1、6.2 立方根课程目标一、知识与技能目标1.了解立方根的概念,能够用根号表示一个数的立方根.2.能用类比平方根的方法学习立方根,及开立方运算,并区分立方根与平方根的不同.二、过程与方法目标用类比的方法探寻出立方根的运算及表示方法,并能自我总结出平方根与立方根的异同.三、情感态度与价值观目标发展学生的求同存异思维,使他们能在复杂的环境中明辨是非,并做出正确的处理.教材解读由正方体的边长与体积的关系引出立方运算,转入立方根运算.于是发现立方根运算与立方运算互为逆运算,很容易联想到平方运算与平方根运算之间的关系,于是立方根的表示,运算等问题就留给同学去发现.学情分析在学习完平方根运算后继而学习立方根
2、运算,通过列举一些有代表意义的数求立方运算可发现立方根比平方根更容易掌握.一、创设情境,导入新课劳动节即将来临,学生们纷纷给他们敬爱的老师奉献他们的心意,刘老师所任教的两个班的科代表一同前往老师办公室,他们手中捧着两个形状、大小一模一样的礼盒,并对老师说:“我代表我班的同学向老师敬礼，并以此小礼物代表我们对老师的敬意”.说完,两个科代表相视一笑,请老师猜一猜里面装的东西是否一样,里面物体的体积是否一样.老师知道,他们葫芦里肯定又要卖什么药了,就郑重其事地说出两个盒子的大小形状虽然一样,但里面所装的物体的形状肯定不一样,并且它们的体积也相同,但一定有其它不相同的地方.刘老师打开纸盒一看,发现里面
3、装的果然是两个不同形状的水晶一样的透明饰物,一个是圆球形的,一个是正方形,并且盒子里面各有一张纸条内容相同,经过测算,其体积为 125cm2.同学们,你们知道这两个饰物除了形状不同以外还有什么不同吗?那就是球的半径与正方体的边长,你能求出这个半径和边长吗?要求出这两个量,我们就来学习开方中的另一种运算:开立方运算.二、师生互动,课堂探究(一)提出问题,引发讨论在学习平方根的运算时,首先是找出一些数的平方值,然后才根据其逆运算过程确定某数的平方根,同样,我们先来算一算一些数的立方.23=_ ;(-2)3=_; 0.53=_;(-0.5)3=_;( )3=_;-( )3=_ ; 03=_.2(1)
4、经计算发现正数,0,负数的立方值与平方值有何不同之处?23=8;(-2)3=-8; 0.53=0.125; (-0.5)3=-0.125;( )3= ; -( )3=- ; 28728703=0.我们发现,求立方运算时,当底数互为相反数时,其立方值也是一对互为相反数,这与平方运算不同,平方运算的底数为相反数,但其平方值相等,故一个正数的平方根有两个值,但一个正数的立方根却只有一个值了,什么是立方值呢?类似平方值定义可知,若 x3=a 则 x 为 a 的立方根,记为 ,读作三次根号 a.负3a数没有平方根,负数有无立方根呢?从(-2) 3=-8,(-0.5)3=-0.125,( )3=- ,可2
5、87知负数有立方根,并且其立方根仍为负数.(2)开平方与平方运算互为逆运算,同样开立方与立方运算也互逆,故请根据上述等式,写出这些互为相反数的立方根.8 的立方根为 2,-8 的立方根为-2,记为 =2, =-23830.125 的立方根为 0.5,-0.125 的立方根为-0.5,记为 =0.5, 0.125=-0.530.125的立方根为 ,- 的立方根为- ,记为 = ， =-827238723387238720 的立方根为 0,记为 =00上述过程都是求一个数的立方根的运算,把求一个数的立方根的运算,叫做开立方,开立方与立方运算互为逆运算.故正方体的体积为 125 时,其边长为=5,而
6、球的体积为 r3 =125 时,r3.1.31254(二)导入知识,解释疑难1.例题求解既然正数的立方是正数,负数的立方是负数,那么正数的立方根为正数,负数的立方根为负数,同样 0 的立方是 0,则 0 的立方根是 0,可记为 =a(a 为任3a意数),或者若 a3=M,则有 =a,其中 M 为被开方数,3 为根指数,且根指数为 33时,不能省略,只有当根指数为 2 时,才能省略不写.故课本 P170探究中, =-82,- =-2,由此得 =- ,又 =-3,- =-3,由此得 =-383837323273于是可归纳出其规律: =- ,而 , 的意义不同,其值也不同,若3aaa0 时, - 表
7、示 a 的算术平方根的相反数 无意义;若 a- -53103102.探究活动若正方体的棱长为 1,则其体积为 1;若正方体的棱长为 2,则其体积为 8;若正方体的棱长为 4,则其体积为 64;若其棱长为 8,则其体积为 512当棱长为 2n 时,其体积为多少?某正方体的体积为 1 时,其棱长为 1;体积为 2 时,棱长为 ;体积为 3 时,棱长为 ;若体积扩大到原来的 n 倍,则棱长扩大多少32倍?解:正方体棱长为 1,则体积为 1,棱长为 2,体积为 8,比较两者棱长扩大了2 倍,体积扩大了 8 倍,棱长又扩大了 1 倍,其体积相应增大 7 倍,为原来的 8 倍,故当棱长为 2n 时,体积为
8、 8n3.当体积扩大到原来的 n 倍时,棱长扩大到原来的 倍.3n(三)归纳总结,知识回顾这节课学习了立方根的概念,立方根的表示方法以及如何求一个数的立方根.用计算器求任意数的立方根时,只能先求出该数的绝对值的立方根,再根据任意数的正负性决定其值,注意区分平方根与立方根.练习：（一）171 页 1，3，4； 172 页 1，31.某数的立方根等于它本身,这个数是多少?2.求下列各数的立方根:(1)-1+ ; (2)640006123.某金属冶炼厂将 27 个大小相同的立方体钢铁在炉火中熔化后浇铸成一个长方体钢铁,此长方体的长,宽,高分别为 160cm,80cm 和 40cm,求原来立方体钢铁的边长.4.有一边长为 6cm 的正方体的容器中盛满水,将这些水倒入另一正方体容器时,还需再加水 127cm3才满,求另一正方体容器的棱长. 参考答案1.这个数为 0,12.(1)- (2)40 3. cm 4.7cm45803作业：172 页 2，5。
