1、第五章 曲线运动第一节 曲线运动1.一个质点从平面直角坐标系的原点开始运动并开始计时。它在 t1 时刻到达x1=2.0m、y 1=1.5 m 的位置；在 t2 时刻到达 x2=3.6cm、y 2=4.8 m 的位置。作草图表示质点在0t 1 和 0t 2 如时间内发生的位移 l1 和 l2，然后计算它们的大小及它们与 x 轴的夹角 1 和2答：质点两次位移的草图如图所示，根据勾股定理和三角函数的定义可得：l1 =2.5m, l2=6.0m； 1=arctan(3/4) 2=arctan(4/3)2.在许多情况下，跳伞员跳伞后最初一段时间降落伞并不张开，跳伞员做加速运动。随后，降落伞张开，跳伞员
2、做减速运动如图所示。速度降至一定值后便不再降低，跳伞员以这一速度做匀速运动，直至落地。无风时某跳伞员竖直下落，着地时速度是5m/s。现在有风，风使他以 4m/s 的速度沿水平方向向东运动。他将以多大速度着地?计算并画图说明。答：根据题意，无风时跳伞员着地的速度为 v2，风的作用使他获得向东的速度 v1，落地速度 v 为 v2、v 1 的合速度，如图所示。v= 245/6.4/ms与竖直方向的夹角为 ，tan=0.8, =38.7 0。3.跳水运动是一项难度很大又极具观赏性的运动，我国运动员多次在国际跳水赛上摘金夺银，被誉为跳水“梦之队” 。如图是一位跳水队员从高台做“反身翻腾二周半”动作时头部
3、的运动轨迹，最后运动员沿竖直方向以速度 v 入水。整个运动过程中，在哪几个位置头部的速度方向与入水时 v 的方向相同?在哪几个位置与 v 的方向相反 ?在图中标出这些位置。l12.01.53.64.8l2x/mOy/m答：如图所示，在 A、C 位置头部的速度与入水时速度 v 方向相同；在 B、D 位置头部的速度与入水时速度 v 方向相反。 ABCD4.汽车以恒定的速率绕圆形广场一周用时 2 min，每行驶半周，速度方向改变多少度? 汽车每行驶 10 s，速度方向改变多少度?先作一个圆表示汽车运动的轨迹，然后作出汽车在相隔10 s 的两个位置速度矢量的示意图。答：汽车行驶半周速度方向改变 180
4、。汽车每行驶 10s，速度方向改变 30，速度矢量示意图如图 613 所示。 1v30图 6135.一个物体的速度方向如图中 v 所示。从位置 A 开始，它受到向前但偏右(观察者沿着物体前进的方向看，下同)的合力。到达 B 时，这个合力突然改成与前进方向相同。到达 C 时，又突然改成向前但偏左的力。物体最终到达 D。请你大致画出物体由 A 至 D 的运动轨迹，并标出 B 点、C 点和 D 点。答：如图 614 所示，AB 段是曲线运动、BC 段是直线运动、CD 段是曲线运动。ABCD图 614第二节 平抛运动1.一条水平放置的水管，横截面积 S=2.0cm2，距地面高 h=1.8 m。水从管口
5、以不变的速度源源不断地沿水平方向射出，水落地的位置到管口的水平距离是 0.9 m。问：每秒内从管口流出的水有多大体积?计算时设管口横截面上各处水的速度都相同，自由落体加速度取g=10m/s2，不计空气阻力。解：水流的运动可看做是平抛运动，由竖直方向做自由落体： ，21hgt有 1.8s=06htg水平方向：由 x=vt 可知水从水管口出来时的水平初速度为： ，0.9m/s=1.5/6xvt则每秒内从管口流出的水的体积为：V=Sv=2.010 -41.5m3=310-4m3=300 毫升2.某卡车在限速 60km/h 的公路上与路旁障碍物相撞。处理事故的警察在泥地中发现了一个小的金属物体，可以判
6、断，它是事故发生时车顶上一个松脱的零件被抛出而陷在泥里的。警察测得这个零件在事故发生时的原位置与陷落点的水平距离为 13.3 m，车顶距泥地的竖直高度为 2.45 m。请你根据这些数据为该车是否超速提供证据。解：该车已经超速。零件做平抛运动，在竖直方向位移为 y2.45m 经历时间21gt，在水平方向位移 xvt 13.3m，零件做平抛运动的初速度为：24.90.718ytsgvxt13.30.71m/s 18.7m/s67.4km/h60km/h 所以该车已经超速。3.如图所示，在水平桌面上用练习本做成一个斜面，使小钢球从斜面上某一位置滚下，钢球沿桌面飞出后做平抛运动。怎样用一把刻度尺测量钢
