1、1江西省南昌三中 2013-2014 学年高二下学期期中考试数学理试题一、选择题(本大题共 10 个小题，每小题 5 分，共 50 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1、下列命题正确的是（ ）A、若两条直线和同一个平面所成的角相等，则这两条直线平行B、若一个平面内有三个点到另一个平面的距离相等，则这两个平面平行C、若一条直线平行于两个相交平面，则这条直线与这两个平面的交线平行D、若两个平面都垂直于第三个平面，则这两个平面平行2、 从 4 名男生和 3 名女生中选出 4 人参加某个座谈会，若这 4 人中必须既有男生又有女生，则不同的选法共有( )A、140 种 B、120
2、种 C、35 种 D、34 种3、一个几何体按比例绘制的三视图如图所示（单位：m）则该几何体的体积为（ ） 3mA 37 B 29 C 27 D 494、已知三棱锥的底面是边长为 2 正三角形，侧面均为等腰直角三角形，则此三棱锥的体积为（ ）A 23B C 3D 45设 f(x)是定义在正整数集上的函数，且 f(x)满足：“当 f(k) k2成立时，总可推出f(k1)( k1) 2成立” 那么，下列命题总成立的是( )A若 f(1)1 成立，则 f(10)100 成立B若 f(2)4 成立，则 f(1)1 成立C若 f(3)9 成立，则当 k1 时，均有 f(k) k2成立D若 f(4)16
3、成立，则当 k4 时，均有 f(k) k2成立6、设 、 是两个不同的平面， l、 m 是两条不重合的直线，下列命题中正确的是（ ）A若 /,l，则 /l B若 /,l，则 /lC若 /,/lm且 ，则 /lm D若 ,lm且 ，则 lm7.二面角的棱上有 A、B 两点，直线 AC、BD 分别在这个二面角的两个半平面内，且都垂直于 AB.已知 AB=4，AC=6，BD=8，CD=2 17，则该二面角的大小为 （ ）2A.150 B.45 C.60 D.1208、 将一个真命题中的“ n个平面”换成“ n条直线” 、 “ 条直线”换成“ n个平面” ，若所得到的新命题仍是真命题，则该命题称为“可
4、换命题” ，下列四个命题垂直于同一个平面的两条直线平行 垂直于同一个平面的两个平面平行；平行于同一条直线的两条直线平行 平行于同一个平面的两条直线平行。其中是“可换命题”的是（ ）A B C D9.设四面体的六条棱的长分别为 1，1，1，1， 2和 a，且长为 的棱与长为 2的棱异面，则 a的取值范围是（ ）（A） (0,2) （B） (0,3) （C） (1,) （D） (1,3)10、正方体的八个顶点共可以连成 28 条直线，从这 28 条直线中任取 2 条直线，这 2 条直线恰好是一对异面直线.则这样不同的异面直线有多_对（ ）A、174 B、87 C、348 D 84二、填空题(本大题
5、共 5 个小题，每小题 5 分，共 25 分，把正确答案填在题中横线上)11已知某三棱锥的三视图(单位：cm)如图所示，则该三棱锥的体积等于_cm 312用数学归纳法证明 123 n2 ，则当 n k1 时左n4 n22端应在 n k 的基础上加上_13在 ABC 中， ACB90， AB8， ABC60， PC平面ABC， PC4， M 是 AB 上一个动点，则 PM 的最小值为_14. 已知正三棱锥 -PABC，点 ,都在半径为 3的球面上，若 ,PAB两两相互垂直，则球心到截面 ABC的距离为 15、下面是关于四棱柱的四个命题：若有两个侧面垂直于底面，则该四棱柱为直四棱柱；若两个过相对侧
6、棱的截面都垂直于底面，则该四棱柱为直四棱柱；若四个侧面两两全等，则该四棱柱为直四棱柱；若四棱柱的四条对角线两两相等，则该四棱柱为直四棱柱。其中，真命题的编号是(写出所有真命题的编号)三、解答题(本大题共 6 个小题，共 75 分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)16. (本小题满分 12 分) 六人按下列要求站一横排，分别有多少种不同的站法？(1)甲不站两端；(2)甲、乙必须相邻；(3)甲、乙不相邻；(数字作答)317. (本小题满分 12 分)已知：正四棱柱 ABCDA1B1C1D1中，底面边长为 2 ，侧棱长为4，E、F 分别为棱 AB、BC 的中点.（1）求证：平面 B1EF平面
7、 BDD1B1；（2）求点 D1到平面 B1EF 的距离.18. (本小题满分 12 分)如图所示，已知长方体 ABCDA1B1C1D1中，AB=BC=2，AA 1=4，E 是棱 CC1上的点，且 BEB 1C.（1）求 CE 的长；（2）求证：A 1C平面 BED；（3）求 A1B 与平面 BDE 夹角的正弦值.19. (本小题满分 12 分)在三棱锥 SABC 中，ABC 是边长为 4 的正三角形，平面 SAC平面 ABC，SA=SC=2 3，M、N 分别为 AB、SB 的中点， 求点 B 到平面 CMN 的距离.20、(本小题满分 13 分)一段楼梯共有 12 个阶梯，某人上楼时，有时迈
