1、第七章 二元一次方程组增收节支一、学情分析学生的知识技能基础：在此以前，学生学习了二元一次方程和二元一次方程组，学习了列二元一次方程组解应用题的一部分内容，能熟练地进行二元一次方程组的运算，已初步具备了用方程组刻画实际问题的经验和基础，能正确地分析和理解题意，寻求题中的各种数量关系，具备了继续学习本节内容的知识和能力。在小学的学习中，学生也学习了通过列表的方法帮助我们理清数量关系的有关知识，在此基础上学习本节内容，学生已经具备了学好本节内容的条件。学生的活动经验基础：在相关知识的学习过程中，学生具备了一些生活经验，知道列方程解应用题的一些规律、特点和方法，具备了一些解决实际问题的经验和能力。在
2、以前的数学学习中，学生已经经历很多合作学习的过程，具备了一定的合作学习经验，具备了一定的合作与交流的能力。二、教材分析地位和作用：“增收节支”是北师大版八年级数学（上）第七章第四节内容。本节主要通过解决现实问题中有关经济方面的应用问题来学习列二元一次方程组，学会对具体情景中的数学信息作出合理的解释，能运用列表分析法分析出各数量间的关系，有效地解决问题。本节教学内容，是在学生学完前一小节鸡兔同笼后紧接的又一节列方程组解应用题的内容。但两者的侧重点不同， 鸡兔同笼是让学生初步学会通过列二元一次方程组解决一些比较有趣的数学问题和古代数学问题应用问题，等量关系相对简单；而本节的增收节支的教学内容重点放
3、在如何运用列表分析法去分析较为复杂的各数量间的关系。教学目标知识与技能目标1 能运用列表分析法分析数量关系；2 能熟练地列二元一次方程组解决简单的实际问题。来源:学科网 ZXXK3 掌握运用列二元一次方程组解决实际问题的技能。过程与方法目标1 经历和体验列方程组解决实际问题的过程，体会方程是刻画现实世界的有效的数学模型，培养学习数学应用能力。情感与态度目标1 通过问题的解决进一步认识数学与现实世界的密切联系。2 通过对问题的解决，培养学生的必要的经济意识，增强他们节约成本、有效合理利用资源的意识。教学重点1初步体会列方程组解决实际问题的步骤2学会用图表分析较复杂的数量关系问题。教学难点将实际问
4、题转化成二元一次方程组的数学模型；会用图表分析数量关系。三、教学方法1教学方法：“问题情境建立模型应用与拓展”2课前准备：教具：教材，课件，电脑（视频播放器）学具：教材，练习本 四、教学流程本课设计了六个教学环节：第一环节：创设情境，导入新课；第二环节：新课讲解；第三环节：练习提高、合作学习；第四环节：问题解决，拓展提升；第五环节：学习反思；第六环节：布置作业第一环节：创设情境，导入新课创设问题情景，引导学生思考，导入课题你想过吗？提出问题：同学们你知道你的 生活有哪些必要开支吗？引发问题： 经济生活在我们生活中多么重要！你想运用数学知识使你的生活更加合理优化，生活的更加幸福惬意吗？那么你能帮
5、帮解决下面的实际经济问题吗？教学进程：教师演示幻灯片，学生回答问题1开商店小明想开一家时尚点专卖店，开店前他到其它专卖店调查价格他看中了一套新款春装，成本共 500 元，专卖店店员告诉他在上市时通常将上衣按 50的利润定价，裤子按 40的利润定价。由于新年将至，节日优惠，在实际出售时，为吸引顾客，两件服装均按 9 折出售，这样专卖店共获利 157 元，小明觉得上衣款式好，销路会好些，想问问上衣的成本价，但店员有事走开了，你能帮助他？2购物新年来临爸爸想送ike 一个书包和随身听作为新年礼物爸爸对ike 说：“我在家乐福、人民商场都发现同款的随身听的单价相同，书包单价也相同，随身听和书包单价之和
6、是452 元，且随身听的单价比书包单价的 4 倍少 8 元，你能说出随身听和书包单价各是多少元，那么我就买给你做新年礼物” 。你能帮助他吗？（最优化决策）最近商家促销有促销活动，人民商场所有商品打八折销售，家 乐福全场购物满 100 元返物券 30 元销售（不足 100 元不返券，购物券全场通用） ，爸爸只给ike 400 元钱，如果他只在一家购买看中的这两样物品，你能帮助他选择在哪一家购买吗？若两家都可以选择，在哪一家购买更省钱？教学进程：学生观看图片和实际问 题，引发思考和提升解决问题的兴趣。设计意图：通过同学们熟悉的生活中经济问题去激发学生学习本节课的兴趣，导入课题。开商店、购物、最优化
