1、1辽宁省沈阳市第十五中学2013年高中数学论文 图形计算器应用能力测试活动学生 复数运算的拓展通过使用CASIO ClassPad 330图形 计算器，笔者初步 认识 了虚数单位 ，并在学 长徐珑 迪的帮助下了解了复数的相关知识，掌握了复数的四则 运算i和纯虚数的正整数乘方运算。在和徐珑迪的合作过程中，笔者进一步发现，图形计算器的运用使复数集中任意代数运算成为了可能，且复数集对于所有的代数运算是封 闭的。下面是我们合作讨论的成果。目录一、负实数的乘方运算二、纯虚数的乘方运算2.1 底数为纯虚数、指数为实数的乘方运算2.2 底数为实数、指数为纯虚数的乘方运算2.3 底数和指数均为纯虚数的乘方运算
2、三、负实数的对数运算3.1真数为正实数、底数为负实数的对数运算3.2真数为负实数、底数为正实数的对数运算3.3真数和底数均为负实数的对数运算四、纯虚数的对数运算4.1 真数为纯虚数、底数为实数的对数运算4.2 真数为实数、底数为纯虚数的对数运算4.3 真数和底数均为纯虚数的对数运算五、纯虚数的三角函数运算5.1 纯虚数的正弦函数运算5.2 纯虚数的余弦函数运算5.3 纯虚数的正切函数运算六、复数的乘方运算七、复数的对数运算八、复数的三角函数运算8.1 复数的正弦函数运算8.2 复数的余弦函数运算8.3 复数的正切函数运算为了逐一证明这些运算，笔者将用到以下两条定理：【定理1】复数的三角式和指数
3、式+=(+)= (=2+2, =, (,)=(+)=+ (=2+2, =,)【定理2】德莫弗 (De Moivre)公式 (+)=+在将所有运算推广到复数之前，笔者将先论述负实数和纯 虚数的乘方、 对数、三角函数运算。一、负实数的乘方运算【例1】由CASIO ClassPad 330图形计算器得， (2)=2(+)2【结论1】对于任意实数 ，有1,2(10)(1)2=21(2+2)【证明1】(1)2=(1)221=(+)221 （定理 1）=21(2+2) （定理 2）二、纯虚数的乘方运算2.1 底数为纯虚数、指数为实数的乘方运算【例2-1 】由CASIO ClassPad 330图形计算器得
4、，(2)13=3232【结论2-1】对于任意 纯虚数 和实数 ，有(0) ()=(2+2)【证明2-1】 ()=ba(cos2+isin2)a （定理 1）=(2+2) （定理 2）2.2 底数为实数、指数为纯虚数的乘方运算【例2-2-1】由CASIO ClassPad 330图形计算器得， 2=2+2【结论2-2-1】对于任意纯虚数 和正实数 ，有(0) =()+()【证明2-2-1】=()=()= =()+() （定理 1）【例2-2-2】由CASIO ClassPad 330图形计算器得， (2)=(2+2)【结论2-2-2】对于任意纯虚数 和正实数 ，有(0) ()=()+()【证明2
5、-2-2】 ()=()+() （ 结论 221）=(+)+(+) （ 结论 31） =()()+()+()（ 结论 81、 结论 82） =()+()()3=()+()(+2 2 )=()+()2.3 底数和指数均为纯虚数的乘方运算【例2-3-1】由CASIO ClassPad 330图形计算器得，()=2【结论2-3-1】对于任意虚数 ，有1,2(10,20)(1)2=(222)(21)+(21) (,222(,)【证明2-3-1】(1)2=(1)2)=(21(22+22) （ 结论 21）=21(222) (,222(,) （定理 1）=(222)(21)+(21) (,222(,) （
6、结论 221）【例2-3-2】由CASIO ClassPad 330图形计算器得，()()=2(+)【结论2-3-2】对于任意虚数 ，有1,2(10,20)(1)2=(3222)(21)+(21) (,222(,)【证明2-3-2】(1)2=(1)2)=(1)2(22+22) （ 结论 21）=(1)2(222) (,222(,) （定理 1）=2(21)+(21)(222)（ 结论 222）=(3222)(21)+(21) (,222(,)4三、负实数的对数运算3.1真数为正实数、底数为负实数的对数运算【例3-1 】由CASIO ClassPad 330图形计算器得，5(2)=2+5【结论3
7、-1】对于任意正 实数 ，有,b()=+【证明3-1】()=() =+(1)=+ （定理 1）=+3.2 真数为负实数、底数为正实数的对数运算【例3-2 】由CASIO ClassPad 330图形计算器得，(5)2= 25+【结论3-2】对于任意正 实数 ，有,b()= +【证明3-2】()= ()= +(1)= + （定理 1）= +3.3 真数和底数均为负实数的对数运算【例3-3 】由CASIO ClassPad 330图形计算器得，(5)(2)=2+5+【结论3-3】对于任意正 实数 ，有,b()()=+【证明3-3】()()=()()=+(1)+(1)=+ （定理 1）=+四、纯虚数
