1、 教师助手 学生帮手 家长朋友 教师助手 学生帮手 家长朋友 上海市普陀区 2012年高三年级第二次质量调研数学试卷 （理科） 2012.04说明：本试卷满分 150 分，考试时间 120 分钟。本套试卷另附答题纸，每道题的解答必须写在答题纸的相应位置，本卷上任何解答都不作评分依据。一、填空题（本大题满分 56分）本大题共有 14小题，要求直接将结果填写在答题纸对应的空格中.每个空格填对得 4分，填错或不填在正确的位置一律得零分.1. 函数 22()sincosxf的最小正周期是 . 2. 二项式 61x的展开式中的常数项是 （请用数值作答） 3. 函数 1log2xy的定义域是 .4.
2、 设 1e与 是两个不共线的向量，已知12ABek， 23CB， 12De，则当D、 、三点共线时， k . 5. 已知各项均为正数的无穷等比数列 na中，12a， 321a，则此数列的各项和 S . 6. 已知直线 l的方程为 30xy，点 (1,4)A与点开始 201?nsi3S1n输出 S结束是否,S第 7 题图 教师助手 学生帮手 家长朋友 教师助手 学生帮手 家长朋友 B关于直线 l对称，则点 B的坐标为 . 7. 如图，该框图所对应的程序运行后输出的结果 S的值为 . 8. 若双曲线的渐近线方程为 3yx，它的一个焦点的坐标为(10,)，则该双曲线的标准方程为 . 9. 如图，
3、需在一张纸上印上两幅大小完全相同，面积都是 32cm2的照片. 排版设计为纸上左右留空各 3cm，上下留空各 2.5cm，图间留空为 1cm .照此设计，则这张纸的最小面积是 cm 2.10. 给出问题：已知 ABC满足 cosaAbB，试判定 ABC的形状.某学生的解答如下：解：（i）由余弦定理可得， 222bcacb，2222a，cab,故 ABC 是直角三角形.（ii）设 外接圆半径为 R.由正弦定理可得，原式等价于2sinco2sincoRABA，故 C 是等腰三角形.综上可知， B 是等腰直角三第 9 题图 教师助手 学生帮手 家长朋友 教师助手 学生帮手 家长朋友 角形.请问：
4、该学生的解答是否正确？若正确，请在下面横线中写出解题过程中主要用到的思想方法；若不正确，请在下面横线中写出你认为本题正确的结果. .11. 已知数列 na是等比数列，其前 n项和为 nS.若 102，206S，则 301S= . 12. 若一个底面边长为 32，侧棱长为 6的正六棱柱的所有顶点都在一个球面上，则此球的体积为 .13. 用红、黄、蓝三种颜色分别去涂图中标号为1,23,9的 个小正方形（如右图） ，需满足任意相邻（有公共边的）小正方形所涂颜色都不相同，且标号为“ 、 5、 ”的小正方形涂相同的颜色. 则符合条件的所有涂法中，恰好满足“1、3、5、7、9”为同一颜色， “2、4、6、
5、8”为同一颜色的概率为 .14. 设 *Nn， na表示关于 x的不等式 144logl(5)2nxx的正整数解的个数，则数列 n的通项公式 na .二、选择题（本大题满分 20分）本大题共有 4题，每题有且只有一个结论是正确的，必须把正确结论的代号写在答题纸相应的空格中. 每题选对得 5分，不选、选错或选出的代号超过一个（不论是否都写在空格内） ，或者没有填写在题号对应的空格内，一律得零分.15. “lg,lxyz成等差数列 ”是“ 2yxz”成立的 （ 1 2 34 5 67 8 9第 13 题图 教师助手 学生帮手 家长朋友 教师助手 学生帮手 家长朋友 ）A充分非必要条件； B必要
6、非充分条件；C充要条件； D既非充分也非必要条件.16. 设 是直线 l的倾斜角，且 cos0a，则 的值为 （ ）A. arcos； B. arcos； C. arcs； D. arcos.17. 设全集为 R，集合2|14xMy， 3|01xN，则集合231|xy可表示为 （ ） A. MN； B. MN； C. RCMN； D. RC18. 对于平面 、 、 和直线 a、 b、 m、 n,下列命题中真命题是（ ）A若 ,amn,，则 ；B. 若 /b则 /a；C. 若 ,b，则 /a；D. 若 /,a则 b三、解答题（本大题满分 74分）本大题共有 5题，解答下列各题必须在答题纸规定的方
7、框内写出必要的步骤.19. （本题满分 12分）已知函数 ()2fxk，0k的图像分别与 x轴、 y轴交于 A、 B两点，ABSPO第 20 题图 教师助手 学生帮手 家长朋友 教师助手 学生帮手 家长朋友 且 2ABij，函数 6)(2xg. 当 x满足不等式()fxg时，求函数 1yf的最小值.20. （本题满分 12分，第 1小题满分 6分，第 2小题满分 6分） 如图,已知圆锥体 SO的侧面积为 5，底面半径 OA和 B互相垂直，且 3OA， P是母线 B的中点.（1）求圆锥体的体积；（2）异面直线 S与 A所成角的大小（结果用反三角函数表示） 21. （本大题满分 14分，第 1
