律，是的么元，因为，i01eink2。，都存在，使得iinknkik )0(22i Geink)(2，所以的逆元存在。故niiiiin ee 0202)()(2 i是一个群。，都有，故是群的一个生成元，,Gn2 knkei因此是循环群。9. 阶数为 5、6、14、15 的循环群的生成元分别有多少个？解：设是阶数为 5 的循环群的生成元，则因在比 5 小的正整数中有且仅有，3，4 与 5a 2互质，所以也是生成元，因此生成元个数为 4。432,应用离

20、散数学群环域设是阶数为 6 的循环群的生成元，则因在比 6 小的正整数中有且仅有 5 与 6 互质，a所以也是生成元，因此生成元个数为 2。5设是阶数为 14 的循环群的生成元，则因在比 14 小的正整数中有且仅有3，5，9，11，13 与 14 互质，所以也是生成元，因此生成元个数13953,aa为 6。设是阶数为 15 的循环群的生成元，则因在比 15 小的正整数中有且仅有a2，4，8，11，13，14 与 15 互质，所以也是生成元，因此生1431842,成元个数为 7。10. 设，对于上的二元运算“模 12 乘法 ”：15，GG12)(mod12jiji（1）证明构

21、成一个群。（2）求中每个元素的次数。12， G（3）是循环群吗？，（1）证：，kji,)12(od()1(od)( 212 kjiji mm12kji 所以 1212ji即满足结合律。又由下表12 1 5 7 111 1 5 7 115 5 1 11 77 7 11 1 511 11 7 5 1得单位元 1，，G而且每个元素都存在逆元，，，，，1711综上可知构成一个群。12，(2) 1,5,7,11 的次数分别为 1，5，7，11。(3)4.4 子群、置换群习题 4.4应用离散数学群环域1. 给出群的全部子群。 8，Z解：群的平凡子群两个：和8， 8,08，Z非

22、平凡子群两个： 642,8,子群的左陪集有 8 个：0 7,5,3,2,1,这 8 个左陪集构成了的一个划分。8Z子群的左陪集有 1 个：88这 1 个左陪集构成了的一个划分。8子群的左陪集有 2 个：6,42,0， 7,53,1这 2 个左陪集构成了的一个划分。8Z子群的左陪集有 4 个：,，，，405,6,2,这 4 个左陪集也构成了的一个划分。82. 设，对上的二元运算“模 12 乘法 ”：17，GG12)(mod12jiji构成一个群，请求出的所有子群。12，，3. 设是群，是其子群，任给，令， HHa|1h证明是的子群（称为的共轭子群）1aHG

23、证：由于非空，可知非空。1a，即存在使得，有1,cbh2, 121,acab1211211 )()()( ahhbc因为为子群，有，从而。H2 11H所以是的子群。1aHG4. 设是群，和是其子群，证明和是的子群当且仅当， KK，G，其中K，|kh |Hhk证：（1）充分性。假设，需要证明是子群。因，故HKe,，He应用离散数学群环域从而非空。，这里，有HKHKkhyx1, Kkh11,，记1 )()(k2由可知，，使得，从而33, 312xy31由子群的判定定理，是的子群。，G（2）必要性。已知是的子群，需要证明。HK， KH对于

24、，因是子群，故。于是，使得xx1kh,，从而。因，故。证得。hkx11hkh1, 同理可证。从而有。故是的子群当且仅当。HK，GKH同理可证是的子群当且仅当。，5. 设是群，是的子集，证明是的子群当且仅当， GG，这里12， |21212h， |1h证：（1）根据的定义：,H，|21212h， |1H因为是的子集，所以显然有：。又因为中任意元素可以写成G, h，所以，还因为中任意元素可以写成，所以，因此heh1)(112，（2），因为，所以H21, ，Hh4312由子群的判定定理知，是的子集。G6. 某一通讯编码的码字，其

