1、2011 高教社杯全国大学生数学建模竞赛承 诺 书我们仔细阅读了中国大学生数学建模竞赛的竞赛规则.我们完全明白，在竞赛开始后参赛队员不能以任何方式（包括电话、电子邮件、网上咨询等）与队外的任何人（包括指导教师）研究、讨论与赛题有关的问题。我们知道，抄袭别人的成果是违反竞赛规则的, 如果引用别人的成果或其他公开的资料（包括网上查到的资料） ，必须按照规定的参考文献的表述方式在正文引用处和参考文献中明确列出。我们郑重承诺，严格遵守竞赛规则，以保证竞赛的公正、公平性。如有违反竞赛规则的行为，我们将受到严肃处理。我们参赛选择的题号是（从 A/B/C/D 中选择一项填写）： B 我们的参赛报名号为（如果
2、赛区设置报名号的话）： 所属学校（请填写完整的全名）： 参赛队员 (打印并签名) ：1. 指导教师或指导教师组负责人 (打印并签名)： 日期： 2012 年 8 月 12 日赛区评阅编号（由赛区组委会评阅前进行编号）：2011 高教社杯全国大学生数学建模竞赛编 号 专 用 页赛区评阅编号（由赛区组委会评阅前进行编号）：赛区评阅记录（可供赛区评阅时使用）：评阅人评分备注全国统一编号（由赛区组委会送交全国前编号）：全国评阅编号（由全国组委会评阅前进行编号）：钢管订购和运输摘要本文要解决三个问题，其中问题二和问题三是建立在问题一的基础上的，所以我们首要的问题是解决问题一。而问题一是一个非线性的整数规
3、划模型，我们需要写出总的最小花费的 函数以及约束条件。min首先，问题一的 函数比较复杂，我们可以分成三步进行：钢管的出厂花费，钢管的道路运输费用，钢管的铺设运输费用。而道路运输费用又可以分为铁路运输费用和公路运输费用。对上述函数分布求出其花费后求和即是最小花费的 函数。然min后是列出约束条件，利用 lingo 求得问题一中的最小花费为：1278632 万元。在问题一的基础上，我们开始分析问题二中，各钢厂钢管的销售价格和产量上限改变对订购计划的影响。分别上调和下调各钢厂的销售价格一万元后，所得的最小花费与问题一中的最小花费进行比较，并对花费差价绝对值求和，比较各厂对问题的重述要铺设一条 的输
4、送天然气的主管道 ,经筛选后可以生产这种主1215AA管道钢管的钢厂有 。7,S一个钢厂如果承担制造这种钢管，至少需要生产 500 个单位。钢厂 在指定期限iS内能生产该钢管的最大数量为 个单位，钢管出厂销价 1 单位钢管为 万元，如下表：is ipi1 2 3 4 5 6 7is800 800 1000 2000 2000 2000 3000ip160 155 155 160 155 150 160钢管可由铁路、公路从钢厂运往铺设地点（不只是运到点 ，而是管道1521,A全线）。1 单位钢管公路运费为 0.1 万元每公里，铁路运费为一分段函数，具体如下：里程(km) 300301350351
5、4004014504515005016006017007018008019009011000运价(万元) 20 23 26 29 32 37 44 50 55 60问题：（1）制定一个主管道钢管的订购和运输计划，使总费用最小（给出总费用)。（2）就（1）的模型分析：哪个钢厂钢管的销价的变化对购运计划和总费用影响最大，哪个钢厂钢管的产量的上限的变化对购运计划和总费用的影响最大，并给出相应的数字结果。（3）如果要铺设的管道不是一条线，而是一个树形图（树形图略），铁路、公路和管道构成网络，请就这种更一般的情形给出一种解决办法，并对树形图按（1）的要求给出模型和结果。解决问题（1） ，我们可以直接得出
6、 从 各厂的的订购数量和运输费用15A:17S的最优解，即最小花费的具体方案。解决问题（2） ，我们可以得出各个钢厂销售价格及产量上限的变化对购运计划的影响。解决问题（3） ，我们可以完成对树形管道的运购计划制定的推广。模型的假设1.假设沿管道或者原来有公路，或者建有施工公路;2.在选择路线时仅考虑运输花费的多少而不考虑运输的路况等其他因素的影响；3.在计算总费用时，仅考虑出厂及运输费用，不考虑其他费用；4.在铺设运输时，每公里卸 1 单位的钢管，且假设到终点后才卸下；5.钢厂因各种原因导致生产上限的变化时，变化幅度不超过本身的 10%。符号系统符号 说明iS第 个钢厂，i1,27iis第 个
7、钢厂的最大产量， ,iP第 个钢厂 1 单位钢管的出厂价格，i ijA待铺设管道上的第 个节点，j1,25jib铁路与公路第 个分界点，i 7iija钢厂至 节点 1 单位钢管的出厂运输费用， ，iSjA,i,215jijx节点向 钢厂订购的钢管数量， ，ji ,7i 1,25j1jA节点向左铺设的距离，jAjj节点向右铺设的距离，j ,4jd节点与 节点的距离，j1j12jjn节点向各钢厂订购的总数，jA,5W出厂道路运输铺设运输总花费it, 时 提供钢管， 时 不提供钢管，01itoritiS0itiS1,27iija树形图中 钢厂至 节点 1 单位钢管的出厂运输费用， ，ijA1,2ji
