1、12014 届高考数学最后一讲一、主要考点：（一） 、填空题1复数，2集合（简易逻辑） ，3双曲线与抛物线，4统计，5概率，6流程图，7立体几何，8导数，9三角，10向量，11数列，12解析几何，13不等式，14杂题（函数）填空题的能力题体现在考试说明中的 C 级（8 个）以及 B 级（36 个）中，近几年，主要体现在：导数，三角计算，解析几何（直线与圆） ，平面向量（基本定理与数量积） ，不等式（线性规划、基本不等式或函数） ，数列综合，函数综合等（二） 、解答题15三角与向量，16立体几何，17应用题，18解析几何，19数列，20函数综合二：时间安排 （参考意见）填空题（用时 40 分钟左
2、右）：16 题防止犯低级错误，平均用时在 2 分钟左右。712 题防止犯运算错误，平均用时在 2.5 分钟左右。1314 防止犯耗时错误，平均用时在 5 分钟左右。解答题（用时在 85 分钟左右）：1516 题防止犯运算和表述错误，平均用时 10 分钟左右。1718 题防止犯审题和建模错误，平均用时在 15 分钟左右。1920 题防止犯第一问会而不做和以后的耗时错误，平均用时在 16 分钟左右。三：题型分析（一）填空题：解题的基本方法一般有：直接求解法；数形结合法；特殊化法(特殊值法、特殊函数法、特殊角法、特殊数列法、图形特殊位置法、特殊点法、特殊方程法、特殊模型法)；整体代换法；类比、归纳法
3、；图表法等（二）解答题：是高考数学试卷中的一类重要题型，这些题涵盖了中学数学的主要内容，具有知识容量大、解题方法多、能力要求高、突显数学思想方法的运用以及要求考生具有一定的创新意识和创新能力等特点，解答题综合考查学生的运算能力、逻辑思维能力、空间想象能力和分析问题、解决问题的能力，分值占 90 分，主要分六块：三角函数(或与平面向量交汇)、立体几何、应用问题、函数与导数(或与不等式交汇)、数列(或与不等式交汇)、解析几何(或与平面向量交汇)从历年高考题看综合题这些题型的命制都呈现出显著的特点和解题规律，从阅卷中发现考生“会而得不全分”的现象大有人在，针对以上情况，最后几天时间里，能不断回顾之前
4、做过的典型题目，从知识、方法等层面进行反思做到触类旁通，举一反三；考场上能将平时所掌握的知识、学到的方法体现在你的解题中，将你会做的做对，相信你的高考数学一定能取得满意成绩！四：特别提醒：(1)对会做的题目：要解决“会而不对，对而不全”这个老大难的问题，要特别注意表达准确，考虑周密，书写规范，关键步骤清晰，防止分段扣分解题步骤一定要按教科书要求，避免因“对而不全”失分(2)对不会做的题目：对绝大多数考生来说，更为重要的是如何从拿不下来的题目中分段得分我们说，有什么样的解题策略，就有什么样的得分策略对此可以采取以下策略：缺步解答：如遇到一个不会做的问题，将它们分解为一系列的步骤，或者是一个个小问
5、题，先解决问题的一部分，能解决多少就解决多少，能演算几步就写几步特别是那些解题层次明显的题目，每一步演算到得分点时都可以得分，最后结论虽然未得出，但分数却已过半跳步解答：解题过程卡在某一过渡环节上是常见的这时，我们可以先承认中间结论，往后推，看能否得到结论若题目有两问，第(1)问想不出来，可把第(1)问作“已知” ，先做第(2)问，跳一步再解答辅助解答：一道题目的完整解答，既有主要的实质性的步骤，也有次要的辅助性的步骤实质性的步骤未找到之前，找辅助性的步骤是明智之举如：准确作图，把题目中的条件翻译成数学表达式，根据题目的意思列出要用的公式等罗列这些小步骤都是有分的，这些全是解题思路的重要体现，
6、切不可以不写，对计算能力要求高的，实行解到哪里算哪里的策略书写也是辅助解答， “书写要工整，卷面能得分”是说第一印象好会在阅卷老师的心理上产生光环效应逆向解答：对一个问题正面思考发生思维受阻时，用逆向思维的方法去探求新的解题途径，往往能得到突破性的进展顺向推有困难就逆推，直接证有困难就间接证2考试过程力争做到：难易分明，决不耗时； 2慎于审题，决不懊悔；必求规范，决不失分； 细心运算，决不犯错；提防陷阱，决不上当； 愿慢求对，决不快错；遇新不慌，决不急躁； 奋力拼杀，决不落伍；2014 届高三数学老师祝各位同学： 2014 年高考成功 高考数学取得自己满意的成绩！2014 年 6 月 5 日2
