1、小学教育专业 20042005 学年数学思想与方法 试题一、填空题(本大履满分 30 分。本大题共有 10 题，每个空桔填对得 3 分，否则一律得零分)1 几何原本所开创的 公理化 方法不仅成为 种数学陈述模式，而且还被移植到其它学科，并且促进它们的发展2随机现象的特点是 在一定条件下，可能发生某种结果，也可能不发生某种结果 。3等腰三角形概念的抽象过程，就是把一个新的特征： 两边相等 加入到三角形概念中去，使三角形概念得到强化4类比法是指， 由一类事物所具有的某种属性，可以推测与其类似的事物也具有这种属性 的一种推理方法5。面对一个问愿，经过认真的观察和思考，过归纳或者类比提出猜想，然后从两
2、个方面人手；演绎证明此猜想为真；或者 寻找反例说明此猜想为假 并且进一步修正成否定此猜想6化归方法包含的三个要素是： 化归对象、化归日标、化归途径 。7算法的有效性是指， 如果使用该算法从它的初始数据出发，能够得到这一问题的正确解 8数学的研究对象大致可以分成两类 研究数量关系， 研究空间形式 。9。一个科学的分类标准必须能够将需要分类的数学对象， 不重复无遗漏 进行的划分。10根据学生掌握数学思想方法的过程有潜意识阶段、明朗化阶段和深刻理解阶段等三个阶段，可相应地将小学数学思想方法教学设计成 多次孕育、初步理解、简单应用 三个阶段。二、判断 (本大题满分 10 分。本大题共有 5 题，请在每
3、题后面的圆括号内填写”是”或否 ，答对得 2 分，)1， 九章算术不包括代数、几何内容否2抽象和概括是两种完全不同的方法 否3没有脱离数学知识的数学思想方法，也没有不包含数学思想方法的数学知识是4数学模型方法是物理学、工程学的专利，在生物学、经济学、军事学等领域投有应用否5在解决敷学问题时，往往需要综合运用多种数学思想方法才能奏效是三、简答题(本大题满分 30 分。本大题共有 5 题，只要筒明扼要地写出答案，每题均为 6 分)1为什么说几何原本是一个封闭的演绎体系?、 几何原本 以少数原始概念和公设、公理为基础，运用逻辑规则将当时所知的几何学中的主要命题 (定理 )全都推出来，从而形成一个井然
4、有序的整体在这个体系中，除了逻辑规则外，每个定理的证明所采用的论据均是公设、公理或 dS 面已证明的定理，并且引入的概念 (除原始概念 )也基本上符合逻辑上对概念下定义的要求，原则上不再依赖其它东西 另外 几何原本 )回避任何与社会生产现实生括有关的应用问题，对社会生活的各个领域来说也是封闭的因此， (几何原本 )是一个相对封闭的演绎体系2简述计算机在数学方面的三种新用途。第一，用来证明一些数学命题；第二，用来预测某些数学问题的可能结果，第三，用来验证某些数学问题的结果的正确性3试用框阄表示出 MM 方法解题的基本步骤。MM 方法解题的基本步骤可用框图表示为：4简述化归方法在数学教学中的应用。
5、化归方法在数学教学中的应用至少有以下三个方面：1)利用化归方法学习新知识， 利用化归方法指导解题， 利用化归方法整理知识结构5什么是算法的有限性特点?试举一个不符合算法有限性特点的例子算法的有限性是指一个算法必须在有限步之内终止以十进翻小数的除法这个算法为例，如取敷 2 和 3 作为初始数据，则有 2-3=O 6666无论怎样延续这个过程都不能结束，同时也不会出现中断因此，除法对于 2 和 3 这组数不符合算法有限性特点四、解答题(本大题满分 30 分。本大属共有 2 题，每题均为 15 分)1圆周角定理证明思路如下：将四周角的两边所处的位置分成三种情况：角的一边落在直径上；角的两边在某直径的
6、两侧，角的两边在某一直径的同侧如上田所示先对情况进行证明，然后将情况、转化为情况分别进行证明最后得出圆周角定理对任意圆周角都成立的结论。试具体分析上述证明中需要用到哪些数学思想方法。该证明中需用到 ”F 面几种数学思想方法， 将圃周角分成三种情况，用到分类方法； 先证明情况 而情况 是角恰有一边在直径上的特殊情况，用到特殊化方法： 通过对所有三种情况的证明，最后得出圆周角定理的结论，用到完全归纳法， 在证明过程中需要进行演绎推理，因此用到演绎方法2以“三角形面积公式为内容，没计一个教学片断。(要求：教学过程要比较具体、合理，且有一定的层次：要有与数学知识教学相联系的本课程中学习的数学思想方法教
7、学内容不少于 300 字)一、填空题( 每题 3 分，共 30 分)1学生理解或掌握数学思想方法的过程有如下三个主要阶段 潜意识阶段、明朗化阶段、深刻理解阶段 。2强抽象就是指，通过 把一些新的特征加入到某一概念中而形成的新概念的抽象过程 而形成新概念的抽象过程3菱形概念的抽象过程就是把个新的特征： 一组邻边相等 加入到平行四边形概念中去，匣平行四边形概念得到了强化。4分类必须遵循的原则是 不重复， 无遗漏， 标准同一 按层次逐步划分 。5面对一个问题，经过认真的观察和思考，通过归纳或类比提出猜想，然后从两个方面入手：演绎证明此猜想为真；或者 寻找反例说明此猜想为假 并且进一步修正或否定此猜想