8、jx树形图中 节点向 钢厂订购的钢管数量， ，jAiS1,27i 1,2jjkA节点 向节点 铺设的距离， ，jk ,j kjn节点向各钢厂订购的总数，j ,jW树形图出厂道路运输铺设运输总花费模型的分析与求解我们有三个问题需要解决，而第二个问题是建立在第一个问题解决的情况下，第三个问题又是第一个问题的推广，所以解决第一个问题是解决所有问题的关键。第一个问题需要我们找出钢管的最优订购及运输计划，使钢管铺设的花费最小。为简化分析，我们可以将铺设花费分成三部分：出厂费用（钢管销售价格） ，道路运输费用，铺设运输费用三部分。首先，我们分析 1 单位钢管的花费。1 单位钢管的出厂费用我们可以直接从题中
9、得到 1 单位钢管各钢厂的出厂费用，单位：万元。表一 1 单位钢管各钢厂的出厂费用1 单位钢管的道路运输费用钢管的道路运输费用可以分为铁路运输费用和公路运输费用，而铁路运输费用为一分段函数，故和公路运输费用分别计算。为分别计算铁路与公路的运输费用，我们增设公路与铁路分界点 ，共 17 个，具ib体分布见下图。厂家 iS1 2 3 4 5 6 7出厂价格 ip160 155 155 160 155 150 160图一 铁路与公路分界点具体分布图铁路运输的费用和运输距离有关，首先计算从 到铁路与公路交点 的最短路径。iSjb把上图的铁路路线视作图论中的图，首先给所有的节点进行标号，然后以节点之间的
10、距离作为系数写出图对应的稀疏矩阵。通过调用 matlab 函数 graphshortestpath()计算出各个钢厂到各个公路和铁路分界点的最短距离，计算最短距离使用 Dijkstra 算法。得到最短路径，最短路径结果详见附录。再将结果代入铁路运费的分段函数中，就可以得到对应的最小铁路运输费用，单位：万元。表二 从 到铁路与公路交点 的最短路径所花费用iSjb1234S56S71b160 205 220 250 245 255 2652140 190 200 235 225 235 245380 125 140 170 165 175 185437 110 120 155 145 155 16
11、5520 95 105 140 130 140 1506b20 85 95 130 120 130 14070 85 95 130 120 130 140820 70 85 115 110 120 130960 110 44 80 75 80 951085 135 75 55 50 55 70b95 145 85 50 32 50 652105 155 95 60 50 44 5513115 165 105 70 65 20 324130 180 115 80 75 0 265125 175 115 80 70 20 2316b140 190 130 95 85 26 207140 190 1
12、30 95 90 26 0再考虑公路的运输费用，1 单位钢管的最下铁路运输费用加上公路运输费用，用图表示成以下形式：以 为例。1S将公路长度量化成单位钢材的运输费用，加上各钢厂到公路铁路节点处最短路径费用，可得各钢厂到各节点的最少运费，用 1 单位钢管的道路运输费用表示。计算最短最小费用的方法和计算最短路径的方法相同，把如上所示的运费图用稀疏矩阵表示，节点之间的价格作为系数。考虑到节点的重合情况（比如在上图中，钢厂S1 和节点 b7 重合） ，我们约定其为两个节点，其间的运费规定为 0。对于不直接相连的节点，在用矩阵表示的时候规定运费为无穷大（inf） 。在输入到 matlab 函数graph
13、shortestpath()时，由于函数默认系数为零表示不相关的点，所以我们把得到的矩阵中所有的 inf 换成 0，把所有的 0 换成 eps（其值为 ） ，计算出各个钢162.4厂到各个节点的最小运费，最小运费的表格详见附录。1 单位钢管的订购道路运输费用上述结果加上对应的销售价格可以得出购买和运输 1 单位钢管的最小费用。即得到1 单位钢管从钢厂 运输到 所需最小费用，如下表所示。iSjA1 单位钢管从出厂到铺设节点的最小花费表，单位：万元。表三 1 单位钢管从出厂到铺设节点的最小花费23S45S67S1A330.7 370.7 385.7 420.7 410.7 415.7 435.72
14、320.3 360.3 375.3 410.3 400.3 405.3 425.33300.2 345.2 355.2 395.2 380.2 385.2 405.24258.6 326.6 336.6 376.6 361.6 366.6 386.65198 266 276 316 301 306 3266180.5 250.5 260.5 300.5 285.5 290.5 310.57A163.1 241 251 291 276 281 3018181.2 226.2 241.2 276.2 266.2 271.2 291.29224.2 269.2 203.2 244.2 234.2 2