7、014 届高考数学最后一讲-实战演练（一） 、填空题1设集合 A(x，y)Error!， B(x ，y)|y3x，则 AB 的子集的个数是_2如果复数 (其中 i 为虚数单位，b 为实数) 的实部和虚部互为相2 bi1 2i反数，那么 b 等于_ 3某个容量为 N 的样本频率分布直方图如右图所示，已知在区间4,5)上频数为 60，则 N_.4若将一颗质地均匀的骰子(各面上分别标有 1,2,3,4,5,6 个点的正方体玩具)先后抛掷两次，向上的点数依次为 m， n，则方程x22 mx n0 无实数根的概率是_5有四个关于三角函数的命题：p1： x R，sin 2 cos 2 ； p2： x， y
8、R，sin( x y)sin xsin y；x x 12p3： x0，, sin x； p4：sin xcos yx y .其中假命题的是_1 cos 2x2 26若 cos cos( )sin sin( ) ， 是第二象限的角，则 tan 2 _.357若一个正方形的四个顶点都在双曲线 上，且其一边经过 的焦点，则双曲线 的离心率是 CCC8不等式 28()aba对于任意的 ,abR恒成立，则实数 的取值范围为 。9已知函数 f(x)Error!若方程 f(x) x a 有且只有两个不相等的实数根，则实数 a 的取值范围是_10已知 M 是曲线 yln x x2(1 a)x 上任意一点，若曲
9、线在 M 点处的切线的倾斜角是均不小于 的12 4锐角，则实数 a 的取值范围是_11如图，在直角梯形 ABCD 中，已知 BC AD， AB AD， AB4， BC2， AD4，若 P 为 CD 的中点，则 的值为_PA PB 12等差数列 an的公差 d(0,1)，且 1，当 n10 时，数列 an的前 n 项和 Sn取得sin2a3 sin2a7sin a3 a7最小值，则首项 a1的取值范围为_313已知曲线 C： y2 x2，点 A(0，2)及点 B(3， a)，从点 A 观察点 B，要使视线不被曲线 C 挡住，则实数 a 的取值范围是_14在实数的原有运算法则中，我们补充定义新运算
10、“”如下：当 a b 时， a b a；当 a b 时，a b b2.则函数 f(x)(1 x)x(2 x)(x2,2)的最大值等于_(“”和“”仍为通常的乘法和减法)（二） 、解答题细心计算，规范解答，全面拿下三角与向量题15如图，在四边形 ABCD 中，已知 AB13， AC10， AD5， CD ， 50.65 AB AC (1)求 cos BAC 的值；(2)求 sin CAD 的值；(3)求 BAD 的面积评分细则 1 没有写 cos BAC 直接计算的，扣 1 分.,2 不交代 CAD 的范围的，扣 1AB AC |AB |AC |分；,3 不交代 BAC 范围的，扣 1 分.善于
11、观察，注意转化，做好立体几何不是难事16如图，四棱椎 P ABCD 的底面为矩形，且 AB ， BC1， E， F 分别为2 AB， PC 中点(1)求证： EF平面 PAD；(2)若平面 PAC平面 ABCD，求证：平面 PAC平面 PDE.评分细则 1 第一问，方法 1 和 2，下结论时：不交代平面外一条直线与平面内一条直线平行，一律扣 2 分；方法 3，直接由线线平行面面平行，扣 3 分；2 第二问，不用平面几何知识证明 DE AC，扣 2 分.看似复杂，实则简单，带你融会贯通应用题417经销商用一辆 J 型卡车将某种水果从果园运送(满载)到相距 400 km 的水果批发市场据测算，J
12、型卡车满载行驶时，每 100 km 所消耗的燃油量 u(单位：L)与速度 v(单位：km/h)，的关系近似地满足uError! 除燃油费外，人工工资、车损等其他费用平均每小时 300 元已知燃油价格为每升(L)7.5 元(1)设运送这车水果的费用为 y(元)(不计返程费用)，将 y 表示成速度 v 的函数关系式；(2)卡车该以怎样的速度行驶，才能使运送这车水果的费用最少？评分细则 1 第一问，有一段求解错误的，扣 4 分；2 第二问，有一段函数最值求解错误的，扣 2 分；没有将两个最小值比较的，扣 2 分，不写答案的，扣 1 分.强化系统，精确计算，解析几何我们不再害怕18已知半椭圆 1( y