8、。6 几何原本所开创的 公理化 方法不仅成为一种数学陈述模式，而且还被移植到其它学科，并且促进它们的发展。7变量数学产生的数学基础是 解析几何 ，标志是 微积分 。8 数学基础知识和数学思想方法 是数学教学的两条主线。9 深层类比又称实质性类比，它是通过 对被比较对象的处理相互依存的各种相似属性之间的多种因果关系的分析 而得到的类比。10一个概括过程包括 比较、区分、扩张、分析 。 二、判断题( 每题 2 分，共 10 分。在括号里填上是或否)1 九章算术不包括代数、几何内容。( 否 )2既没有脱离数学知识的数学思想方法，也没有不包括数学思想方法的数学知识( 是 )3对同一数学对象，若选取不同
9、的标准，可以得到不同的分类。( 是 ) 4特殊化是研究共性中的个性的一种方法。( 否 ) 5数学模型方法应用面很窄。( 否 ) 三、简答题( 每题 6 分，共 30 分) 1简述培养数学猜想能力的途径。答：猜想能力培养可以通过数学教学，如： 新知识的学习、 数学规律的寻求、 解题思路的探索等途径来实现。2简述特殊化方法在数学教学中的应用。答： 利用特殊值 (图形 )解选择题； 利用特殊化探求问题结论； 利用特例检验一般结果； 利用特殊化探索解题思路。3什么是归纳猜想?井举一个例子说明。答： 人们运用归纳法，得出对一类现象的某种一般性认识的一种推测性的判断，即猜想，这种思想方法称为归纳猜想。 例
10、如，人们在量度了很多圆的周长和半径以后发现它们的比值总是近似地等于 3 14，于是提出了圆周率是 3 14 的猜想。后来数学家从理论上证明了圆周率的数值为 ，果然和 3 14 很接近4简述概括与抽象的关系。答： 概括方法与抽象方法是不同的，但是它们又有十分密切的联系抽象是舍弃事物的一些属性而收括固定出其固有的另一些属性的思维过程，抽象得到的新概念与表述原来的对象的溉念之间不一定有种属关系。 概括是在思维中由认识个别事物的本质属性，发展到认识具有这种本质属性的一切事物，从而形成关于这类事物的普遍概念由概括得出的新概念是表述概括对象概念的一个属概念。 概括和抽象虽有差别，但又是互相联系，密不可分的
11、。抽象是概括的基础，没有抽象就不能认识任何事物的本质属性，就无法概括概括也是抽象思维过程中所必须的一个环节，前述 “收括 ”操作实际上也是一个概括过程，有人就把 “收括 ”称之为概括，由于对共同点的概括才能得出对象的本质属性，从而完成抽象过程。5在实施数学思想方法教学时应注意哪些问题?答：为了叨实加强数学思想方法教学，应注意以下几点事项： 要把数学思想方法的学习纳入数学目标，并在教案中设计好数学思想方法的教学内容和教学过程； 重视数学知识发生、发展的过程，认真设计数学思想方法教学的目标， 做好数学思想方法教学的铺垫工作和巩固工作； 不同类型的数学思想方法应有不同的教学要求； 注意不同数学思想方
12、法的综合运用。四、解答题( 每题 15 分，共 20 分)1圆周角定理证明思路如下： 将圆周角的两边所处的位置分成三种情况：角的一边落在直径上；角的两边在某一直径的两铡；角的两边在某一直径的同侧。如上图所示。先对情况进行证明，然后将情况、转化为情况分别进行证明。最后得出圆周角定理对任意圆周角都成立的结论。 试具体分析上述证明中需要用到哪些数学思想方法答：该证明中用到下面几种数学思想方法： 将圆周角分成三朴情况，用到分类方法； 先证明角恰有 边正直径上的特殊情况，用别特殊化方法。 将其他两种情况转化为角恰有 边在直径上的情况，用到化归方法； 通过对所有三种情况的证明然后得出圆周角定理的结论，用到
13、完全归纳法 在证明过程巾需要进行演绎推理因此用到演绎方法。2论述几何原本思想方法的特点。 答：因为在几何原本中除了推导时所需要的逻辑规则外，每个定理酌证明所采用的论据均是公设、公理或前面已经证明过酌定理并且引入的概念( 除原始概念 )也基本上是符合逻辑上对概念下定义的要求原则上不再依赖其它东西。所以 几何原本是一个封闭的演绎体系。抽象化的内容 几何原本中研究的对象都是抽象的概念和命题，它所探讨的是这些概念和命题之间的逻辑关系不讨论这些概念和命题与社会生活之间的关系，也不考察这些数学模型所由之产生的现实原型。因此几何原本的内容是抽象的。公理化的方法几何原本的第一篇中开头 5 个公设和 5 个公理是全书其它命题证明的基本前提，接着给出 23 个定义，然后再逐步引入和证明定理。定理的引入是有序的，在一个定理的证明中，允许采用的论据只有公设和公理与前面已经证明过的定理。以后各篇除了不再给出公设和公理外也都照此办理。这种处理知识体系与表述方法就是公理化方法。
