1、6.6 关注三角形的外角课 题6.6 关注三角形的外角教学目标（一）教学知识点1.三角形的外角的概念.2.三角形的内角和定理的两个推论.（二）能力训练要求1.经历探索三角形内角和定理的推论的过程，进一步培养学生的推理能力.2.理解掌握三角形内角和定理的推论及其应用.（三）情感与价值观要求通过探索三角形内角和定理的推论的活动，来培养学生的论证能力，拓宽他们的解题思路.从而使他们灵活应用所学知识.教学重点三角形内角和定理的推论.教学难点三角形的外角、三角形内角和定理的推论的应用.教学方法启发、诱导法.教具准备投影片四张第一张：想一想（记作投影片6.6 A ）第二张：推论（记作投影片6.6 B）第三
2、张：例 1（记作投影片6.6 C）第四张：例 2（记作投影片6.6 D ）教学过程.巧设现实情境，引入新课师上节课我们证明了三角形内角和定理，大家来回忆一下：它的证明思路是什么？生通过作辅助线，把三角形中处于不同位置的三个内角集中在一起，拼成一个平角.这样就可以证明三角形的内角和等于 180.师很好，下面大家来共同证明：三角形的内角和定理.图 656已知，如图 656，ABC.求证：A+ B+C =180证明：作 BC 的延长线 CD，过点 C 作 CEBA.则：A= ACE（两直线平行，内错角相等）B= ECD（两直线平行，同位角相等）ACB+ ACE+ECD=180（1 平角=180 ）A
3、CB+ A+B=180（等量代换）师好，在证明这个定理时，先把ABC 的一边 BC 延长，这时在ABC 外得到 ACD，我们把ACD 叫做三角形 ABC 的外角.那三角形的外角有什么性质呢？我们这节课就来研究三角形的外角及其应用.讲授新课师那什么叫三角形的外角呢？像ACD 那样，三角形的一边与另一边的延长线组成的角，叫做三角形的外角.外角的特征有三条：（1）顶点在三角形的一个顶点上.如：ACD 的顶点 C 是ABC 的一个顶点.（2）一条边是三角形的一边.如：ACD 的一条边 AC 正好是ABC 的一条边.（3）另一条边是三角形某条边的延长线.如：ACD 的边 CD 是ABC 的 BC 边的延
4、长线.把三角形各边向两方延长，就可以画出一个三角形所有的外角.由此可知：一个三角形有 6 个外角，其中有三个与另外三个相等，所以研究时，只讨论三个外角的性质.下面大家来想一想、议一议（出示投影片6.6 A ）图 657如图 657，1 是ABC 的一个外角，1 与图中的其他角有什么关系呢？能证明你的结论吗？生甲1 与4 组成一个平角.所以1+4=180.生乙1=2+ 3.因为：1 与4 的和是 180,而2、3、4 是ABC 的三个内角.则2+ 3+ 4=180 .所以2+3=1804. 而1=180 4,因此可得： 1= 2+3.生丙因为1=2+ 3，所以由和大于任何一个加数，可得：12,1
5、3.师很好.大家能用自己的语言说明你的结论的正确性.你能把你的结论归纳成语言吗？生丁三角形的一个外角等于两个内角的和.它也大于三角形的一个内角.生戊不对，如图 658.（1） （2）图 658图 658（1）中，ACD 是ABC 的外角，从图中可知：ACB 是钝角三角形.ACB ACD.所以ACD 不可能等于 ABC 内的任两个内角的和 .图 658（2）中的ABC 是直角三角形，ACD 是它的一个外角，它与ACB 相等.由上述可知：丁同学归纳的结论是错误的.应该说：三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和；三角形的一个外角大于和它不相邻的任一个内角.师噢.原来是这样的，同学们同意他的意见
6、吗？生同意.师是三角形的任一个外角都有此结论吗？生是的.师很好.由此我们得到了三角形的外角的性质（出示投影片6.6 B）三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和.三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角.师这两个结论是由什么推导出来的呢？生通过三角形的内角和定理推出来的.师对.在这里，我们通过三角形内角和定理直接推导出两个新定理，像这样，由一个公理或定理直接推导出的定理叫做这个公理或定理的推论（corollary）.因此这两个结论称为三角形内角和定理的推论.它可以当做定理直接使用.注意：应用三角形内角和定理的推论时，一定要理解其意思.即：“和它不相邻”的意义.下面我们来研究三角形内角和
7、定理的推论的应用（出示投影片6.6 C）图 659例 1已知，如图 659，在ABC 中，AD 平分外角EAC，B=C，求证：ADBC .师生共析要证明 ADBC.只需证明“同位角相等”即：需证明：DAE=B.证明：EAC=B+C （三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和）B= CB= EAC（等式的性质）21AD 平分EAC（已知）DAE= EAC（角平分线的定义）DAE=B（等量代换）ADBC（同位角相等，两直线平行）师同学们想一想，还有没有其他的证明方法呢？生甲这个题还可以用“内错角相等，两直线平行”来证.证明：EAC=B+C （三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和）B=