7、珠在水平桌面上运动的速度?说出测量步骤，写出用所测的物理量表达速度的计算式。答：让小球从斜面上某一位置 A 无初速释放；测量小球在地面上的落点P 与桌子边沿的水平距离 x；测量小球在地面上的落点 P 与小球静止在水平桌面上时球心的竖直距离 y。小球离开桌面的初速度为 。2gvxy4.某个质量为 m 的物体在从静止开始下落的过程中，除了重力之外还受到水平方向的大小、方向都不变的力 F 的作用。(1)求它在时刻 t 的水平分速度和竖直分速度。(2)建立适当的坐标系，写出这个坐标系中代表物体运动轨迹的 x、y 之间的关系式。这个物体在沿什么样的轨迹运动?答：（1）物体在力 F 的作用下，在水平方向的
8、加速度 ，因此在时刻 t 的水平分速度Fam为 xvatm在竖直方向上受重力 mg 作用，在时刻 t 的竖直竖直分速度为：v y=gt。（2）以水平运动方向为 x 轴，竖直向下为 y 轴建立直角坐标系，那么 ;221Fxtt21ygt由解得 , 为一常数，所以物体运动轨迹为一条直线。y第三节 研究平抛运动1.某同学设计了一个探究平抛运动特点的家庭实验装置，如图所示。在水平桌面上放置一个斜面，每次都让钢球从斜面上的同一位置滚下，滚过桌边后钢球便做平抛运动。在钢球抛出后经过的地方水平放置一块木板(还有一个用来调节木板高度的支架，图中未画) ，木板上放一张白纸，白纸上有复写纸，这样便能记录钢球在白纸
9、上的落点。桌子边缘钢球经过的地方挂一条铅垂线。已知平抛运动在竖直方向上的运动规律与自由落体运动相同，在此前提下，怎样探究钢球水平分速度的特点?请指出需要的器材，说明实验步骤。 1x2x3y答：还需要的器材是刻度尺。实验步骤：（1）调节木板高度，使木板上表面与小球离开水平桌面时的球心的距离为某一确定值y；（2）让小球从斜面上某一位置 A 无初速释放；（3）测量小球在木板上的落点 P1 与重垂线之间的距离 x1；（4）调节木板高度，使木板上表面与小球离开水平桌面时的球心的距离为某一确定值4y；（5）让小球从斜面上同一位置 A 无初速释放；（6）测量小球在木板上的落点 P2 与重垂线之间的距离 x2
10、；（7）比较 x1、x 2，若 2x1 x2，则说明小球在水平方向做匀速直线运动。2.某同学为了省去上图中的水平木板，把第 1 题中的实验方案做了改变。他把桌子搬到墙的附近，使从水平桌面上滚下的钢球能打在墙上，把白纸和复写纸附在墙上，记录钢球的落点。改变桌子和墙的距离，就可以得到多组数据。如果采用这种方案，应该怎样处理数据?答：改变墙与铅垂线之间的距离 x，测量落点与抛出点之间的竖直距离 y，若 2x1=x2，有4y1=y2。则说明小球在水平方向做匀速直线运动。 （或：分别求出每组数据的 的值，如果比值恒定，则说明钢球平抛运动的过程中，水平方向上做匀速直线运动。 ）3.某同学使小球沿课桌面水平
11、飞出，用数码照相机拍摄小球做平抛运动的录像(每秒 15 帧照片)，并将小球运动的照片打印出来。请问：他大约可以得到几帧小球正在空中运动的照片?答：课桌面距地高度大约为 0.8 m，由 h=gt2/2得 t=0.4 s，因此，在 0.4 s 内可拍得照片 150.4=6 张. 第四节 圆周运动1.地球可以看做一个半径为 6410 3 km 的球体，北京的纬度约为 400。位于赤道和位于北京的两个物体，随地球自转做匀速圆周运动的角速度各是多大?线速度各是多大?解：位于赤道和位于北京的两个物体随地球自转做匀速圆周运动的角速度相等，都是。523.14/7.210/0radsradsT位于赤道的物体随地
