1、河北正定中学高一数学组 - 1 -第 8 课时二、平面向量数量积的运算律教学目的：1.掌握平面向量数量积运算规律；2.能利用数量积的 5 个重要性质及数量积运算规律解决有关问题；3.掌握两个向量共线、垂直的几何判断，会证明两向量垂直，以及能解决一些简单问题. 教学重点：平面向量数量积及运算规律.教学难点：平面向量数量积的应用授课类型：新授课教 具：多媒体、实物投影仪内容分析：启发学生在理解数量积的运算特点的基础上，逐步把握数量积的运算律，引导学生注意数量积性质的相关问题的特点，以熟练地应用数量积的性质. 教学过程：一、复习引入：1两个非零向量夹角的概念已知非零向量 与 ，作 ， ，则 （ ）叫
2、 与OAB 的夹角.2平面向量数量积（内积）的定义：已知两个非零向量 与 ，它们的夹角是 ，则数量|a|b|cos叫 与 的数量积，记作 ab，即有 ab = |a|b|cos，（ ）.并规定 0 与任何向量的数量积为 0. 3 “投影”的概念：作图定义：|b|cos叫做向量 b 在 a 方向上的投影.投影也是一个数量，不是向量；当为锐角时投影为正值；当为钝角时投影为负值；当为直角时投影为 0；当 = 0时投影为 |b|；当 = 180时投影为 |b|.4向量的数量积的几何意义：数量积 ab 等于 a 的长度与 b 在 a 方向上投影|b|cos的乘积.5两个向量的数量积的性质：设 a、b 为
3、两个非零向量， e 是与 b 同向的单位向量.C河北正定中学高一数学组 - 2 -1 ea = ae =|a|cos； 2 ab ab = 03 当 a 与 b 同向时，ab = |a|b|；当 a 与 b 反向时，ab = |a|b|. 特别的 aa = |a|2 或|4cos = ；5|ab| |a|b|二、讲解新课：平面向量数量积的运算律1交换律：a b = b a证：设 a，b 夹角为 ，则 a b = |a|b|cos，b a = |b|a|cos a b = b a2数乘结合律：( a)b = (ab) = a( b)证：若 0，( a)b = |a|b|cos， (ab) = |
4、a|b|cos，a ( b) = |a|b|cos，若 0，( a)b =| a|b|cos() = |a|b|(cos) = |a|b|cos， (ab) = |a|b|cos，a( b) =|a| b|cos() = |a|b|(cos) = |a|b|cos.3 分配律：( a + b)c = ac + bc在平面内取一点 O，作 = a， = b， = c， a + b （即 ）在 c 方向上的投ABOCOB影等于 a、b 在 c 方向上的投影和，即 |a + b| cos = |a| cos1 + |b| cos2 | c | |a + b| cos =|c| |a| cos1 +
5、|c| |b| cos2， c(a + b) = ca + cb 即：(a + b)c = ac + bc说明：（1）一般地，( ) （ ）（2） ， 0 （3）有如下常用性质： ，（ ） （ ） ( ) 三、讲解范例：例 1 已知 a、b 都是非零向量，且 a + 3b 与 7a 5b 垂直，a 4b 与 7a 2b 垂直，求 a 与 b的夹角.解：由(a + 3b)(7a 5b) = 0 7a2 + 16ab 15b2 = 0 (a 4b)(7a 2b) = 0 7a2 30ab + 8b2 = 0 两式相减：2ab = b2代入或得：a 2 = b2河北正定中学高一数学组 - 3 -设
6、a、b 的夹角为 ，则 cos = = 6021|ba例 2 求证：平行四边形两条对角线平方和等于四条边的平方和.解：如图：平行四边形 ABCD 中， ， ， =DCABBACD| |2=ACDB2|2而 = ，| |2= ADBA2|2| |2 + | |2 = 2 = ACBD222| ADC例 3 四边形 ABCD 中， ， ， ， ，且 ，试问四边形 ABCD 是什么图形?分析：四边形的形状由边角关系确定，关键是由题设条件演变、推算该四边形的边角量.解：四边形 ABCD 是矩形，这是因为：一方面： 0， （ ） ，( ) （ ） 即 由于 ， 同理有 由可得 ，且 即四边形 ABCD
7、两组对边分别相等.四边形 ABCD 是平行四边形另一方面，由 ，有 （ ），而由平行四边形 ABCD 可得 ，代入上式得 (2 )，即 ， 也即 ABBC .综上所述，四边形 ABCD 是矩形.评述：(1)在四边形中， ， ， ， 是顺次首尾相接向量，则其和向量是零ABCDA向量，即 0，应注意这一隐含条件应用；(2)由已知条件产生数量积的关键是构造数量积，因为数量积的定义式中含有边、角两种关系.四、课堂练习：1.下列叙述不正确的是（ ）A.向量的数量积满足交换律 B.向量的数量积满足分配律C.向量的数量积满足结合律 D.ab 是一个实数河北正定中学高一数学组 - 4 -2.已知|a |=6，
8、|b|=4，a 与 b 的夹角为，则(a+2 b)(a-3b)等于（ ）A.72 B.-72 C.36 D.-363.|a|=3，|b|=4，向量 a+ b 与 a- b 的位置关系为（ ）43A.平行 B.垂直 C.夹角为 D.不平行也不垂直34.已知|a |=3，|b|=4，且 a 与 b 的夹角为 150，则(a+ b) .5.已知|a |=2，|b|=5，ab=-3，则|a+b|=_，|a-b|= .6.设|a|=3，|b|=5，且 a+ b 与 a b 垂直，则 .五、小结（略） 六、课后作业（略）七、板书设计（略）八、课后记：数量积的运算律与代数运算律很相近，通过强化训练，告诉学生他们的不同之处和相同之处，要通过大量练习熟悉运算律