25、中和为数据位，)(721xx， 321x， 4和为校验位（都是 0 或 1），并且满足65x， 7 721x，，，3542642317这里是模 2 加法。设是所有这样的码字构成的集合。在上定义二元运算如下：HH)( 72212 yxyxyx，证明构成一个群，且是的子群，其中是长度为 7 的位串构成的集合。，，GG7. 设和分别是群的阶子群，若互质，证明。 K， sr， sr， eK证：假设不然，则存在，且。于是也是的生成元，从而，xexxHx)(应用离散数学群环域所以与互质矛盾。sr，8. 设是循环群，和是它的两个子群。证明aGsa

26、HtaK，这里是和的最小公倍数。uaKH)(ts，gcdt9. 设 5 阶置换为，45132 25431计算，，，，。1解： 52433145231311245110. 设，写出上的所有 4 元置换。32，SS11. 列出 4 元对称群的运算表，求出单位元，每个元的逆元，每个元的次数以，4及它的所有子群。4.5 陪集与商群习题 4.51. 集合在“模 20 加法 ”下构成一个群。设是由 5 生成19202， Z20H的的一个子群。20（1）求出的每个元素及其次数。（2）求在中的所有左陪集。H20Z应用离散数学群环域2. 求 12 阶循环群的子群在143

27、2aaeG， 84aeH，中的所有左陪集。证：是一个左陪集；取且 ,则又是一个左陪集；取不eHcH,95cc属于的中的元素，如，则又是左陪集；取不属于 c21062在中元素，如，则又是左陪集。于是23,73，即在中的所有左陪集有。cG3GHc32,3. 设是群的子群，证明的所有不同左陪集（右陪集）中有且仅又一个，在下构成的子群。，证：设中的么元为。因为，所以是一个陪集。eH若另一个陪集也是的子群，那么，故必有，使得，aaeh1eha1即有。对于，有，所以；反之，对于1hhh1H，有Ha )()()( 1111因此，。这就表明左陪集

28、只有一个是子群，即本身。a同理可证右陪集只有一个是子群，即本身。H4. 证明 6 阶群必含有 3 次元。证：设是 6 阶群。根据推论 1，中只可能存在 1 阶，2 阶，3 阶和 6 阶元。GG若含有 6 阶元，比如说是，则就是中的 3 阶元。a2若中不含有 6 阶元，则中的非单位元只可能为 2 阶或 3 阶元。下面用反证法证明中G必含有 3 阶元。若不然，则中的所有元素都满足，即。任取，ea1ab,则有。bab11)(所以是交换群。取中非单位元和，令，易证是的子群。G,eHH但，与拉格朗日定理矛盾。|H5. 证明偶数阶群必含 2 次元。证：由下一

29、题（第 6 题）可知有限群中，周期大于 2 的元素的个数是偶数。群的么元周期为1，群的阶又是偶数，因此，至少存在一个周期为 2 的元素。6. 证明在有限群中次数大于 2 的元素的个数必定是偶数。证：有限群为，为其么元，，对，，则，GeGcba,Zkeakek)(1由此可知的是无限的当且仅当的周期是无限的。又可知，若的周期为，的周期a1 n1a应用离散数学群环域为，由定理得，，所以，。如果的周期大于 2 的元素，则，mmn|,nbb1因为如果，从而，这与的周期大于 2 矛盾。由于群的元素的逆元是唯一的，b1e2b故不同的元素有不同的逆元。因此，周期大于 2

31、,snkl a)(又因Halkn,根据的定义，必有。证得。从而，故有。k0l )(|kn )(ka)(kaH故为循环群。所以循环群的子群仍是循环群。H9. 设为虚数单位，即，令i 12i 0100iiG，则与矩阵乘法构成群，请，（1）给出的运算表。（2）试找出的所有子群。G（3）证明的所有子群都是正规子群。解：（1）略应用离散数学群环域（2）它的子群除了两个平凡群外还有：；101Hi2， 0103iH， 4，（3）尽管不是交换群，因为G，010ii01ii单它的所有子群都是正规子10. 设是群，和是其子群，若或是正规子群，则，其，GHKHKKH中