12、球自转做匀速圆周运动的线速度 v1R465.28m/s位于北京的物体随地球自转做匀速圆周运动的角速度 v2Rcos40 356.43m/s2.某走时准确的时钟，分针与时针的长度比是 1.2：1。(1)分针与时针的角速度之比等于多少?(2)分针针尖与时针针尖的线速度之比等于多少?解：分针的周期为 T11h，时针的周期为 T212h（1）分针与时针的角速度之比为 12T 2T1121（2）分针针尖与时针针尖的线速度之比为 v1v2 1r12r214.413.如图所示，A、B 两点分别位于大、小轮的边缘上，C 点位于大轮半径的中点，大轮的半径是小轮的 2 倍，它们之间靠摩擦传动，接触面不打滑。请在该
13、装置的 A、B、C 三个点中选择有关的两个点，具体说明公式 v=r 的以下三种变量关系：(1)v 相等， 跟 r 成反比；(2) 相等， v 跟 r 成正比；(3)r 相等， v 跟 成正比。答：（1）A、B 两点线速度相等，角速度与半径成反比（2）A、C 两点角速度相等，线速度与半径成正比（3）B、C 两点半径相等，线速度与角速度成正比说明：该题的目的是让学生理解线速度、角速度、半径之间的关系：vr；同时理解传动装置不打滑的物理意义是接触点之间线速度相等。4如图所示是自行车传动机构的示意图。假设脚踏板每 2 s 转 1 圈，要知道在这种情况下自行车前进的速度有多大，还需要测量哪些量?请在图中
14、用字母标注出来，并用这些量推导出自行车前进速度的表达式。利用你家的自行车实际测量这些数据，计算前进速度的大小，然后实测自行车的速度。对比一下，差别有多大?答案：需要测量大、小齿轮及后轮的半径 r1、r 2、r 3。自行车前进的速度大小 132rvT说明：本题的用意是让学生结合实际情况来理解匀速圆周运动以及传动装置之间线速度、角速度、半径之间的关系。但是，车轮上任意一点的运动都不是圆周运动，其轨迹都是滚轮线。所以在处理这个问题时，应该以轮轴为参照物，地面与轮接触而不打滑，所以地面向右运动的速度等于后轮上一点的线速度。5.家用台式计算机上的硬磁盘的磁道和扇区如图所示。某台计算机上的硬磁盘上共有 9
15、216个磁道(即 9216 个不同半径的同心圃 )，每个磁道分成 8192 个扇区(每扇区为 圆周)，1892每个扇区可以记录 512 个字节。电动机使磁盘以 7200 rmin 的转速匀速转动。磁头在读、写数据时是不动的。磁盘每转一圈，磁头沿半径方向跳动一个磁道。(1)一个扇区通过磁头所用的时间是多少?(2)不计磁头转移磁道的时间，计算机 1 秒内最多可以从硬盘面上读取多少个字节?解：磁盘转动的周期为 T s20（1）扫描每个扇区的时间 t T1.010 -6s。189（2）每个扇区的字节数为 512 个,1s 内读取的字节数为 86512.10.0说明：本题的用意是让学生结合实际情况来理解
16、匀速圆周运动。第五节 向心加速度1.甲、乙两物体都在做匀速圆周运动，以下各种情况下哪个物体的向心加速度比较大?A它们的线速度相等，乙的半径小B它们的周期相等，甲的半径大。C它们的角速度相等，乙的线速度小。D它们的线速度相等，在相同时间内甲与圆心的连线扫过的角度比乙的大答：A甲、乙线速度相等时，利用 ，半径小的向心加速度大。所以乙的向心加速2nvar度大；B甲、乙周期相等时，利用 ，半径大的向心加速度大。所以甲的向心加速度24nT大；C甲、乙角速度相等时，利用 anv，线速度大的向心加速度大。所以乙的向心加速度小；D甲、乙线速度相等时，利用 anv，角速度大的向心加速度大。由于在相等时间内甲与圆
17、心的连线扫过的角度比乙大，所以甲的角速度大，甲的向心加速度大。说明：本题的目的是让同学们理解做匀速圆周运动物体的向心加速度的不同表达式的物理意义。2.月球绕地球公转的轨道接近圆，半径为 38410 5 km，公转周期是 27.3 天。月球绕地球公转的向心加速度是多大?解：月球公转周期为 T27.3243600s2.3610 6s。月球公转的向心加速度为=2.710-3m/s22252643.14().810km/0nar3.一部机器由电动机带动，机器上的皮带轮的半径是电动机皮带轮半径的 3 倍(如图示) ，皮带与两轮之间不发生滑动。已知机器皮带轮边缘上一点的向心加速度为 0.10ms 2。(1