7、决策等生活实例，再配以精美的图片，进一步提高学生兴趣，激发他们的求知欲和学习热情。更重要的是，这 2 个实例是学生学完本节的知识和方法后的巩固提高练习题，从而增强学生的能力，使本节课前后照应，形成一个整体。教学效果：这 2 个生活实例是青少年学生感兴趣的实例，带给学生新奇，带给了学生解决问题的欲望，不少学生跃跃欲试。此外，考虑了前后照应，使整节课浑然一体。第二环节：新课讲解知识回顾：填一填1. 某工厂去年的总产值是 x 万元, 今年的总产值比去年增加了 20%, 则今年的总产值是_万元;2. 若该厂去年的总支出为 y 万元, 今年的总支出比去年减少了 10%, 则今年的总支出是_万元;3. 若
8、该厂今年的利润为 780 万元, 那么由 1, 2 可得方程_.(1+20%)x (1-10%)y (1+20%) x- (1-10%) y=780经验提升：解增降率问题常用的关系式为 a(1x)=b(其中:a 表示基数；x 表示增降率；b 表示目标数；增时为加，降时为减)教学进程：通过回答知识回顾问题，教师启发学生做经验提升；通过回答问题对学生能力进行及时评价，如果回答错误及时纠正。设计意图：“知识回顾” ，减少学生学习新课的困难。实际效果：经验提升使学生在表 示数量关系时更加准确。例题探索例 1 公司去年的利润（总产值总支出）为 200 万元。今年总产值比去年增加了 20%，总支出比去年减
9、少了 10%，今年的利润为 780 万元。去年的总产值、总支出各是多少万元？ 来源:学科网 ZXXK分析：关键:找出等量关系.万 元今 年 的 总 支 出今 年 的 总 产 量 万 元去 年 的 总 支 出去 年 的 总 产 量 7802今年的总产值=去年总产值(1+20%） 今年的总支出 =去年的总支出(1 10%）相等关系中的数量关系真多，画个表格来表示它们吧！（题目中可分析今年，去年；总产值，总支出和利润，画个的表格来分析看）来源:Z*xx*k.Com 总产值/万元 总支出/万元 利润/万元去 年 x y 200今 年 (1+20%) x (1-10%) y 780得到两个等式：xy =
10、200 ， (1+20%) x(110%) y =780。解：设去年的总产值为 x万元，总支出为 y万元，则今年的总产值=（1+20%） x万元，今年的总支出=（1 10%） y万元。由题意得:解得答：去年的总收入为 2000万元，总支出为 1800万元。 来源:Z#xx#k.Com教学进程：学生作相等关系、数量关系的分析，教师教学生画表格分析数量关系，并共同解答。议一议：还可以设间接未知数吗？（根据学生情况和教学安排选用）设今年的总产值为 x 万元，总支出为 y 元 总产值/万元 总支出/万元 利润/万元去 年 200今 年 x y 780通过直接设未知数与间接设未知数的类比，让学生感受到列
11、方程时，应选取思维难度和计算难度较低的未知数设法。教学进 程：学生设出未知数，教师帮助学生画表格来分析数量关系并引导学生类比直接设未知数与间接设未知数的优劣。表示数量关系时，若有错误，及时纠正并着重讲解以免再次出现错误。例 2 医院用甲、乙两种原料为手术后的病人配制营养品每克甲原料含 0.5 单位蛋白质和 1 单位铁质，每克乙原料含 0.7 单位蛋白质和 0.4 单位铁质若病人每餐需要 35 单位蛋白质和40 单位铁质，那么每餐甲、乙两种原料各多少克恰好满足病人的需要？ 分析：找出等量关系. .40,35每 餐 乙 原 料 中 含 铁 质 量每 餐 甲 原 料 中 含 铁 质 量 量每 餐 乙
12、 原 料 中 含 蛋 白 质量每 餐 甲 原 料 中 含 蛋 白 质每餐甲原料中含蛋白质量=0.5每餐甲原料的质量，每餐乙原料中含蛋白质量=0.7每餐乙原料的质量，每餐甲原料中含铁质量=1每餐甲原料的质量，每餐乙原料中含铁质量=0.4每餐乙原料的质量，由于相等关系中的数量关系复杂，所以可以选取用列表格的方法来表示各数量关系之间的关)2(.780%)1()201( 1,yxy.180,2yx%201%10系，有利于根据相等关系列方程。来源:学科网（题目中可分析蛋白质含量，铁的含量；甲、乙两种原料和病人配置的营养品，所以画个 的表格来分析；学生通常对要分析那些数量关系不太明确，所以讲解时要说明为什
