1、1第九讲 函数与导数难题串讲（讲义）目标：总结函数与导数题型，重点攻坚较难题目。导数的作用：导数作为一个研究工具能很好地研究函数的单调性、极值、最值等问题，同时也能帮助研究函数的零点问题和切线问题，在与不等式结合起来时能研究不等式的恒成立问题。方法总结：利用导数研究问题时通常会灵活多变，构造函数法是最经典的方法之一，不论是研究方程的根的问题还是研究不等式成立的问题都具有很明显的优势。构造函数最一般的情况如下：需要证明 ，构造函数 ，在确定函数定义域后，通过求出 ，()() ()=()() ()求出 H(x)的最小值（或者极小值） ；证明函数 H(x)的最小值（或者极小值）为正数即可。难点：近年
2、高考中难题多出现在利用导数研究函数多种性质的综合题，当函数与不等式、数列、解析几何结合起来时更是会增大难度，容易出错。【题目串讲】：1、求证： ln(1+)【证明】：令 则 令 ，则 x=0.()=ln(1+).(1)()=11+1. ()=0当 时， ，当 时， ，(1,0) ()0 (0,+) ()1 ()+1（II）设当 时， ，求 a 的取值范围.0 ()+1【命题意图】本题主要考查导数的应用和利用导数证明不等式，考查考生综合运用知识的能力及分类讨论的思想，考查考生的计算能力及分析问题、解决问题的能力。需要构造函数。（I） 【证明】当 时， 当且仅当 .1 ()+1 1+令 ，则()=
3、1 ()=1当 时 是增函数；0 ()0， ()在 0,+)当 时 是减函数；0 ()0， ()在（ ， 0于是 在 x=0 处达到最小值，因而当 时， ，即 ，() ()(0) 1+2所以当 时， .1 ()+1（II）由题设 ，此时 .0 ()0当 时，若 ，则 不成立；1 +112 ()()=()()+()()()+()()=(21)()当 时， ，即0(0)=0 () +1综上，a 的取值范围是0， .12【评析】本题涉及到不等式恒成立的问题。第二问的解题技巧在于构造了一个新的函数，同时利用了第一问的条件进行了合理的放大，作为压轴题通常如此，技巧性很高。我们能做的就是积累大量技巧。3、
4、(20)( 本小题满分 12 分)已知函数 ()1lnfxx.（）若 ，求 的取值范围；2(1xfax（）证明： .)(0f【证明】（） ，11()lnlxf x,题设 等价于 .2()1xfaxlnxa令 ，则lng()g当 ， ；当 时， ， 是 的最大值点，0x (0 x ()0gx 1()gx)13综上， 的取值范围是 .a1,()由（）知， 即 .()gx ln0x当 时， ；01 )l(n1)0f x当 时，x ()l(l1)xxnl(l)xx0所以 (1)0xf【评析】第一问分离变量，然后构造函数，求取最值。第二问用到一个技巧，利用第一问可知 ，则分类讨论，当 时，ln 01x
5、；那么当 时，其时就是将 带入。()1lln()fxx 1x14、 （2012 浙江 22）已知 a0，b R，函数 342fxabx()证明：当 0x1 时，()函数 f的最大值为|2ab|a；() fx|2ab| a0；() 若1 f1 对 x 0， 1恒成立，求 ab 的取值范围【解析】本题主要考察不等式，导数，单调性，线性规划等知识点及综合运用能力。()() 21fxab当 b0 时， 2fx0 在 0x1 上恒成立，此时 fx的最大值为： 1423fabab|2ab| a；当 b0 时， 2fx在 0x1 上的正负性不能判断，此时 fx的最大值为：max 2(0)1max()baff
6、ba， （ ） ， ，|2ab| a；4综上所述：函数 fx在 0x1 上的最大值为|2 ab|a；() 要证 fx|2ab|a0，即证 gx f|2ab|a亦即证 g在 0x1 上的最大值小于(或等于)|2ab|a， 342xa，令 2106bgxabxa当 b0 时， 21gxb0 在 0x1 上恒成立，此时 x的最大值为： 3gab|2ab| a；当 b0 时， 21xb在 0x1 上的正负性不能判断，max()6gga， （ ）423662bab，|2ab |a；综上所述：函数 gx在 0x1 上的最大值小于(或等于)|2ab|a即 fx|2a b|a0 在 0x1 上恒成立()由(