13、0)和半圆 x2 y2 b2(y0)组成曲线 C，其中 a b0；如图，半椭圆 x2b2 y2a2 x2b21( y0)内切于矩形 ABCD，且 CD 交 y 轴于点 G，点 P 是半圆 x2 y2 b2(y0)上异于 A、 B 的任意一y2a2点，当点 P 位于点 M 时， AGP 的面积最大(63， 33)(1)求曲线 C 的方程；(2)连 PC， PD 交 AB 分别于点 E， F，求证：； AE2 BF2为定值掌握类型，巧妙构造，解决棘手的数列问题19设数列 an的前 n 项和为 Sn，已知 Sn1 pSn q(p， q 为常数， nN *)， a12， a21， a3 q3 p.(1
14、)求 p， q 的值；(2)求数列 an的通项公式；(3)是否存在正整数 m， n，使 成立？若存在，求出所有符合条件的有序实数对( m， n)；Sn mSn 1 m 2m2m 1若不存在，说明理由5评分细则 1 列式正确，计算错误的，扣 2 分.2 没有验证“ a2f(1 ,2)a1”的，扣 2 分；3 讨论不全的，少一个扣 1 分，直到扣完为止.认真审题，精妙转化，解决压轴的函数问题20已知函数 f(x) x3 ax2 a2x2， aR.(1)若 a0 时，试求函数 y f(x)的单调递减区间；(2)若 a0，且曲线 y f(x)在点 A、 B(A、 B 不重合)处切线的交点位于直线 x2
15、 上，证明： A、 B 两点的横坐标之和小于 4；(3)如果对于一切 x1、 x2、 x30,1，总存在以 f(x1)、 f(x2)、 f(x3)为三边长的三角形试求正实数 a 的取值范围评分细则 1 单调区间没有写出区间的，扣 1 分.,23 严格按照评分标准评分. 2014 届高考数学最后一讲 参考答案1解析 画出椭圆 1 和指数函数 y3x 图象，可知其有两个不同交点，记为 A1，A2，则 ABx24 y216的子集应为，A1，A2，A1，A2共四个 四2解析 ，由题意得 22bb4，解得 b .2 bi1 2i 2 bi 1 2i 1 2i 1 2i 2 2b b 4 i5 233解析
16、 组距为 1，在区间4,5)上频率为 10.40.150.100.050.3，在区间4,5)上频数为60，则 0.3N200.60N4解析 共有 36 种等可能基本事件，其中要求方程 x22mxn0 无实根，即 m2n 的事件为(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(1,6)，(2,5)，(2,6)共 7 个基本事件，因此所求概率为 .7365解析 p1：xR，sin2 cos2 是假命题；p2 是真命题，如 xy0 时成立；p3 是真命题，x2 x2 12x0，sin x0， |sin x|sin x；p4 是假命题，如1 cos 2x2 sin2xx ，y2 时，sin xcos
17、 y，但 xy . 答案 p1，p4 2 26解析 cos cos()sin sin()cos()cos ，且 是第二35象限的角，sin ，tan ，所以 tan 2 .45 43 2tan 1 tan2 2477解析 因为F2PF1 是底角为 30的等腰三角形，则有|F2F1|F2P|，因为PF1F230，所以6PF2D60，DPF230，所以|F2D| |PF2| |F1F2|，即 c 2cc，所以 2c，即12 12 3a2 12 3a2 ，所以椭圆的离心率为 e .ca 34 348解析 由 a+8bb(a+b) 得 a+8b-b(a+b)0 变成 a-ba-(-8)b0则 =+4(