13、么会这样画表格）解：设每餐需要甲、乙两种原料各 x, y克，则有下表：甲原料 x克 乙原料 y克来源:Zxxk.Com所配制的营养品其中含蛋白质量 0.5x单位 0.7 y单位 单位其中含铁质量 x单位 0.4 y单位 单位由上表可以得到的等式：化简得：（1）2 得 10x+14y=700 (5)(5)(4)得 10y=300 来源:Zxxk.Comy=30将 y=30代入(3)得 x=28答：每餐需甲原料 28克，乙原料 30克。 教学进程：此题数量关系较为复杂，可提示引导学生思考，然后继续教学生画表格分析数量关系)2(.40. 1,3575yx)4(.4013,357yx的方法；也可鼓励学
14、生先画图表分析再纠正；然后由学生解答。学法小结：1图表分析有利于理清题中的未知量，已知量以及等量关系，条理清楚。 2借助方程组解决实际 问题通过学法小结，加强学生对图表分析数量关系的概念和应用意识。设计意图：通过“例题探索一” 、 “例题探索二”使学生初步学会设计适当的图表，帮助我们理清题目中的数量关系。再结合学生在以前的学 习中已掌握的通过相等关系列方程的方法，使学生基本掌握运用图表去解决有关应用题的方法，从而提高学生分析问题和解决问题的能力。教学效果：由于老师 对图表的设计、制作的方法指导有力，学生在“例题探索二”的分析过程中很快通过列表搞清了数量关系，利用等量关系列出正确的方程组，培养了
15、学生分析问题的能力。第三环节：练习提高、合作学习；1育才学校去年有学生名，今年比去年增加 4.4,其中寄宿学生增加了 6,走读学生减少了 2.问该校去年有寄宿学生与走读学生各多少名?设去年有寄宿学生 x 名,走读学生 y 名,则可列出方程组为 。分析：找出等量关系.去年寄宿学生去年走读学生名今年寄宿学生今年走读学生 （.）题目中可分析去年，今年；寄宿学生，走读学生，学生总数画个 的表格来分析寄宿学生 走读学生 学生总数去年 x来源 :学科网 y 今年 （） x （） y （.）解： %).41(30)21(%)6(,30yxy教学进程：鼓励学生自己画表格分析、思考，然后请学生讲分析过程，讲解清
16、楚有条理的给予肯定表扬，不足的给予补充，提高学生学习的信心。2编题有一个方程组：%).41(30)21(%)6(,30yxy你能根据这个方程组编一个实际背景的应用题吗？活动规则：四个同学一组编题，互评；然后推选出有创意，符合实际生活的例子进行全班交流教学进程：结合师生互评生生互评，使课堂气氛轻松，让学生思路开阔，富有创意。设计意图：巩固、提高学生所学的知识和方法，强化图表分析数量关系的应用。通过学生的编题活动，形成互动，促进合作学习，培养学生逆向思维能力，通过合作学习培养学生合作、创新的学习方式。通过学生互相评价、修正，使学生思维跳出固定单一的生活圈，更关注与现实世界的交融，开阔视野。教学效果
17、：本例是符合本校学生实际，激发学习兴趣，图表分析收到了良好的效果；编题时，学生相互交流，互相启发，使整个课堂到此时创新频出，高潮迭起。第四环节：问题解决；解决问题一小明想开一家时尚点专卖店，开店前他到其它专卖店调查价格他看中了一套新款春装，成本共 500 元，专卖店店员告诉他在上市时通常将上衣按 50 的利润定价，裤子按 40的利润定价。由于新年将至，节日优惠，在实际出售时，为吸引顾客，两件服装均按 9 折出售，这样专卖店共获利 157 元，小明觉得上衣款式好，销路会好些，想问问上衣的成本 价，但店员有事走开了，你能帮助他吗？分析：找出等量关系.题目中可分析上衣，裤子；成本实际售价和利润画个
18、的表格来分析上衣成本裤子成本元上衣利润裤子利润元解：设上衣的成本价为元，裙子的成本价为元：成本（元） 实际售价（元） 利润（元）上衣 x裤子 y解：设上衣的成本价为 x元，裙子的成本价为 y元，则上衣利润 元，裤子利润为 0.9(1+40%)y-y元，依题意得x+y=500，0.9(1+50%)x-x+0.9(1+40%)y-y=。x%)501(9.y)4(. x%)501(9.y)4(.x%)501(9.整理得:x+y=500 ， 35x+26y=00. 26,得 9x=700,x =.把其代入，得 y=500= x=，y=.答：上衣成本元，裙子成本 元。教学进程：学生分析解答，教师在解答后