7、)知：函数 f在 0x1 上的最大值为|2ab|a ，且函数 fx在 0x1 上的最小值比 (|2ab|a) 要大1 f1 对 x0，1 恒成立，|2 a b|a1取 b 为纵轴，a 为横轴则可行域为： 21ba和 31ab，目标函数为 zab作图如下：由图易得：当目标函数为 zab 过 P(1，2) 时，有 max3z5所求 ab 的取值范围为： 3， 5、 （本小题满分 14 分）设 1xaf()（ 0且 1a） ，g(x) 是 f(x)的反函数.（）设关于 x的方程求 27atlog()(x)在区间2，6 上有实数解，求 t 的取值范围；（）当 ae（e 为自然对数的底数）时，证明：22
8、1nkng()()；（）当 0a 时，试比较 1nkf()与 4 的大小，并说明理由.12本小题考产函数、反函数、方程、不等式、导数及其应用等基础知识，考察化归、分类整合等数学思想方法，以及推理论证、分析与解决问题的能力.【解】：(1)由题意，得 ax 1y0故 g(x) loa，x ( ,1)(1,)由 21llg(1)7aat得t(x-1) 2(7-x)， x2,6则 t=-3x2+18x-15=-3(x-1)(x-5)列表如下：6x 2 (2,5) 5 (5,6) 6t + 0 -t 5 极大值 32 25所以 t 最小值 5，t 最大值 32所以 t 的取值范围为5,325 分(2)
9、21231()lnlln4nkg ln( 351 )ln )2n令 u(z)lnz 2 1z 2lnzz 1，z0则 u(z) 2z(1 )20所以 u(z)在(0, )上是增函数又因为 12n10，所以 u( 1)2n)u(1)0即 ln()(1)2nn 0即 2()()nkg9 分(3)设 a 1p，则 p1，1f(1) 21ap3当 n1 时，|f(1)1| 224当 n2 时设 k2,kN *时，则 f(k) 1)2(1)kkpp1 2kkCC7所以 1f(k)1 12441()kCkk从而 n1 2()nkfn-1+ n+1- n1所以 n 1()kff(1)n1n4综上所述，总有|
10、 1()kf n|46、 （本小题满分 13 分）已知函数 2()(,),fxbcR对任意的 xR，恒有 ()fxf。（）证明：当 0时， 2fxc；（）若对满足题设条件的任意 b，c，不等式 2()()fbMc恒成立，求 M 的最小值。87、 （本小题满分 12 分）为了在夏季降温和冬季供暖时减少能源损耗，房屋的屋顶和外墙需要建造隔热层。某幢建筑物要建造可使用 20 年的隔热层，每厘米厚的隔热层建造成本为 6 万元。该建筑物每年的能源消耗费用 C（单位：万元）与隔热层厚度 x（单位：cm）满足关系：C （x）=(01),35kx若不建隔热层，每年能源消耗费用为 8 万元。设 f（x）为隔热层
11、建造费用与 20 年的能源消耗费用之和。（）求 k 的值及 f(x)的表达式。（）隔热层修建多厚时，总费用 f(x)达到最小，并求最小值。98、 （本小题满分 14 分）（）已知函数 3(x)=-f， 其 图 象 记 为 曲 线 C。（i）求函数 的单调区间；（ii）证明：若对于任意非零实数 1x，曲线 C 与其在点 1P(x,f)处的切线交于另一点22P(x,f)，曲线 C 与其在点 22P(,f)处的切线交于另一点 33(,fx)，线段1123 12, ,S与 曲 线 所 围 成 封 闭 图 形 的 面 积 分 别 记 为 则 为 定 值 ；（）对于一般的三次函数 32g(x)=a+bcx
12、d(a0),请 给 出 类 似 于 （） （ii）的正确命题，并予以证明。【命题意图】本小题主要考查函数、导数、定积分等基础知识，考查抽象概括能力、运算求解能力、推理论证能力，考查函数与方程思想、数形结合思想、化归与转化思想、特殊与一般思想。【解析】 （） （i）由 3(x)=-f得 2(x)-1f= 3()x+，当 3x(-,)和 （ ， ） 时， ()0f；10当 3x(-,)时， (x)0，使得)1)(2xxf，则称函数 )(f具有性质 )(aP。(1)设函数 fln(b，其中 b为实数。(i)求证：函数 )(xf具有性质 )P； (ii)求函数 )(xf的单调区间。(2)已知函数 g具