15、34.2 259.210252 297 237 222 212 212 237256 301 241 211 188 201 2262266 311 251 221 206 195 21613A281.2 326.2 266.2 236.2 226.2 176.2 198.24288 333 273 243 228 161 1865302 347 287 257 242 178 1621 单位钢管从钢厂 运输到节点 所需最小费用（包含出厂费用及道路运输费用）iSjA为 ，即是节点 向钢厂 订购钢材出厂运输费的系数矩阵。钢管的出厂运输费用为ijajAi，及除铺设运输费用的其他费用之和。715ij
16、ix各节点的铺设运输费用将钢材运到各个节点后，我们最后考虑的就是把钢材运输到施工点进行铺设运输。而一个节点既可以往左铺设又可以往右铺设（端节点除外） 。节点 向左铺设的距离为 ，向右铺设的距离为 ，节点 从各个钢厂订jA1jA 1jAj购的总数为 ，则有 。又 的距离为 ，则有 。jnjjj1jj:jd1jjjAd从 向 铺设的距离为 ，则其铺设运费为：j1j1j11()(23)0.2jjjA从 向 铺设的距离为 ，则其铺设运费为：1jAj 1jA 11()(23)0.2jjjA且有 的关系。1jjjd那么钢管的铺设运输费用为： 1411()()2020jjjjjAA 总费用的计算总费用包括出
17、厂运输费及铺设运输费，总花费为： 7151411()()2020jjjjiji jAAWax 又一个钢厂承担制造任务的最小量为 500 单位，而钢厂 在指定期限内最大生产iS量为 ，所以有约束 或者不承担 。综上，该问题可以转化为以is150ijixs150ijx下非线性规划模型： 7151411()()min2020jjjjiji jAAWax 715151 11,3,00. ,27,2ijjijiijijjjjj jnxsorxstxAdanAand 上述约束中， 在 lingo 的实际运用中比较困难，我们引入 ，15150or0ijiijxs it将上述约束简化成， ， 。用 lingo
18、 代码求出最小花费为15iijitst1ior1278632万元，具体的各厂运到个铺设点的结果如下，具体代码详见附录。表四 各节点向钢厂的订购方案1S23S45S67S1A0 0 0 0 0 0 020 179 0 0 0 0 030 0 0 0 509 0 040 321 146 0 0 0 05336 0 188 0 92 0 06199 0 0 0 0 0 07A265 0 0 0 0 0 080 300 0 0 0 0 090 0 0 0 0 0 0100 0 666 0 350 0 00 0 0 0 415 0 020 0 0 0 0 86 013A0 0 0 0 0 333 040
19、 0 0 0 0 621 050 0 0 0 0 165 0各钢厂钢管销价的变化对购运计划的影响 针对问题二中销价对购运计划的影响，我们把每个钢厂的价格上调和降低一万元，求得结果与原来最小结果的差进行比较，运算的结果做成表格如图所示：表五 各钢厂钢管销价的变化对购运计划价格上涨一单位最小花费增幅1S2S3S4S5S6S7S800 800 1000 0 1008 1203 0价格下降一单位最小花费增幅1234567-800 -800 -1000 0 -1369 -1563 0两个增幅绝对值之和的平均值1S2S3S4S5S6S7S800 800 1000 0 1188.5 1383 0上表中，在改
20、变相同价格的情况下，钢厂 的销价变化对最小花费的结果影响最大。6各钢厂钢管销价的变化对购运计划的影响对于产量上限的分析，我们同上述销价方法一样，增加或减少原产量上限的 10%，求得结果与原来最小结果的差进行比较，运算的结果做成表格如图所示：表六 钢厂钢管销价的变化对购运计划的影响生产上限增加10%最小花费增幅1S2S3S4S5S6S7S-8240 -2800 -2500 0 0 0 0生产上限降低10%最小花费增幅12345678240 2800 2500 0 0 0 0两个增幅绝对值之和的平均值1S2S3S4S5S6S7S8240 2800 2500 0 0 0 0上表中，在生产上限改变相同
21、幅度的情况下，钢厂 的生产上限的变化对最小花1费结果影响最大。问题三树形图的推广对于第三个问题,我们可以采用与第一个问题相同的方法。首先计算出钢厂到铁路与公路分界点（共 18 个，具体的标示详见附录。 ）的最短距离，然后再计算出 1 单位钢管从各钢厂到各节点（管道端点）的最小运输费用。在第一问的基础上，计算铁路最短运输距离时，我们只需多加一个铁路与公路的分界点即可，计算最小运费的时候只需多添加 6 个节点。所以可以按照相同的方法利用 matlab 求解。总和 800 800 1000 0 1366 1205 0计算所得 1 单位钢管从 运至 的最短铁路运输费用，及 1 单位钢管从 运至iSjb
22、 iS的最少运输费用如下表所示，单位：万元jA表六 1 单位钢管从 运至 的最短铁路运输费用ijS23S45S67S1b160 205 220 250 245 255 2652140 190 200 235 225 235 245380 125 140 170 165 175 185437 110 120 155 145 155 165520 95 105 140 130 140 1506b20 85 95 130 120 130 14070 85 95 130 120 130 140820 70 85 115 110 120 130960 110 44 80 75 80 951085 135