32、，|khHK |hk证：不妨假设为正规子群。对于，因为是正规子群，所以必存在使得kh, 1，于是就有11hkKHk故有。KH同理可证。因此，。11. 设是群，是其子群，证明是正规子群当且仅当对任意的，都，G Ga有。a1证：若是正规子群，则。有，则HGaH, Ha1h应用离散数学群环域若对于，，则有。HhGa,a1Ha1另一方面，对于，有 1)(h其中，从而，根据条件有，从而1 11aa有。证得。是正规子群。1aHH112. 令是整数加群。求商群，和，其中，集合，ZGZ4/12/Z/4，。|4Zz|2Zz解：是的正规子群，左陪集

33、有 4 个：，所以|,1|,|,3|zz/|,4|,2|,4|z z=是的正规子群，左陪集有：12Z，0()|,(2)1|,8(1)28|ZzZz所以 /01,844.6 同态与同构习题 4.61. 对以下各小题给定的群和以及，说明是否为群到的同态。如果是，1G21G2说明是否为单同态，满同态和同构，并求同态像和同态核。)(1)ker(（1），，其中为非零实数的集合，和分别表示数，ZG，R2R的加法和乘法。是奇数是偶数，： x1)(Z（2），，其中，为复数集合，Z1 ，A2 1|CC和分别表示数的加法和乘法。 xixsnco)(，： Z（3），，其

34、中，和的定义同（2）。，R1G，2 xixAsc)(，： R应用离散数学群环域2. ，都是有么半群，其中，表示数的乘法。，Z，A10，A其它情况时当，： )(2)(NZkx证明是从到的同态映射。Z证：显然是从到的映射，，下面分两种情况讨论：Ayx,（1）当时，有，于是),(2,Nnmyx1)(,)(y。(1)(（2）当至少有一个不能表示为时，就不能表示为的形式，, 2kx)(2Nk至少有一个为 0，于是)(yx。)()(yyx因此，，，即是从到的同态映射。Z, ZA3. ，都是有么半群，和分别表示数的加法和乘法。，R， x10)(，： R

35、证明是从到的单同态，但不是同构。，，R证：对，有，yx, )(10)( yyxyxyx 所以是到的同态映射。，，对，若，显然有，即，,yx从而是上的单射；然而对，不存在满足的，RR1)(xR从而不是上的满射；因此不是的双射。故，是从到的单同态，但不是同构。，，4. 是整数加法群，是任意一个群，对于中的任一固定元素，令，Z，GGa，证明是从到的同态映射，并求同态核。)()naggZ5. 是实数加法群，是模为 1 的复数对于乘法运算的群，这两个群同态，R，1C吗？同构吗？请说明理由。6. 和分别是正整数对于加法和乘法构成的半群

36、，问从到，Z，，Z，和从到都存在同态映射吗？说明理由。，，，Z7. 设是从群到群的同态映射，是从群到群f，G，Hg，H的同态映射，证明复合函数是从群到群的同态映射。，Kgf，G，K8. 设、是代数系统，都是二元运算，是从到的同态映，，H， G应用离散数学群环域射，则（1）是上的运算，即是代数系统。)(G，)(G（2）如果在上满足交换律，则在上也满足交换律。（3）如果在上满足结合律，则在上也满足结合律。（4）如果在上满足等幂律，则在上也满足等幂律。)(（5）如果是的零元，则是的零元。，，9. 设、是代数系统，

37、都是二元运算，是从，G，H，到的同态映射，证明如果在上，和满足吸收律，则在上，和也满足吸HG )(G收律。10. 设是一个群，定义映射为，证明是的自同构，：1x当且仅当是交换群。11. 设是从群到群的同态映射，证明若是循环群，则也，，H)(是循环群。证：因为是循环群，于是对于，都有GGamn,)()(mna对于时，有。1(对于时，有。2 22 )(a若时，有，那么，对时有kn11)kk knkkaaa)()() 11 这表明，中的每一个元素都可以表示为，所以是以生成元为的循环G)(G)(a群。12. 设和分别是阶群和