13、有性质 2(。给定 1212,x设 m为实数，21)(xm， )m，且 ，若| )|0，所以对任意的 都有 (0x， ()g在 ,)上递增。13又 1212,()xmx。当 ,m时， ，且 11212()(),()()mxxm，综合以上讨论，得：所求 m的取值范围是（0，1 ） 。（方法二）由题设知， ()gx的导函数 2()(1)gxhx，其中函数 ()0hx对于任意的 ),1(x都成立。所以，当 时， 2 ，从而 g在区间 ,上单调递增。当 (0,)m时，有 1211()()mxxmx，12x，得 2,，同理可得 12(,)x，所以由 ()g的单调性知 ()g、 1(),gx，从而有| |
14、 21x|，符合题设。当 0m时， 2()()mx，1211()xx，于是由 1,及 ()gx的单调性知1412()()gxg，所以| )(g| )(21xg|，与题设不符。当 m时，同理可得 12,x，进而得| | )(21|，与题设不符。因此综合、得所求的 m的取值范围是（0，1 ） 。1、 数列 满足：（I）证明：数列 是单调递减数列的充分必要条件是（II）求 的取值范围，使数列 是单调递增数列。2、已知函数 的定义域为 且 ，对任意 都有数列 满足 N .（1）证明函数 是奇函数;（2）求数列 的通项公式;（3）令 N , 证明:当 时, .(本小题主要考查函数、数列、不等式等知识,
15、考查化归与转化、分类与整合的数学思想方法，以及抽象概括能力、推理论证能力、运算求解能力和创新意识)3、已知定义在 上的函数 满足： ，且对于任意实数 ，总有成立.（1）求 的值，并证明 为偶函数；（2）若数列 满足 ，求数列 的通项公式； （3）若对于任意非零实数 ，总有 .设有理数 满足 ，判断和 的大小关系，并证明你的结论.154、已知数列 中， ，且 （1）求数列 的通项公式；（2）求证：对一切 ，有 参考答案1、（I）必要条件当 时， 数列 是单调递减数列充分条件数列 是单调递减数列得：数列 是单调递减数列的充分必要条件是（II）由（I）得：（1） 时， ，不合题意（2）当 时，16当
16、 时， 与 同号，由当 时，存在 ，使 与 异号与数列是单调递减数列矛盾得：当 时，数列 是单调递增数列2、【解析】（1）由于对任意 ，都有 ，令 ，得 ，解得 . 1 分令 ，得 ， ， ，即 . 2 分 函数 是奇函数. 3分（2）解：先用数学归纳法证明 .当 时， ，得 , 结论成立.假设 时, 结论成立, 即 ,当 时, 由于 , ,17又 . .即 时, 结论也成立.由知对任意 N , . 4 分求数列 的通项公式提供下面两种方法.法 1: . 5 分函数 是奇函数， . . 6 分数列 是首项为 ，公比为 的等比数列.数列 的通项公式为 . 7 分法 2: 5 分, . 6 分数列
17、 是首项为 ，公比为 的等比数列.数列 的通项公式为 . 7 分（3）证法 1：由（2）知 ， ，18 . N ，且 N ,且 .当 且 N 时,. . 12 分 ,当 时, 。证法 2：由（2）知 ，故对 ，有.193、解:（1）令 ， ，又 ， .令 ，得 ，即对任意的实数 总成立， 为偶函数. （2）令 ，得 ， ， . 令 ，得 ，20. 是以 为首项，以 为公比的等比数列. . （3）结论： . 证明： 时， , ，即 .令 （ ），故 ，总有 成立.则.对于 ，总有 成立.对于 ，若 ，则有 成立. ，所以可设 ，其中 是非负整数， 都是正整数，21则 ，令 ， ，则 . ， ， ，即 .函数 为偶函数， . . 4、解 （1）由已知，对 有 ，两边同除以 n，得 ，即 ， 于是， ， 即 ，所以 ， 又 时也成立，故 （2）当 ，有 ， 22所以 时，有又 时，故对一切 ，有 .
