1、2012 年全国各地中考数学压轴题精选（解析版 1-20）1 （2012菏泽）如图，在平面直角坐标系中放置一直角三角板，其顶点为 A（0，1） ，B（2，0） ，O（0，0） ，将此三角板绕原点 O 逆时针旋转 90，得到 ABO（1）一抛物线经过点 A、B、B，求该抛物线的解析式；（2）设点 P 是在第一象限内抛物线上的一动点，是否存在点 P，使四边形 PBAB 的面积是ABO 面积 4 倍？若存在，请求出 P 的坐标；若不存在，请说明理由（3）在（2）的条件下，试指出四边形 PBAB 是哪种形状的四边形？并写出四边形PBAB 的两条性质解题思路： （1）利用旋转的性质得出 A（1，0） ，
2、B（0，2） ，再利用待定系数法求二次函数解析式即可；（2）利用 S 四边形 PBAB=SBOA+SPBO+SPOB，再假设四边形 PBAB 的面积是ABO 面积的 4 倍，得出一元二次方程，得出 P 点坐标即可；（3）利用 P 点坐标以及 B 点坐标即可得出四边形 PBAB 为等腰梯形，利用等腰梯形性质得出答案即可解答： 解：（1）ABO 是由ABO 绕原点 O 逆时针旋转 90得到的，又 A（0，1） ，B（2，0） ，O（0，0） ，A（ 1，0） ， B（0，2） （1 分）设抛物线的解析式为：y=ax 2+bx+c（a0） ，抛物线经过点 A、B、B， ，解得： ，满足条件的抛物线的
3、解析式为 y=x2+x+2（3 分）（2）P 为第一象限内抛物线上的一动点，设 P（x，y） ，则 x0，y0，P 点坐标满足 y=x2+x+2连接 PB，PO，PB，S 四边形 PBAB=SBOA+SPBO+SPOB，= 12+ 2x+ 2y，=x+（x 2+x+2） +1，=x2+2x+3（5 分）假设四边形 PBAB 的面积是 ABO 面积的 4 倍，则4=x2+2x+3，即 x22x+1=0，解得：x 1=x2=1，此时 y=12+1+2=2，即 P（1，2） （7 分）存在点 P（1，2） ，使四边形 PBAB 的面积是ABO 面积的 4 倍（8 分）（3）四边形 PBAB 为等腰梯
4、形，答案不唯一，下面性质中的任意 2 个均可等腰梯形同一底上的两个内角相等； 等腰梯形对角线相等；等腰梯形上底与下底平行； 等腰梯形两腰相等（10 分）或用符号表示：BAB=PBA或ABP=BPB；PA=B B；BPA B；BA =PB （10 分）2 （2012宁波）如图，二次函数 y=ax2+bx+c 的图象交 x 轴于 A（1，0） ，B（2，0） ，交y 轴于 C（0， 2） ，过 A，C 画直线（1）求二次函数的解析式；（2）点 P 在 x 轴正半轴上，且 PA=PC，求 OP 的长；（3）点 M 在二次函数图象上，以 M 为圆心的圆与直线 AC 相切，切点为 H若 M 在 y 轴右
5、侧，且CHMAOC（点 C 与点 A 对应） ，求点 M 的坐标；若M 的半径为 ，求点 M 的坐标解题思路： （1）根据与 x 轴的两个交点 A、B 的坐标，利设出两点法解析式，然后把点 C 的坐标代入计算求出 a 的值，即可得到二次函数解析式；（2）设 OP=x，然后表示出 PC、PA 的长度，在 RtPOC 中，利用勾股定理列式，然后解方程即可；（3）根据相似三角形对应角相等可得MCH=CAO，然后分（i）点 H 在点 C下方时，利用同位角相等，两直线平行判定 CMx 轴，从而得到点 M 的纵坐标与点 C 的纵坐标相同，是 2，代入抛物线解析式计算即可；（ii ）点 H 在点 C 上方时
