1、1辽宁省沈阳市第十五中学 2013 年高中数学论文 图形计算器应用能力测试活动学生 利用图形计算器研究函数图形变换1) 对简单初等函数图像的复习2）关于函数与曲线方程的思考3）对 F（x+a，y+b ）=0(a,b 在本论文中均为实数)型与平移变换的探究4）对 F (ax,by)=0 （a 为不为 0 的实数）型的探究5）对 F（x2，y）=0 的简单思考6) 感想与收获在我们的中学阶段想必大家已经对函数并不陌生了，从初中开始接触再到高中的学习已经学习了不少初等函数及他们的性质。今天，我和大家一起讨论一个和函数有关的问题函数的图形变换。对简单初等函数图像的复习1.一次函数;一次函数应该是我们脑
2、海中的最简单的函数了，一条坐落在坐标系的直线。下面，就给大家画两个一次函数：（为了方便画图，以下均用斜截式）Y=X+1:Y=2X+3:2.二次函数;在中学阶段对于二次函数的研究是非常多的，关于图像的性质大家也是重点学习的，同样利用图形计算器画了两个二次函数的图像：(为了便于研究，以下我们利用顶点式)Y=X2:2Y=2(X-1)2)+33.反比例函数;Y=1/X:4.指数函数;Y=2X:5.对数函数;Y= ln X:6.正、余弦函数。Y=Sin x:3Y=Cos x:关于函数与曲线方程的思考在学习二次曲线时，圆、椭圆、抛物线和双曲线都用一个关于 x,y 的方程或参数方程表示。那么是否在平面直角坐
3、标系中的一条曲线都可以用关于 x,y 的二元方程 F(x,y)=0 来表示？答案是肯定的，只要可以把 x,y 用一个关系描述出，它就是一个二元方程F(x,y)=0。那么大家一定知道，函数一定是个方程，即 y=f(x)y-f(x)=0F（x,y）=0，为了得出更一般的结论，在下面的内容中用 F（x,y）=0 来表示函数。有了以上的简单复习，大家也许会对函数图像有了更深刻的理解，下面我们就开始一起叩响函数图像变换的大门刚才说到更一般的结论大家一定有些疑问，什么叫更一般的结论？就是对于自变量 x与因变量 y 进行一种统一。使规律更加简洁明了。1.F(x+a,y+b)=0 (a,b 均为实数 )在大家
4、中学的学习中老师一定讲过简单的图形变换，很多老师及教辅书上都有总结“上加下减,左加右减” 。说的是将图象左右平移则将 y=f(x)y=f(x+a),如果将函数图象上下平移则将 y=f(x)y=f(x)+b。这样的总结的确是有些繁琐，而且使用的对象并不一样，在平时十分容易用错。那么如何找一个简洁明了的规律？于是我想到了能不能对于 x，y 直接进行操作，即 F(x,y)=0F(x+a,y+b)=0？下面我们进行几个具体的函数实验：（对于平移变换用一次函数研究会出现问题，大家知道为什么吗？因为一次函数的图象向右移和上移很难区分，向左移和向下移很难区分，所以不利于研究。 ）y=x2 y=(x+1)2
5、y+1=(x+1)24易看出图像先向左平移再向下平移。y=x2 y+1=x2 y+1=(x+1)2易看出图像先向下平移再向左平移。经过了对具体函数的操作和图像的观察，想必大家一定对于函数的图形变换有了一定的体会。对于曲线 F（x,y）=0 的平移变换可以高度的概括出：“顺减逆加”！这样既简洁有明了，而且它不仅是函数凡是曲线都可以用！（大家对这个结论不知又和联想？大家想想定义角的弧度制时不也是顺时针的角是负的，逆时针的角是正的！）这个结论其实用代数的方法也比较好证明，如用相关点法等。这里就不细说了，有兴趣的同学可以试一试！2.F(ax,by)=0这种函数变换其实大家都见过，在三角函数时学的。如：
6、by=Sin(ax) (即：y=1/b Sin（ax）)大家一定知道是将图像进行伸缩变换。那对于其他函数呢？下面就利用图形计算器绘制几个图形：Y=xy=2x3y=2x 5Y=(2x)y=2(2x)3y=2(2x)他其实就是一种伸缩变换。3.F(x2,y)=0这个我们先看几个例子Y=x y=x2Y=1/x y=1/(x2)6观察好像是某种特殊的旋转！但由于多种因素局限，只能做到这里，希望老师、同学有更好的想法可以向我指出。感受与收获：在和图形计算器相伴的这段日子里感觉对于函数的图像，理解的更深刻，更清晰。同时提高了空间想象能力。使我在面对困难面前多了一条可以走的路，也给我带来了更多的自信。这段日子真的很难忘！