18、-8)=+4-32=0 (+8)(-4)=0 所以 -8,49解析 画出函数图象，利用数形结合的方法求解若方程 f(x)xa 有且只有两个不相等的实数根，即函数 yf(x)与 yxa 的图象有两个不同的交点，由图象可知 a1. 答案 (，1) 10解析 设 M(x，y)(x0)，因为在 M 点处切线的倾斜角的范围 是，所以切线的斜率是1，)，即 4， 2)y 1xx1a1，x(0，)恒成立，分离参数得 a x，x(0，)恒成立，所以1xa min，x(0，)时，由基本不等式得 x2，所以 a2.(1x x) 1x11解析 建立坐标系，应用坐标运算求数量积以点 A 为坐标原点，AD、AB 所在直
19、线为 x、y 轴建立平面直角坐标系，则 A(0,0)，B(0，4)，C(2,4)，D(4,0)，P(3,2)，所以 (3，2)(3,2)5.PA PB 12解析 因为an是等差数列，所以 sin2a3 sin2a7sin a3 a7 sin a3 sin a7 sin a3 sin a7sin 2a5sin 4d1，得 d ，kZ，又 d(0,1)，所以2sin a5cos 2d 2cos a5sin 2dsin 2a5 8 k2k0，即 d .又由 S10 是Sn中的最小项，所以Error!解得 a 1 . 8 54 9813解析 点 A 在抛物线外部，则 a23218，设过点 A 的抛物线
20、的切线方程为 ykx2，代入抛物线方程得 2x2kx20，由 k2160，得 k4，结合图形取 k4，即要求 AB 连线的斜率小于4，即 4，解得 a10.a 2314解析 由定义知，f(x)Error!f(x)在区间2,2上单调递增，所以 f(x)的最大值为 6.15解题突破 (1)根据数量积的定义式的变形式求；(2)在 ACD 中，利用余弦定理求 cos CAD，再利用平方关系求解；(3)利用两角和公式求 BAD 的正弦值，代入三角形面积公式求解解 (1)因为 | | |cos BAC， 所以 cos BAC .(2 分)AB AC AB AC AB AC |AB |AC | 501310
21、 513(2)在 ADC 中， AC10， AD5， CD ，65由余弦定理，得 cos CAD .(4 分)AC2 AD2 CD22ACAD 102 52 65 22105 35因为 CAD(0，)，所以 sin CAD .(6 分)1 cos2 CAD1 (35)2 45(3)由(1)知，cos BAC . 因为 BAC(0，)，513所以 sin BAC .(8 分)1 cos2 BAC1 (513)2 1213从而 sin BADsin( BAC CAD)sin BACcos CADcos BACsin CAD .(11 分)1213 35 513 45 5665所以 S BAD AB
22、ADsin BAD 135 28.(14 分)12 12 566516解题突破 (1)由 E， F 分别为 AB， PC 中点取 PD 的中点 M，再证四边形 AEMF 是平行四边形(2)在矩形 ABCD 中，根据 AB BC，可得 ，从而可证 DAE CDA.再证明 DE AC，根据面面垂2DAAE CDDA7直的性质和判定可得平面 PAC平面 PDE.证明 (1)法一 取线段 PD 的中点 M，连接 FM， AM.因为 F 为 PC 的中点，所以 FM CD，且 FM CD.12因为四边形 ABCD 为矩形， E 为 AB 的中点，所以 EA CD，且 EA CD.12所以 FM EA，且
23、 FM EA.所以四边形 AEFM 为平行四边形所以 EF AM.(5 分)又 AM平面 PAD， EF平面 PAD，所以 EF平面 PAD.(7 分)法二 连接 CE 并延长交 DA 的延长线于 N，连接 PN.因为四边形 ABCD 为矩形，所以 AD BC，所以 BCE ANE， CBE NAE.又 AE EB，所以 CEB NEA，所以 CE NE.又 F 为 PC 的中点，所以 EF NP.(5 分)又 NP平面 PAD， EF平面 PAD，所以 EF平面 PAD.(7 分)法三 取 CD 的中点 Q，连接 FQ， EQ.在矩形 ABCD 中， E 为 AB 的中点，所以 AE DQ，