6、，根据（2）的结论，点 M 为直线 PC 与抛物线的另一交点，求出直线 PC 的解析式，与抛物线的解析式联立求解即可得到点 M 的坐标；在 x 轴上取一点 D，过点 D 作 DEAC 于点 E，可以证明AED 和AOC 相似，根据相似三角形对应边成比例列式求解即可得到 AD 的长度，然后分点 D 在点 A的左边与右边两种情况求出 OD 的长度，从而得到点 D 的坐标，再作直线DMAC，然后求出直线 DM 的解析式，与抛物线解析式联立求解即可得到点 M 的坐标解答： 解：（1）设该二次函数的解析式为：y=a（x+1） （x2） ，将 x=0，y= 2 代入，得2=a（0+1） （02） ，解得
7、a=1，抛物线的解析式为 y=（x+1） （x 2） ，即 y=x2x2；（2）设 OP=x，则 PC=PA=x+1，在 RtPOC 中，由勾股定理，得 x2+22=（x+1） 2，解得，x= ，即 OP= ；（3）CHMAOC，MCH=CAO，（i）如图 1，当 H 在点 C 下方时，MCH=CAO，CMx 轴，yM=2，x2x2=2，解得 x1=0（舍去） ，x 2=1，M（1，2） ，（ii）如图 1，当 H 在点 C 上方时，MCH=CAO，PA=PC，由（2）得，M 为直线 CP 与抛物线的另一交点，设直线 CM 的解析式为 y=kx2，把 P（ ，0）的坐标代入，得 k2=0，解得
8、 k= ，y= x2，由 x2=x2x2，解得 x1=0（舍去） ，x 2= ，此时 y= 2= ，M（ ， ） ，在 x 轴上取一点 D，如图（备用图） ，过点 D 作 DEAC 于点 E，使 DE= ，在 RtAOC 中，AC= = = ，COA=DEA=90，OAC= EAD，AEDAOC， = ，即 = ，解得 AD=2，D（ 1， 0）或 D（ 3，0） 过点 D 作 DMAC，交抛物线于 M，如图（备用图）则直线 DM 的解析式为：y= 2x+2 或 y=2x6，当2x 6=x2x2 时，即 x2+x+4=0，方程无实数根，当2x+2=x 2x2 时，即 x2+x4=0，解得 x1
9、= ，x 2= ，点 M 的坐标为（ ，3+ ）或（ ，3 ） 3 （2012福州）如图 1，已知抛物线 y=ax2+bx（a 0）经过 A（3，0） 、B （4，4）两点（1）求抛物线的解析式；（2）将直线 OB 向下平移 m 个单位长度后，得到的直线与抛物线只有一个公共点 D，求m 的值及点 D 的坐标；（3）如图 2，若点 N 在抛物线上，且 NBO=ABO，则在（ 2）的条件下，求出所有满足PODNOB 的点 P 坐标（点 P、O 、D 分别与点 N、O、B 对应） 解题思路： （1）利用待定系数法求出二次函数解析式即可；（2）根据已知条件可求出 OB 的解析式为 y=x，则向下平移
10、m 个单位长度后的解析式为：y=x m由于抛物线与直线只有一个公共点，意味着联立解析式后得到的一元二次方程，其根的判别式等于 0，由此可求出 m 的值和 D 点坐标；（3）综合利用几何变换和相似关系求解方法一：翻折变换，将NOB 沿 x 轴翻折；方法二：旋转变换，将NOB 绕原点顺时针旋转 90特别注意求出 P 点坐标之后，该点关于直线 y=x 的对称点也满足题意，即满足题意的 P 点有两个，避免漏解解答： 解：（1）抛物线 y=y=ax2+bx（a 0）经过 A（3，0） 、B（4，4） ，解得：抛物线的解析式是 y=x23x（2）设直线 OB 的解析式为 y=k1x，由点 B（4，4） ，