8、的对数运算54.1 真数为纯虚数、底数为实数的对数运算【例4-1-1】由CASIO ClassPad 330图形计算器得，2(3)=3+22【结论4-1-1】对于任意虚数 和正实数 ，有(0) ()=+2【证明4-1-1】=() =+=+2 （定理 1）=+2【例4-1-2】由CASIO ClassPad 330图形计算器得，(2)(3)=3+22+【结论4-1-2】对于任意虚数 和正实数 ，有(0) ()()=+2+【证明4-1-2】()=()()= +(1)=+2+ （定理 1）=+2+【例4-1-3】由CASIO ClassPad 330图形计算器得，2(3)=322【结论4-1-3】对
9、于任意虚数 和正实数 ，有(0) ()=2【证明4-1-3】()=() =+()6=+2 （定理 1）=2【例4-1-4】由CASIO ClassPad 330图形计算器得，(2)(3)=322+【结论4-1-4】对于任意虚数 和正实数 ，有(0) ()()=2+【证明4-1-4】()()=()()=+()+(-1)=+2+ （定理 1）=2+4.2 真数为实数、底数为纯虚数的对数运算【例4-2-1】由CASIO ClassPad 330图形计算器得，32= 23+2【结论4-2-1】对于任意虚数 和正实数 ，有(0) = +2【证明4-2-1】= 1()= +2（ 结论 411）【例4-2-
10、2】由CASIO ClassPad 330图形计算器得，3(2)=2+3+2【结论4-2-2】对于任意虚数 和正实数 ，有(0) 7()=+2【证明4-2-2】()= 1()()=+2（ 结论 412）【例4-2-3】由CASIO ClassPad 330图形计算器得，(3)2= 232【结论4-2-3】对于任意虚数 和正实数 ，有(0) ()= 2【证明4-2-3】()= 1()= 2（ 结论 413）【例4-2-4】由CASIO ClassPad 330图形计算器得，(3)(2)=2+32【结论4-2-4】对于任意虚数 和正实数 ，有(0) ()()=+2【证明4-2-4】()()= 1(
11、)()=+2（ 结论 414）4.3 真数和底数均为纯虚数的对数运算【例4-3-1】由CASIO ClassPad 330图形计算器得，(2)=2+22【结论4-3-1】对于任意虚数 ，有1,2(10,20)8(1)(2)=2+21+2【证明4-3-1】(1)(2)=(2)(1)=2+1+i=2+21+2（定理 1）=2+21+2【例4-3-2】由CASIO ClassPad 330图形计算器得，(2)=222【结论4-3-2】对于任意虚数 ，有1,2(10,20)(1)(2)=221+2【证明4-3-2】(1)(2)=(2)(1)=2+()1+i=2+21+2（定理 1）=221+2【例4-
12、3-3】由CASIO ClassPad 330图形计算器得，()(2)=2+229【结论4-3-3】对于任意虚数 ，有1,2(10,20)(1)(2)=2+212【证明4-3-3】(1)(2)=(2)(1)= 2+1+()=2+21+2（定理 1）=2+212【例4-3-4】由CASIO ClassPad 330图形计算器得，()(2)=222【结论4-3-4】对于任意虚数 ，有1,2(10,20)(1)(2)=2212【证明4-3-4】(1)(2)=(2)(1)=2+()1+()=2+21+2（定理 1）=2212五、纯虚数的三角函数运算注：对于纯虚数的三角函数运算的讨论中，复数幅角的定 义
13、扩宽 到任意纯虚数。5.1 纯虚数的正弦函数运算10【例5-1 】由CASIO ClassPad 330图形计算器得，2=12【结论5-1】对于任意 纯虚数 ，有(0) =【证明5-1】=()+()2 ()()2 )=2 （定理 1）=2 =5.2 纯虚数的余弦函数运算【例5-2 】由CASIO ClassPad 330图形计算器得，2=12【结论5-2】对于任意 纯虚数 ，有(0) =【证明5-2】=()+()2 +()()2=+2 （定理 1）=+2 =5.3 纯虚数的正切函数运算【例5-3 】由CASIO ClassPad 330图形计算器得，2=12【结论5-3】对于任意 纯虚数 ，有(0) =【证明5-3】= （ 结论 51、 结论 52）=基于以上的铺垫，现在我们来正式讨论复数的乘方、 对数和三角函数运算。六、复数的乘方运算【例6】由CASIO ClassPad 330图形计算器得，(4+3)2=2534(2345)+(2345)【结论6】对于任意复数 ，有1+1,2+2