24、且 AE DQ.所以四边形 AEQD 为平行四边形，所以 EQ AD.又 AD平面 PAD， EQ平面 PAD，所以 EQ平面 PAD.(2 分)因为 Q， F 分别为 CD， CP 的中点，所以 FQ PD.又 PD平面 PAD， FQ平面 PAD，所以 FQ平面 PAD.又 FQ， EQ平面 EQF， FQ EQ Q，所以平面 EQF平面 PAD.(5 分)因为 EF平面 EQF，所以 EF平面 PAD.(7 分)(2)设 AC， DE 相交于 G.在矩形 ABCD 中，因为 AB BC， E 为 AB 的中点所以 .2DAAE CDDA 2又 DAE CDA，所以 DAE CDA，所以
25、ADE DCA.又 ADE CDE ADC90，所以 DCA CDE90.由 DGC 的内角和为 180，得 DGC90.即 DE AC.(9 分)因为平面 PAC平面 ABCD因为 DE平面 ABCD，所以 DE平面 PAC，(12 分)又 DE平面 PDE，所以平面 PAC平面 PDE.(14 分)17解题突破 由 u 是关于 v 的分段函数，得 y 也是关于 v 的分段函数，求出各段函数的最小值，再比较大小，而求函数最值的方法可以有函数图象法、单调性法、导数法等，其中导数法是求函数最值的一种相当重要的方法解 (1)由题意，当 0 v50 时，y7.5 u300 30 300 690，40
26、0100 400v (100v 23) 400v 123 000v当 v50 时， y7.5 u300 30 300 600，400100 400v (v2500 20) 400v 3v250 120 000v所以 yError!(8 分)(2)当 0 v50 时， y 690 是单调减函数，123 000v故 v50 时， y 取得最小值 ymin 6903 150；123 00050当 v50 时， y 600( v50)3v250 120 000v由 y 0，得 v1003v25 120 000v2 3 v3 10625v28当 50 v100 时， y0，函数 y 600 单调递减3v
27、250 120 000v所以当 v100 时， y 取得最小值 ymin 6002 400 由于 3 1502 400，所以当3100250 120 000100v100 时， y 取得最小值答当卡车以 100 km/h 的速度驶时，运送这车水果的费用最少(16 分)18解 (1)已知点 M 在半圆 x2 y2 b2(y0)上，所以 2 2 b2，又 b0，所以(63， 33) (63) ( 33)b1，(2 分)当半圆 x2 y2 b2(y0)在点 P 处的切线与直线 AG 平行时，点 P 到直线 AG 的距离最大，此时 AGP 的面积取得最大值，故半圆 x2 y2 b2(y0)在点 M 处
28、的切线与直线 AG 平行，所以 OM AG，(3 分)又 kOM ，所以 kAG ，又 b1，所以 a ，(4 分)yM 0xM 0 22 2 ab 2所以曲线 C 的方程为 x2 1( y0)或 x2 y21( y0)(6 分)y22(2)由(1)知点 C(1， )，点 D(1， )，2 2设 P(x0， y0)，则有直线 PC 的方程为 y (x1)，(7 分)2y0 2x0 1令 y0，得 xE1 ，所以 AE2 ；(9 分)2 x0 1y0 2 2 x0 1y0 2直线 PD 的方程为 y (x1)，(10 分)2y0 2x0 1令 y0，得 xF1 ，所以 BF2 ；(12 分)2
29、x0 1y0 2 2 x0 1y0 2则 AE2 BF2 2 2 8，(13 分)2 2 x0 1y0 2 2 2 x0 1y0 2 4x20 4 y0 2 2 82y0 2又由 x y 1，得 x 1 y ，代入上式得20 20 20 20 8 8 848 4y20 y0 2 2 82y0 2 8 4y20 82 y0 2 y0 2 2 4 y0 2 2 y0 2 2所以 AE2 BF2为定值(16 分)19解题突破 根据条件建立方程组求解(1)；将前 n 项和转化为通项，再利用等比数列的通项公式求解(2)；利用等比数列的前 n 项求和公式化简不等式，根据不等式的结构特点利用正整数的条件解不