18、)电动机皮带轮与机器皮带轮的转速比 n1：n 2 是多少?(2)机器皮带轮 M 点到转轴的距离为轮半径的一半， A 点的向心加速度是多少?(3)电动机皮带轮边缘上某点的向心加速度是多少?解：(1)由于皮带与两轮之间不发生滑动，所以两轮边缘上各点的线速度大小相等，设电动机皮带轮与机器皮带轮边缘上质点的线速度大小分别为 v1、v 2，角速度大小分别为1、 2，边缘上质点运动的半径分别为 r1、r 2，则 v1v 2 v 1 1r1 v 2 2r2 又 2n 所以 n1n2 12r 2r131 (2)A 点的向心加速度为2220./0.5/nAamss（3）电动机皮带轮边缘上质点的向心加速度为2 2
19、2121.3/s./snvr4.A、B 两个快艇在湖面上做匀速圆周运动，在相同的时间内，它们通过的路程之比是4：3，运动方向改变的角度之比是 3：2，它们的向心加速度之比是多少?解：A、B 两个快艇做匀速圆周运动，由于在相等时间内，它们通过的路程之比是 43，所以它们的线速度之比为 43；由于在相等时间内，它们运动方向改变的角度之比是32，所以它们的角速度之比为 32。由于向心加速度 anv，所以它们的向心加速度之比为 21。说明：本题的用意是让学生理解向心加速度与线速度和角速度的关系 anv 。第六节 向心力1.地球质量为 6.01024kg，地球与太阳的距离为 1.51011 m。地球绕太
20、阳的运动可以看做匀速圆周运动。太阳对地球的引力是多少?解：地球在太阳的引力作用下做匀速圆周运动，设引力为 F；地球运动周期为T365243600s3.1510 7s。根据牛顿第二运动定律得： =3.581022N2224 17(3.1)46.0.50Fmr说明：本题的目的是让学生理解向心力的产生，同时为下一章知识做准备。2.把一个小球放在玻璃漏斗中，晃动漏斗，可以使小球沿光滑的漏斗壁在某一水平面内做匀速圆周运动(如图)。小球的向心力是由什么力提供的?答：小球在漏斗壁上的受力如图所示。小球所受重力 G、漏斗壁对小球的支持力 FN 的合力提供了小球做圆周运动的向心力。3.一个圆盘在水平面内匀速转动
21、，角速度是 4 rads。盘面上距圆盘中心 0.10 m 的位置有一个质量为 0.10kg 的小物体能够随圆盘一起运动，如图示。(1)求小物体做匀速圆周运动时所受向心力的大小。(2)关于小物体的向心力，甲、乙两人有不同意见：甲认为该向心力等于圆盘对小物体的静摩擦力，指向圆心；乙认为小物体有向前运动的趋势，静摩擦力方向和相对运动趋势方向相反，即向后，而不是和运动方向垂直，因此向心力不可能是静摩擦力。你的意见是什么?说明理由。答：（1）根据牛顿第二运动定律得：Fm 2r0.14 20.1N0.16N（2）甲的意见是正确的。静摩擦力的方向是与物体相对接触面运动的趋势方向相反。设想一下，如果在运动过程
22、中，转盘突然变得光滑了，物体将沿轨迹切线方向滑动。这就如同在光滑的水平面上，一根细绳一端固定在竖直立柱上，一端系一小球，让小球做匀速圆周运动，突然剪断细绳一样，小球将沿轨迹切线方向飞出。这说明物体在随转盘匀速转动的过程中，相对转盘有沿半径向外的运动趋势。说明：本题的目的是让学生综合运用做匀速圆周运动的物体的受力和运动之间的关系。4.如图示，细绳的一端固定于 D 点，另一端系一个小球，在 D 点的正下方钉一个钉子 A，小球从一定高度摆下。经验告诉我们，当细绳与钉子相碰时，如果钉子的位置越靠近小球，绳就越容易断。请你利用向心力的知识解释这一现象。解：设小球的质量为 m，钉子 A 与小球的距离为 r