8、一阶有时迈两阶，(1) 此人共用 7 步走完，问有多少种不同的上楼的方法。(2)试求此人共有多少种不同的上楼的方法。421(本小题满分 14 分)如图，棱柱 ABCDA1B1C1D1的所有棱长都等于 2， ABC60，平面 AA1C1C平面 ABCD， A1AC60.(1)求异面直线 BD 和 AA1所成的角；(2)求二面角D A1AC 的平面角的余弦 值；(3)在直线 CC1上否存在点 P，使 BP平面DA1C1？若存在，求出点 P 的位置；若不存在，说明理由南昌市第三中学 2013-2014 学年度下学期期中考试高二数学（理）答卷一、选择题（每小题 5 分，共 50 分）二、填空题（每小题
9、 5 分，共 25 分）11、 . 12、 . 13、 . 14、 _. 15、_.三、解答题(本大题共 6 个小题，共 75 分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)16. (本小题满分 12 分) 六人按下列要求站一横排，分别有多少种不同的站法？(1)甲不站两端；(2)甲、乙必须相邻；(3)甲、乙不相邻；(数字作答)题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10答案姓名班级学号517. (本小题满分 12 分)已知：正四棱柱 ABCDA1B1C1D1中，底面边长为 2 ，侧棱长为4，E、F 分别为棱 AB、BC 的中点.（1）求证：平面 B1EF平面 BDD1B1；（2）求点 D1到平
10、面 B1EF 的距离.18. (本小题满分 12 分)如图所示，已知长方体 ABCDA1B1C1D1中，AB=BC=2，AA 1=4，E 是棱 CC1上的点，且 BEB 1C.（1）求 CE 的长；（2）求证：A 1C平面 BED；（3）求 A1B 与平面 BDE 夹角的正弦值.619. (本小题满分 12 分)在三棱锥 SABC 中，ABC 是边长为 4 的正三角形，平面 SAC平面 ABC，SA=SC=2 3，M、N 分别为 AB、SB 的中点， 求点 B 到平面 CMN 的距离.20、(本小题满分 13 分)一段楼梯共有 12 个阶梯，某人上楼时，有时迈一阶有时迈两阶，(1) 此人共用
11、7 步走完，问有多少种不同的上楼的方法。(2)试求此人共有多少种不同的上楼的方法。721(本小题满分 14 分)如图，棱柱 ABCDA1B1C1D1的所有棱长都等于2， ABC60，平面 AA1C1C平面 ABCD， A1AC60.(1)求异面直线 BD 和AA1所成的角；(2)求二面角 DA1AC 的平面角的余弦值；(3)在直线 CC1上否存在点 P，使 BP平面 DA1C1？若存在，求出点 P 的位置；若不存在，说明理由高二数学（理）答案1-5 CDCCD 6-10 DCCAA11、1 12、 2222(1)()(3)1kkk 13、 714、 3 15、 416、解：（1） 154A=4
12、80，（2） 5=240（3） 425=480817：（1）略（2）h= 6718：（1）CE=1（2）略（3） 619：h= 4220：（1） 271C（2） 04681026893C21：解析 连接 BD 交 AC 于 O，则 BD AC，连接 A1O，在 AA1O 中，AA12， AO1， A1AO60， A1O2 AA12 AO22 AA1AOcos603. AO2 A1O2 AA12. A1O AO，平面 AA1C1C平面 ABCD， A1O平面 ABCD.以 OB、 OC、 OA1所在直线为 x 轴、 y 轴、 z 轴建立如图所示空间直角坐标系，则A(0，1,0)， B( ，0,0
13、)， C(0,1,0)， D( ，0,0)， A1(0,0， )3 3 3(1) (2 ，0,0)， (0,1， )，BD 3 AA1 3 0(2 )10 00，AA1 BD 3 3 BD AA1，即异面直线 BD 和 AA1所成的角为 90.(2) OB平面 AA1C1C，平面 AA1C1C 的法向量 n1(1,0,0)设 n2( x， y， z)是平面 AA1D 的一个法向量，则Error!Error!取 n2(1， ，1)3cos n1， n2 .n1n2|n1|n2| 55二面角 DA1AC 的平面角的余弦值是 .55(3)假设在直线 CC1上存在点 P，使 BP平面 DA1C，设 ， P(x， y， z)，CP CC1 则( x， y1， z) (0,1， )3 P(0,1 ， )， ( ，1 ， )3 BP 3 3设 n3( x3， y3， z3)是平面 DA1C1的一个法向量，则Error!Error!不妨取 n3(1,0，1)9又 平面 DA1C1， n3 0，BP BP 0， 1，3 3即点 P 在 C1C 的延长线上，且使 C1C CP.