8、C （已知）C= EAC（等式的性质）21AD 平分EAC（已知）DAC= EAC（角平分线的定义）DAC=C（等量代换）ADBC（内错角相等，两直线平行）生乙还可以用“同旁内角互补，两直线平行”来证.证明：EAC=B+C （三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和）B= C （已知）C= EAC（等式的性质）21AD 平分EAC（已知）DAC= EAC（角平分线的定义）DAC=C（等量代换）B+BAC+C =180（三角形的内角和定理）B+BAC+DAC=180（等量代换）即：B+ DAB=180ADBC（同旁内角互补，两直线平行）师同学们叙述得真棒.运用了不同的方法证明了两直线平行.现
9、在大家来想一想：若证明两个角不相等、或大于、或小于时，该如何证呢？（出示投影片6.6 D）图 660例 2已知，如图 660，在ABC 中，1 是它的一个外角，E 是边 AC 上一点，延长 BC 到 D，连接 DE.求证：12.师生共析一般证明角不等时，应用“三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角”来证明.所以需要找到三角形的外角.证明：1 是ABC 的一个外角（已知）13（三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角）3 是CDE 的一个外角（已知）32（三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角）12（不等式的性质）师很好.下面我们通过练习来进一步熟悉掌握三角形内角和定理的推论.课
10、堂练习（一）课本 P201 随堂练习 1图 6611.已知，如图 661，在ABC 中，外角DCA=100 ,A=45.求B 和ACB 的度数.解：DCA=A+ B （三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和）DCA=100,A=45 （已知）B=DCAA=10045=55（等式的性质）DCA+ACB=180（1 平角=180）ACB=180 DCA（等式的性质）DCA=100（已知）ACB=80 （等量代换）（二）看课本 P199200 然后小结.课时小结本节课我们主要研究了三角形内角和定理的推论：推论 1：三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和.推论 2：三角形的一个外角大于任何
11、一个和它不相邻的内角.在计算角的度数、证明两个角相等或角的和差倍分时，常常用到三角形内角和定理及推论 1.在几何中证明两角不等的定理只有推论 2，所以遇到有证明角不等的题目一定要设法用到它去证明.课后作业（一）课本 P201 习题 6.7 1、2、3（二）1.预习内容：全章内容2.预习提纲用自己的语言梳理本章知识.活动与探究1.如图 662，求证：（1）BDCA.（2）BDC=B+ C+A.图 662如果点 D 在线段 BC 的另一侧，结论会怎样？过程通过学生的探索活动，使学生进一步了解辅助线的作法及重要性，理解掌握三角形的内角和定理及推论.图 663结果证法一：（1）连接 AD，并延长 AD
12、，如图 6 63.则：1 是ABD 的一个外角，2 是ACD 的一个外角.13.24（三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角）1+23+4（不等式的性质）即：BDCBAC.（2）连结 AD，并延长 AD，如图 662.则1 是ABD 的一个外角，2 是ACD 的一个外角.1=3+B2=4+C（三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和）1+2=3+4+ B +C （等式的性质）即：BDC=B+ C+BAC图 664证法二：（1）延长 BD 交 AC 于 E（或延长 CD 交 AB 于 E） ，如图 664.则BDC 是CDE 的一个外角.BDCDEC.（三角形的一个外角大于任何一个和它
13、不相邻的内角）DEC 是ABE 的一个外角（已作）DECA（三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角）BDCA（不等式的性质）（2）延长 BD 交 AC 于 E，则BDC 是DCE 的一个外角.BDC=C+DEC（三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和）DEC 是ABE 的一个外角（已作）DEC=A+ B （三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和）BDC=C+A+B（等量代换）图 665如果点 D 在线段 BC 的另一侧，如图 665，则有A+ B+C+D=360 （可利用三角形的内角和定理来证明，证明略）板书设计6.6 关注三角形的外角一、三角形的外角其特征 二、三角形内角和定理的推论：三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和.三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角.三、例题例 1 例 2四、课堂练习五、课时小结六、课后作业