23、 75 55 50 55 70b95 145 85 50 32 50 652105 155 95 60 50 44 5513100 150 90 55 50 37 04115 165 105 70 65 20 325130 180 115 80 75 0 2616b125 175 115 80 70 20 237140 190 130 95 85 26 208140 190 130 95 90 26 0表七 1 单位钢管从 运至 的最少运输费用iSjAS2345S67S1A170.7 215.7 230.7 260.7 255.7 265.7 275.72160.3 205.3 220.3 2
24、50.3 245.3 255.3 265.33140.2 190.2 200.2 235.2 225.2 235.2 245.2498.6 171.6 181.6 216.6 206.6 216.6 206.6538 111 121 156 146 156 146620.5 95.5 105.5 140.5 130.5 138.5 128.57A3.1 86 96 131 121 121.1 111.1821.2 71.2 86.2 116.2 111.2 121.2 129.2964.2 114.2 48.2 84.2 79.2 84.2 921092 142 82 62 57 54 449
25、6 146 86 51 33 24 142106 156 96 61 51 43 3313A121.2 171.2 111.2 76.2 64.2 26.2 38.24121 171 111 76 66 11 215142 192 132 97 87 28 216A60 110 44 80 75 80 93.2795 145 85 50 32 23 138100 150 90 55 45 10 019105 155 95 60 50 42 3220115 165 105 70 58 20 32110 160 100 65 55 0 10树形图中， 表示节点 向钢厂 订购的钢管数量，上表为 1
26、单位钢管的出厂运ijxjAiS输费用 表示，则钢管的出厂运输费用为 。ija721ijiax最后考虑树形图的铺设运输费用，双向铺设的节点和问题一种的计算完全一样，三向铺设的点有 ， ， 三个节点，显然只要特殊考虑满足铺设要求即可。9A17所以钢管的铺设运输费用为： 1411 1191617,920916169 17179()()()()()20202020()jjjj jjjjj jAAAA 7再加上前面的钢管的出厂运输费 ，则有，钢管的总花费为：721ijiax7211411 1117,92091691616917()()()()202020()0jjjj jjjjiji j jAAAAWa
27、xA 1717972 最后我们得到树形图的非线性规划模型： 7211411 1117,92091691616917()()()()min202020()()0jjjj jjjjiji j jAAAAWaxA 17972 71221159,61,961,7,1187,7, 1,3,500,(49)0ijjijiijijjjjjxnsorxxAddA 参考文献附录附录一最短路径的 matlab 求解程序（注：要在相应目录下运行。 ）：clear all;clc;load tu_tielu_sparse.mat;S=8 9 11 15 17 22 24;B=1 3 4 5 6 7 8 10 12 1
28、3 16 18 20 22 21 23 24;dist_7=zeros(7,17);for i=1:7dist,path=graphshortestpath(tu_tielu_sparse,S(i),B)dist_7(i,:)=dist;end附录二从 到铁路与公路交点 的最短路径iSjbS1 S2 S3 S4 S5 S6 S7A1 2902 2532 1302 521 215 20 0A2 3900 3530 2300 1923 1617 1422 1402A3 4110 3740 2510 2133 1827 1632 1612A4 4800 4430 3200 2823 2517 232
29、2 2302A5 4660 4290 3060 2683 2377 2182 2162A6 4820 4450 3220 2843 2537 2342 2322A7 5070 4700 3470 3093 2787 2592 2572A8 2902 2532 1302 521 215 20 0A9 3900 3530 2300 1923 1617 1422 1402A10 4110 3740 2510 2133 1827 1632 1612A11 4800 4430 3200 2823 2517 2322 2302A12 4660 4290 3060 2683 2377 2182 2162A1