19、给予点评。若时间较紧，可以不解答出来。解决问题二新年来临爸爸想送 Mike 一个书包和随身听作为新年礼物爸爸对 Mike 说：“我在家乐福、人民商场都发现同款的随身听的单价相同，书包单价也相同，随身听和书包单价之和是 452 元，且随身听的单价比书包单价的 4 倍少 8 元，你能说出随身听和书包单价各是多少元，那么我就买给你做新年礼物” 。你能帮助他吗？（1）解：设书包单价为 x元，则随身听单价为 y元,根据题意可列出方程：.84,52yx解之得：.360,92yx答：书包单价 92元，随身听单价 360元。最优化决策：聪明的 Mike 想了想回答正确后便同爸爸去买礼物，恰好赶上商家促销，人民
20、商场所有商品打八折销售，家乐福全场购物满 100 元返购物券 30 元销售（不足 100 元不返券，购物券全场通用） ，但他只带了 400 元钱，如果他只在一家购买看中的这两样物品，你能帮助他选择在哪一家购买吗？若两家都可以选择，在哪一家购买更省钱？提示：书包单价 92元，随身听单价 360元。2）在人民商场购买随声听与书包各一样需花费现金 452 =361.6（元）108 361.6400 可以选择在人民商场购买。在家乐福可先花现金 360元购买随身听，再利用得到的 90元返券，加上 2元现金购买书包，共花现金 360+2=362（元） 。因为 362400，所以也可以选择在家乐福购买。因为
21、 362361.6,所以在人民商场购买更省钱。教学进程：让学生充分讨论找出最优购买方案，可抽学生板演，教师点拨；同时从最优化决策出发联系生活实际作经济意识的引导。根据教学情况选择解决，如果课堂时间不够，可留作课外作业。教学效果：由于学生在前面是带着问题学习，现在已掌握了“武器” ，当然想去获取战果。所以学生解决这些问题时，非常积极主动。虽然问题的难度越来越大，但大家 越战越勇，毫无退缩之意。同时也对生活中的很多实际问题感兴趣，更加有用数学知识解决问题的欲望。第五环节：学习反思；你的收获是什么？1 通过本节的学习活动，你会用列表分析数据吗？2 你能用列方程组的方法解决实际问题吗？3你体会到方程思
22、想在生活中的存在吗？小结：在很多实际问题中，都存在着一些等量关系，因此我们往往可以借助列方程或方程组的方法来处理这些问题这种处理问题的过程可以进一步概括为：分析 求解来源:Z,xx,k.Com问题 方程（组） 解答抽象 检验要注意的是，处理实际问题的方法是多种多样的，图表分析是一种直观简洁的方法，应根据具体问题灵活选用教学进程：学生思考回答，不足的地方教师补充和强调。设计意图：通过提问方式引导学生小结本节知识及学习活动，养成学习总结学习的良好学习习惯，发挥自我评价的作用，进一步培养学生的语言表达能力。五、教学反思1突破难点策略-列表分析法列方程解应用题的分析方法多种多样，本课着力于介绍分析问题
23、的一种比较有效的方法图表分析法。列表分析有助于学生明确各数量间的关系,将较复杂的数量关系转化的更加清晰简洁，帮助学生学生理清题中的未知量，已知量以及等量关系，条理清楚很容易根据相等关系列方程，较易突破难点;；在实际教学中，学生掌握了图表分析的方法后，降低了思维难度，有效提高了准确率。学生在学会运用列二元一次方程组解应用题的同时,学到了一种分析数据的方法,为以后的学习生活做了方法的准备.2学生能力的培养来源:学。科。网学生各种综合能力的培养融合在每节课的教学设计中。本课为达成教学目标，特别通过设置与经济生活密切相关的一些问题，以及编应用题活动，希望学生通过问题的解决进一步认识数学与现实世界的密切
24、联系，乐于接触生活环境中的数学信息，愿意参与数学话题的研讨，从中懂得数学的价值，逐步形成用数学的意识；并且通过对问题的解决，培养学生的合理优化的经济意识，增强他们的节约成本，有效合理利用资源的意识。3评价方式本课从学生回答问题、练习情况等方面反馈学生对知识的理解、运用，教师根据反馈信息适时点拨；同时从新课标评价理念出发，教师在课堂教学中应尊重学生的个体差异，满足多样化的学习需要，鼓励探索方式、表达方式和解题方法的多样化，形成发展性评价，学生对基本知识技能的掌握情况的意识的提高状况提高学生学数学，用数学的信心。4注意改进的方面由于受教学时间限制，强调利用方程组对经济类实 际问题的解决，对其他类型的问题有所忽略，教学中可以根据学情加以补充；同时对于方程组的解法教学中也可根据学情适当加强。此外特别需要说明的是，由于本班学生状况较好，因此，整体而言，课堂容量偏大，因此，对于一般班级，建议在引入情境中仅仅选择或者改变部分问题，供课堂教学使用。
