1、章末整合提升,热点一,分类讨论思想,在相似三角形中，当不确定图形或不清楚图中有多少个对应相似的三角形时，解决三角形相似问题就需要分不同的情况讨论一般来说，依据数学研究对象本质属性的相同点和差异点，将数学对象分为不同种类的数学思想叫做“分类”的思想；将事物进行分类，然后对划分的每一类分别进行研究和求解的方法叫做“分类讨论”的方法请依据分类的思想和分类讨论的方法解决下列问题：,【例 1】 如图 271 ，在ABC 中，ACBABC.(1)若BAC 是锐角，请探索在直线 AB 上有多少个点 D，,能保证ACDABC(不包括全等)?,(2)请对BAC 进行恰当的分类，直接写出每一类在直线AB 上能保证
2、ACDABC(不包括全等)的点 D 的个数,图 27-1,思路点拨：(1)分点 D 在线段 AB 上、点 D 在线段 AB 的延长线上和点 D 在线段 AB 的反向延长线上三种情况讨论(2)再分BAC 为直角和钝角两种情况讨论，并且对每种情,况按照(1)的方法进行分类讨论解：(1)若点 D 在线段 AB 上，,图 27-2,由 于 ACBABC ， 可 以 作 一 个 点 D 满 足 ACD ,ABC，,使得ACDABC.,如图 27-2(1)，若点 D 在线段 AB 的延长线上，则ACDACBABC，与条件矛盾因此，这样的点 D 不存在,如图 27-2(2)，若点 D 在线段 AB 的反向延
3、长线上，由于,BAC 是锐角，则BAC90CAD，,不可能有ACDABC.因此，这样的点 D 不存在,综上所述，这样的点 D 有一个,(2)当BAC 为直角时，仿照(1)的方法，易求得在线段AB 和 线 段 AB 的 反 向 延 长 线 上 各 有 一 个 点 D ， 使 得ACDABC，即这样的点 D 有两个,当BAC 为钝角时，仿照(2)的方法，易求得只有线段,AB 上有一个这样的点 D.,分类讨论思想是一种很重要的数学思想方法，它贯穿于整个中学数学的全部内容中，需要运用分类讨论的思想解决的数学问题，就其引起分类的原因，可归结为：涉及的数学概念是分类定义的(如：有理数的概念)；求解的数学问
4、题的结论有多种情况或多种可能(如本例)；数学问题中含有参变量，这些参变量的取值会导致不同的结果如：函数 ymx2(m1)x2 中有参变量 m应用分类讨论，往往能使复杂问题简单化，解题思路清晰，步骤明了,【跟踪训练】,1如图 27-3 所示，在ABC 中，AB8，AC6，点 D在 AB 边上，且 AD4，在 AC 上取一点 P，使以 A，P，D 为顶点的三角形与ABC 相似求 AP 的长,图 27-3,2在ABC中，B25，AD是BC边上的高，并且AD2BDDC，求BCA 的度数解：(1)当高 AD 在ABC 内时，如图 D65(1)所示，图 D65,又ADBCDA90，ADBCDA.,BADC
5、.,CADC90.,CADBAD90.,又B25，BCA65.,(2)当高 AD在ABC 外时，如图 D65(2)所示，同理可得ADBCDA，BCAD.又B25，ACD90CAD65.BCA180ACD115.故BCA 的度数是 65或 115.,热点二,相似三角形的判定,判定两三角形相似的常用方法有四种，运用时要根据题目的条件选择恰当的方法，其思路是：1先找两角对应相等；2若只有一角对应相等，再找夹这个角的两边的比是否相等；3若无角相等，就找三组对应边的比是否相等；4若出现平行线，直接考虑两三角形相似,【例 2】 已知：正方形的边长为 1.(1)如图 27-4，可以算出一个正方形的对角线的长
6、是 ，求两个正方形并排成的矩形的对角线的长，猜想 n 个正方形并排成的矩形的对角线的长；(2)如图 27-5，求证：BCEBED.,图 27-4,图 27-5,思路点拨：本题很难一眼看出比值，需动手计算后再做出判断,【跟踪训练】3已知如图 27-6(1)、(2)中各有两个三角形，其边长和角的度数已在图上标注，图(2)中 AB，CD 交于 O 点，对于各图中,),A,的两个三角形而言，下列说法正确的是(图 27-6,A都相似C只有(1)相似,B都不相似D只有(2)相似,4如图 27-7，已知直线 abc，直线 m，n 与 a，b，c分别交于点 A，C，E，B，D，F，AC4，CE6，BD3，则,
7、BF(,),图 27-7,A7,B7.5,C8,D8.5,B,5(2012 年广东梅州)如图 27-8，AC 是O 的直径，弦 BD,交 AC 于点 E.,(1)求证：ADEBCE；,(2)如果 AD2AEAC，求证：CDCB.,图 27-8,图 D66,图 D67,又12，ADEBCE.,又AA，ADEACD. AEDADC. 又AC是O的直径， ADC90，即有AED90.直径ACBD.CDCB.,热点三,相似三角形的性质和应用,相似三角形的性质可总结归纳为：(1)相似三角形对应边成比例，对应角相等；(2)相似三角形的对应高、对应中线、对应角平分线的比等于相似比；(3)相似三角形周长的比等
8、于相似比，面积的比等于相似比的平方,【例 3】 已知：AB 是O 的直径，弦 CDAB 于点 G, E是直径 AB 上一点(不与点 A，B，G 重合)，直线 DE 的延长线交O 于点 F，直线 CF 交直线 AB 于点 P.如图 27-9，试证明：OEOPOF2.,图 27-9,证明：连接 FO 并延长交O 于点 Q，连接 DQ.如图 27-10.FQ 是O 直径，FDQ90.QFDQ90.,图 27-10,CDAB，PC90.QC，QFDP.FOEPOF，FOEPOF.,【跟踪训练】6如图 27-11，以点 O 为位似中心，将五边形 ABCDE 放大后得到五边形 ABCDE，已知 OA10
9、cm，OA20 cm，则五边形 ABCDE 的周长与五边形 ABCDE,的周长的比值是_,图 27-11,7为了测量校园水平地面上一棵不可攀的树的高度，学校数学兴趣小组做了如下的探索：根据光的反射定律，利用一面镜子和一根皮尺，设计如图 27-12 所示的测量方案：把一面很小的镜子放在离树底 B8.4 米的点 E 处，然后沿着直线 BE 后退到点 D，这时恰好在镜子里看到树梢顶点 A，再用皮尺量得 DE2.4 米，观察者目高 CD1.6 米，则树 AB 的高度为_米,图 27-12,5.6,图 27-13,(2)如图 D68，分别过点 A，B 作 x 轴的垂线，垂足分别为点 E，D，图 D68,