30、等式解 (1)由题意，知Error!即Error!解之得Error!(4 分)(2)由(1)知， Sn1 Sn2， 当 n2 时， Sn Sn1 2，12 12得， an1 an(n2)，(6 分)12又 a2 a1，所以 an1 an(nN *)，所以 an是首项为 2，公比为 的等比数列，所以 an .(8 分)12 12 12 12n 2(3)由(2)得， Sn 4 ， 由 ，得2(1 12n)1 12 (1 12n) Sn mSn 1 m 2m2m 1 ，即 ，(10 分)4(1 12n) m4(1 12n 1) m 2m2m 1 2n 4 m 42n 4 m 2 2m2m 1即 ，因
31、为 2m10，所以 2n(4 m)2，22n 4 m 2 12m 1所以 m4，且 22 n(4 m)2 m1 4，(*)，因为 mN *，所以 m1 或 2 或 3.(12 分)当 m1 时，由(*)得，22 n38，所以 n1；9当 m2 时，由(*)得，22 n212，所以 n1 或 2；当 m3 时，由(*)得，22 n20，所以 n2 或 3 或 4，综上，存在符合条件的所有有序实数对( m， n)为：(1,1)，(2,1)，(2,2)，(3,2)，(3,3)，(3,4)(16 分)20解题突破 利用导数求单调区间；根据导数的几何意义结合基本不等式以算代证；利用导数研究函数单调性、极
32、值情况，根据三角形三边长的关系建立不等式组求解解 (1)函数 f(x)的导函数 f( x)3 x22 ax a23( x a) .(xa3)因为 a0，由 f( x)0，解得 x a.a3所以函数 y f(x)的单调递减区间为 .(3 分)(a3， a)(2)当 a0 时， f(x) x32.设在点 A(x1， x 2)， B(x2， x 2)处的切线交于直线 x2 上一点 P(2， t)31 32因为 y3 x2，所以曲线 y f(x)在点 A 处的切线斜率为 k3 x ，21所以，在点 A 处的切线方程为 y( x 2)3 x (x x1)31 21因为切线过点 P，所以 t( x 2)3
33、 x (2 x1)，即 2x 6 x ( t2)0.31 21 31 21同理可得 x 6 x ( t2)0.(5 分)32 2两式相减得 2(x x )6( x x )0.31 32 21 2即( x1 x2)(x x1x2 x )3( x1 x2)(x1 x2)0.21 2因为 x1 x20，所以 x x1x2 x 3( x1 x2)0.21 2即( x1 x2)2 x1x23( x1 x2)0.(7 分)因为 x1x2 2，且 x1 x2，所以 x1x2 2(x1 x22 ) (x1 x22 )从而上式可以化为( x1 x2)2 23( x1 x2)0，即( x1 x2)(x1 x24)
34、0.(x1 x22 )解得 0 x1 x24，即 A， B 两点的横坐标之和小于 4.(9 分)(3)由题设知， f(0) f(1) f(1)，即 22( a2 a3)，解得1 a2.又因为 a0，所以 0 a2.(11 分)因为 f( x)3( x a) ，(xa3)所以当 x 时， f( x)0， f(x)单调递减、当 x ， f( x)0， f(x)单调递增(0，a3) (a3， 1)所以当 x 时， f(x)有最小值 f a32.a3 (a3) 527从而条件转化为Error!由得 a ；由得 a .再根据 0 a2 得 0 a .(13 分)33235 335 335不等式化为 a3 a2 a10.1027令 g(a) a3 a2 a1，则 g( a) a22 a10，所以 g(a)为增函数1027 109又 g(2) 0，所以当 a 时， g(a)0 恒成立，即成立127 (0， 335)所以所求 a 的取值范围为 .(16 分)(0， 335)