11、得：4=4k 1，解得：k 1=1直线 OB 的解析式为 y=x，直线 OB 向下平移 m 个单位长度后的解析式为：y=xm ，点 D 在抛物线 y=x23x 上，可设 D（x，x 23x） ，又点 D 在直线 y=xm 上，x23x=xm，即 x24x+m=0，抛物线与直线只有一个公共点，=164m=0，解得：m=4，此时 x1=x2=2，y=x 23x=2，D 点的坐标为（2， 2） （3）直线 OB 的解析式为 y=x，且 A（3，0） ，点 A 关于直线 OB 的对称点 A的坐标是（0，3） ，设直线 AB 的解析式为 y=k2x+3，过点（4，4） ，4k2+3=4，解得：k 2=
12、，直线 AB 的解析式是 y= ，NBO=ABO，点 N 在直线 AB 上，设点 N（n， ） ，又点 N 在抛物线 y=x23x 上， =n23n，解得：n 1= ，n 2=4（不合题意，舍去）N 点的坐标为（ ， ） 方法一：如图 1，将NOB 沿 x 轴翻折，得到N 1OB1，则 N1（ ， ） ，B 1（4，4） ，O、 D、 B1 都在直线 y=x 上P1ODNOB，P1ODN1OB1， ，点 P1 的坐标为（ ， ） 将OP 1D 沿直线 y=x 翻折，可得另一个满足条件的点 P2（ ， ） ，综上所述，点 P 的坐标是（ ， ）或（ ， ） 方法二：如图 2，将NOB 绕原点顺时
13、针旋转 90，得到N 2OB2，则 N2（ ， ） ，B 2（4， 4） ，O、 D、 B1 都在直线 y=x 上P1ODNOB，P1ODN2OB2， ，点 P1 的坐标为（ ， ） 将OP 1D 沿直线 y=x 翻折，可得另一个满足条件的点 P2（ ， ） ，综上所述，点 P 的坐标是（ ， ）或（ ， ） 4 （2012临沂）如图，点 A 在 x 轴上，OA=4，将线段 OA 绕点 O 顺时针旋转 120至 OB的位置（1）求点 B 的坐标；（2）求经过点 A、O、B 的抛物线的解析式；（3）在此抛物线的对称轴上，是否存在点 P，使得以点 P、O、B 为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，求
14、点 P 的坐标；若不存在，说明理由解题思路： （1）首先根据 OA 的旋转条件确定 B 点位置，然后过 B 做 x 轴的垂线，通过构建直角三角形和 OB 的长（即 OA 长）确定 B 点的坐标（2）已知 O、A、B 三点坐标，利用待定系数法求出抛物线的解析式（3）根据（2）的抛物线解析式，可得到抛物线的对称轴，然后先设出 P 点的坐标，而 O、B 坐标已知，可先表示出OPB 三边的边长表达式，然后分OP=OB、OP=BP、OB=BP 三种情况分类讨论，然后分辨是否存在符合条件的 P 点解答： 解：（1）如图，过 B 点作 BCx 轴，垂足为 C，则BCO=90 ，AOB=120，BOC=60，
15、又 OA=OB=4，OC= OB= 4=2，BC=OB sin60=4 =2 ，点 B 的坐标为（2，2 ） ；（2）抛物线过原点 O 和点 A、B，可设抛物线解析式为 y=ax2+bx，将 A（4，0） ，B（ 22 ）代入，得，解得 ，此抛物线的解析式为 y= x2+ x（3）存在，如图，抛物线的对称轴是 x=2，直线 x=2 与 x 轴的交点为 D，设点 P 的坐标为（2，y） ，若 OB=OP，则 22+|y|2=42，解得 y=2 ，当 y=2 时，在 RtPOD 中，PDO=90，sinPOD= = ，POD=60，POB=POD+AOB=60+120=180，即 P、O、B 三点在同一直线上，