23、。根据机械能守恒定律可知，小球从一定高度下落时，通过最低点的速度为定值，设为 v。小球通过最低点时做半径为 r 的圆周运动，绳子的拉力 FT 和重力 G 的合力提供了向心力，即：得 在 G，m ，v 一定的情况下，r 越小，F T 越大，即绳子2Tvr2r承受的拉力越大，绳子越容易断。5.一辆汽车在水平公路上转弯，沿曲线由 M 向 N 行驶，速度逐渐减小。图甲、乙、丙、丁分别画出了汽车转弯时所受合力 F 的四种方向，你认为正确的是哪个?答：汽车在行驶中速度越来越小，所以汽车在轨迹的切线方向做减速运动，切线方向所受合外力方向如图 Ft 所示；同时汽车做曲线运动，必有向心加速度，向心力如图 Fn
24、所示。汽车所受合外力 F 为 Ft、F t 的合力，如图所示。丙图正确。说明：本题的意图是让学生理解做一般曲线运动的物体的受力情况。第八节 生活中的圆周运动1.如果高速转动飞轮的重心不在转轴上，运行将不稳定，而且轴承会受到很大的作用力，加速磨损。如图中飞轮半径 r=20 cm，OO为转动轴。正常工作时转动轴受到的水平作用力可以认为是 0。假想在飞轮的边缘固定一个质量 m=0.01 kg 的小螺丝钉P，当飞轮转速 n=1 000 rs 时，转动轴 00受到多大的力 ?解：小螺丝钉做匀速圆周运动所需要的向心力 F 由转盘提供，根据牛顿第三运动定律，小螺丝钉将给转盘向外的作用力，转盘在这个力的作用下
25、，将对转轴产生作用力，大小也是 F。22 2()0.1(3.40).786.FmrnrN2()0.13.4786.FrnN说明：本题的意图在于让学生联系生活实际，理解匀速圆周运动。2.质量为 2.0103kg 的汽车在水平公路上行驶，轮胎与路面间的最大静摩擦力为1410 4N。汽车经过半径为 50m 的弯路时，如果车速达到 72kmh，这辆车会不会发生侧滑?解：这个题有两种思考方式。第一种，假设汽车不发生侧滑，由于静摩擦力提供的向心力，所以向心力有最大值，根据牛顿第二运动定律得 ，所以一定对应有最大拐弯速度，设为 vm，2vFmar则 vm= fmr431.05/s18.7/6.35km/h7
26、2/2所以，如果汽车以 72km/h 的速度拐弯时，将会发生侧滑。第二种，假设汽车以 72km/h 的速度拐弯时，不发生侧滑，所需向心力为 F，223440.1N1.6.10N5vFr40.所以静摩擦力不足以提供相应的向心力，汽车以 72km/h 的速度拐弯时，将会发生侧滑。3.有一辆质量为 800kg 的小汽车驶上圆弧半径为 50m 的拱桥。(1)汽车到达桥顶时速度为 5 ms，汽车对桥的压力是多大?(2)汽车以多大速度经过桥顶时恰好对桥没有压力而腾空?(3)汽车对地面的压力过小是不安全的。因此从这个角度讲，汽车过桥时的速度不能过大。对于同样的车速，拱桥圆弧的半径大些比较安全，还是小些比较安
27、全?(4)如果拱桥的半径增大到与地球半径 R 一样，汽车要在桥面上腾空，速度要多大 ?解:（1）汽车在桥顶部做圆周运动，重力 G 和支持力 FN 的合力提供向心力，即汽车所受支持力2NvGFmr25(809.)740根据牛顿第三定律得，汽车对桥顶的压力大小也是 7440N。(2)根据题意，当汽车对桥顶没有压力时，即 FN0，对应的速度为 v， ./s2.1m/9.6k/h80rvm（3）汽车在桥顶部做圆周运动，重力 G 和支持力 FN 的合力提供向心力，即2NGFr汽车所受支持力 ，对于相同的行驶速度，拱桥圆弧半径越大，桥面所2Nvr受压力越大，汽车行驶越安全。（4）根据第二问的结论，对应的速度为 v0，330809.6410m/s7.9/s.km/Rvm4.质量为 25kg 的小孩坐在秋千板上，小孩离系绳子的横梁 2.5m。如果秋千板摆到最低点时，小孩运动速度的大小是 5m/s，她对秋千板的压力是多大 ? 解：小孩是在重力 mg 和秋千板的支持力 FN 两个力作用下做圆周运动，有 2NvFmgr50N他对秋千板的压力与秋千板对他的支持力互为反作用力，那么他对秋千板的压力为 500N,方向竖直向下。