8、小题满分 7分，第 2小题满分 7分）已知 ABC中， ， 23ABC.设 Ax，记()fx.（1） 求 ()f的解析式及定义域；（2）设 6()1gxmfx，是否存在实数 m，使函数 )(xg的值域为31,？若存在，求出 的值；若不存在，请说明理由.22. （本大题满分 16分，第 1小题满分 5分，第 2小题满分 5分，第 3小题满分 6分）已知数列 na是首项为 2的等比数列，且满足 教师助手 学生帮手 家长朋友 教师助手 学生帮手 家长朋友 *(N)n.（1） 求常数 p的值和数列 na的通项公式；（2） 若抽去数列 n中的第一项、第四项、第七项、第3n项、，余下的项按原来的顺序
9、组成一个新的数列 nb，试写出数列 nb的通项公式；（3） 在（2）的条件下，设数列 nb的前 项和为 nT.是否存在正整数 n，使得 13nT？若存在，试求所有满足条件的正整数 的值；若不存在，请说明理由.23. （本大题满分 20分，第 1小题满分 4分，第 2小题满分 6分，第 3小题最高分 10分）设点 F是抛物线 L2ypx(0)的焦点， 123nPP是抛物线 L上的 n个不同的点（ 3,n*N）.（1） 当 2p时，试写出抛物线 L上的三个定点 1、 2、 3的坐标，从而使得 123|6FP；（2）当 n时，若 1230nFPFP ，求证： 123|np ； 教师助手 学生帮手 家
10、长朋友 教师助手 学生帮手 家长朋友 （3） 当 3n时，某同学对（2）的逆命题，即：“若 13|nFPFPp ，则 1230nFP .”开展了研究并发现其为假命题. 请你就此从以下三个研究方向中任选一个开展研究： 试构造一个说明该逆命题确实是假命题的反例（本研究方向最高得 4分） ； 对任意给定的大于 3的正整数 n，试构造该假命题反例的一般形式，并说明你的理由（本研究方向最高得 8分） ； 如果补充一个条件后能使该逆命题为真，请写出你认为需要补充的一个条件，并说明加上该条件后，能使该逆命题为真命题的理由（本研究方向最高得 10分）.【评分说明】本小题若选择不止一个研究方向，则以实得分最
11、高的一个研究方向的得分作为本小题的最终得分.2012年普陀区高三第二次质量调研数学试卷参考答案 一、填空题（每小题 4 分，满分 56 分）：1. 2； 2. 20； 3. （文） )1(， ； （理） (0,1)2， ； 4. 8；5. 23； 6. )2,5(； 7. 3； 8. 192yx； 9. 96；10. 等腰或直角三角形； 11. （文） 6；（理） 7； 12. （文）34；（理） 29； 教师助手 学生帮手 家长朋友 教师助手 学生帮手 家长朋友 13. （文） 108；（理） 18； 14. 1*34,Nn.二、选择题（每题 5 分，满分 20 分）： 题号15 16
12、17 18答案A B D D三、解答题（满分 74 分）： 19.（本题满分 12 分）解：由题意知： )0,2(kA、 ),(B，则 )2,(,kA可解得： 1，即 2xf因为 )(xgf，即 6，解不等式得到 4,x25()yf2)125xx因为 4,，则 6,0)(所以 3521)(xxfg，当且仅当 21x，即 1， 时，等号成立.所以，当 x时， )(fg的最小值为 3.20.（本题满分 12 分）解：（1）由题意， 15OASB得 S， 教师助手 学生帮手 家长朋友 教师助手 学生帮手 家长朋友 xCBA故 22534SOB从而体积 2113VASO.（2）如图 2，取 中点
13、H，联结 P. 由 P是 SB的中点知 S，则 (或其补角)就是异面直线 O与 A所成角.由 平面 PH平面 BPHA.在 A中，由 得 235O；在 RtPH中， 90， 1PSB， A，则 35tan4A，所以异面直线 O与 P所成角的大小35rct4.21. （本题满分 14 分，其中第 1 小题 7 分，第 2 小题 7 分）解：（1）如图，在 ABC中，由 3， BC，可得 xACB3，又 1，故由正弦定理得 2sin3si()i3x2i()AB、 sinBCx.则函数 )fx2|cosin()33A 教师助手 学生帮手 家长朋友 教师助手 学生帮手 家长朋友 231sin(co
14、sin)2xx231siin6x1i6i()6，其中定义域为 0,3x.说明：亦可用积化和差方法化简： 2111()sin()cos(2)cos(2)33336fxxxx .（2） 6)1si26gmfxm由 0,3x可得 5(,)62sin(x1,(.显然， 0m，则1当 0m时， ()1,gxm，则 )(xg的值域为 23,1(232；2当 时， (),)x，不满足 )(x的值域为 ,(；因而存在实数 21m，使函数 g的值域为 31,2.22. （本大题满分 16 分，第 1 小题满分 5 分，第二小题满分 5 分，第 3 小题满分 6 分）（1）解：由 nnpaa2,211得 2p， 423pa，又因为存在常数 ，使得数列 n为等比数列，则 312即 )4()(22，所以 1.故数列 na为首项是 2，公比为 2 的等比数列，即 na2.此时 11n也满足，则所求常数 p的值为 1 且 *(N)n.