30、3 4820 4450 3220 2843 2537 2342 2322A14 5070 4700 3470 3093 2787 2592 2572A15 2902 2532 1302 521 215 20 0附录三最小道路运费的 matlab 函数（注：要在相应目录下运行。 ）：clear all;clc;load expense_tielu;load yunshu_jiage;expense_suoyou=zeros(7,15);for i=1:7jiage(1,2:18)=expense_tielu(i,:);jiage(2:18,1)=expense_tielu(i,:);jiage_
31、sparse=sparse(jiage);B = 19:1:33;expense=graphshortestpath(jiage_sparse,1,B);expense_suoyou(i,:)=expense;end;附录四单位钢管从钢厂 运输到 所需最小道路运输费用iSjAS1 S2 S3 S4 S5 S6 S7A1 170.7 215.7 230.7 260.7 255.7 265.7 275.7A2 160.3 205.3 220.3 250.3 245.3 255.3 265.3A3 140.2 190.2 200.2 235.2 225.2 235.2 245.2A4 98.6 17
32、1.6 181.6 216.6 206.6 216.6 226.6A5 38 111 121 156 146 156 166A6 20.5 95.5 105.5 140.5 130.5 140.5 150.5A7 3.1 86 96 131 121 131 141A8 21.2 71.2 86.2 116.2 111.2 121.2 131.2A9 64.2 114.2 48.2 84.2 79.2 84.2 99.2A10 92 142 82 62 57 62 77A11 96 146 86 51 33 51 66A12 106 156 96 61 51 45 56A13 121.2 171
33、.2 111.2 76.2 71.2 26.2 38.2A14 128 178 118 83 73 11 26A15 142 192 132 97 87 28 2附录五运算的 lingo 代码model:sets:gangchang/S1S7/:s,t;pushedian/A1A15/:y,z,d;links(gangchang,pushedian):a,x;endsetsdata:s=800 800 1000 2000 2000 2000 3000; /表示每个钢厂生产的上限 d=104,301,750,606,194,205,201,680,480,300,220,210,420,500,
34、0; /相邻铺设点之间的距离，最 后一个用 0 代替a=330.7 320.3 300.2 258.6 198 180.5 163.1 181.2 224.2 252 256 266 281.2 288 302370.7 360.3 345.2 326.6 266 250.5 241.0 226.2 269.2 297 301 311 326.2 333 347385.7 375.3 355.2 336.6 276 260.5 251.0 241.2 203.2 237 241 251 266.2 273 287420.7 410.3 395.2 376.6 316 300.5 291.0 2
35、76.2 244.2 222 211 221 236.2 243 257410.7 400.3 380.2 361.6 301 285.5 276.0 266.2 234.2 212 188 206 226.2 228 242415.7 405.3 385.2 366.6 306 290.5 281.0 271.2 234.2 212 201 195 176.2 161 178435.7 425.3 405.2 386.6 326 310.5 301.0 291.2 259.2 237 226 216 198.2 186 162;enddatamin=sum(links(i,j):a(i,j)
36、*x(i,j)+0.05*sum(pushedian(j):y(j)2+y(j)+z(j)2+z(j); /最小花费函数for(gangchang(i):sum(pushedian(j):x(i,j)=500*t(i); sum(pushedian(j):x(i,j)=s(i)*t(i);bin(t(i); /每个钢厂生产钢的总量满足的条件for(pushedian(j):sum(gangchang(i):x(i,j)=y(j)+z(j)/ 1(), jjyjzA相 当 于 符 号 系 统 里 的 和for(pushedian(j)|j#NE#15:d(j)=z(j)+y(j+1);z(15)=0;y(1)=0;for(gangchang(i):for(pushedian(j):gin(x(i,j);End