38、阶群，若从到存在单同态，证明，，HmnH，即是的因子。 nm|证：设是群到的单一同态，则的同态象是的子群，显然是到gg)(g的双射，于是是一个阶群，由拉格朗日定理可知，。)(G)( nm|13. 设是从群到群的同态映射，对任意的，记，G， Ga)(ab试问和的次数是否一定相同？如果不同，它们之间有何关系？ba14. 给出群的全部自同态。6，Z解：若是一个自同态映射，则，有：f 6,Zyx（1）)()()(6ffyxf（2）6应用离散数学群环域（1）令，则由（1）式可得：，因为0yx )0()()0(6fff是群，所以消去律成立，所以

39、有。6，Z（2）令，记则由 2 式得：，)(fa2a即为整数。,ka：即，再加上（1）式，推出：；00)(f 5,431,0)(xf：即，再加上（1）式，推出：；1 2：推出与是整数矛盾；23/k：即，再加上（1）式，推出：， 3a)(f )1(f 0)(f，，；3)(f 0435：即，再加上（1）式，推出：， 44f f 2f，，；0f )(f )(：推出与是整数矛盾；5a3/0k由上面的（1）和（2），我们得到如下 4 个自同态映射：6,0)(Zxf，，，，，f 3)(f 0)2(f 3)(f 0)4(f3)5(，，，，，0f

40、41ff 0ff24.7 环与域习题 4.71. 设。证明关于复数的加法和乘法构成环，称为高1|2iZbaiA， A斯整数环。2. 设为实数，称为实数域nnaxaxf ， 21210)()(xf上的次多项式，令n。)(| NfA，次多项式为实数域上的证明关于多项式的加法和乘法构成环，称为实数域上的多项式环。3. 判断下列集合和给定运算是否构成环、整环和域，如果不能构成，请说明理由。（1），运算为复数的加法和乘法。1|2ibai， Q应用离散数学群环域（2），运算为实数的加法和乘法。|1ZzA（3），运算为实数的加法和乘法。|（4），运算为实数的加法和乘法。

41、0|x（5），运算为实数的加法和乘法。|54QbaA，4. 设是环，证明，R（1） 0，（2） )()(abbaa，（3） cabcc ，5. 设是环，令，R)(|xRaxC称作环的中心，证明是的子环。CR6. 设和是含么环中的两个逆元，证明：ab（1）也是可逆元，且1)(a（2）也是可逆元，且 1b7. 在域中解下列方程和方程组：5，Z（1） 3x（2） 12yz8. 类似于子环，给出子整环和子域的定义。第四章上机练习（编写下列程序并计算至少一个算例）1. 给定有限集合上的一个二元运算（给定运算表），判断这个运算是否满足交换律、结合律、等幂律。2. 给定有限集合上的一

42、个二元运算，求出它的单位元和零元。应用离散数学群环域3. 给定一个有限半群，判断它是否是有么半群，是否是群。4. 给定一个有限群，求每个元素的次数。5. 给定一个有限循环群，求出它的所有生成元以及生成元的个数。6. 给定一个有限循环群，求它的所有子群。7. 给定一个有限群以及这个有限群集合的一个子集，判断这个子集是否构成子群。8给定一个有限群和它的一个非平凡子群，求这个子群的所有左陪集，并判断这个子群是否是正规子群。9. 给定一个有限群和它的一个非平凡子群，求出这个有限群集合上的一个等价关系，使得这个等价关系的等价类就是这个子群相应的左陪集。10. 给出所有 5 阶置换。11. 给定两个有限群和以及从到的同态映射，G，H，G，H求同态像和同态核。)()ker(12. 给定一个有限环，判断它是否是交换环，是否是有么环，是否是无因子环，是否是整环。13. 给定一个有限整环，判断它是否是域。14. 给定一个有限整环，求它的所有子环。

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