1、20.3 矩形 菱形 正方形,矩形的定义,有一个角是直角的平行四边形是矩形,矩形的定义：,对边平行, 对边相等; 对角相等，邻角互补； 对角线互相平分,矩形: 有一个角是直角的平行四 边形是矩形,特殊的平行四边形,一般性质： 具备平行四边形所有的性质,探索新知:矩形是一种特殊的平行四边形，除了具有平行四边形的所有性质外，还有哪些特殊性质呢？,矩形是轴对称图形.,探索新知:矩形是一种特殊的平行四边形，除了具有平行四边形的所有性质外，还有哪些特殊性质呢？,猜想1：矩形的四个角都是直角,猜想2：矩形的对角线相等,矩形是轴对称图形.,已知：四边形ABCD是矩形 求证：AC = BD,证明：在矩形ABC
2、D中,ABC = DCB = 90,又AB = DC ， BC = CB, ABCDCB (SAS), AC = BD,证明：矩形的两条对角线相等,矩形的特殊性质:,矩形的四个角都是直角,矩形的两条对角线相等,从角上看：,从对角线上看：,数学语言表示为：,四边形ABCD是矩形,A=B=C=D=900,数学语言表示为：,四边形ABCD是矩形,AC = BD,,O,A,B,C,D,公平,因为OA=OC=OB=OD,生活链接-投圈游戏,,已知：在RtABC中，ABC=900，BO是AC上的中线.求证: BO = AC,O,D,证明: 延长BO至D,使OD=BO,连结AD、DC.,AO=OC, BO=
3、OD四边形ABCD是平行四边形.,ABC=900,AC=BD,再探新知:,推论：直角三角形斜边上的中线 等于斜边的一半,O,例: 如图，矩形ABCD的两条对角线相交于点O，AOB=60,AB=4,求矩形对角线的长？,解： 四边形ABCD是矩形AC与BD相等且互相平分 OA=OB AOB=60 AOB是等边三角形 OA=AB=4() 矩形的对角线长 AC=BD=2OA=8(),O,方法小结: 如果矩形两对角 线的夹角是60或120, 则其中必有等边三角形.,20.3 矩形 菱形 正方形,第二课时,矩形的判定,矩形的四个角都是直角., 矩形的性质定理1,矩形的对角线相等., 矩形的性质定理2, 推
4、 论,直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半.,矩形具有而一般平行四边形不 具有的性质是 ( ）,A.对角相等,B.对边相等,C.对角线相等,D.对角线互相平分,C,课前热身,四边形ABCD是矩形 1.若已知AB=8，AD=6，则AC_ ，OB=_ 2.若已知AC10，BC=6，则矩形的周长_ cm， 矩形的面积_ 2 若已知 DOC=120，AC8，则AD= _cm， AB= _cm,5,10,4,48,28,课前热身,4.已知ABC是Rt，ABC=900， BD是斜边AC上的中线,(1) 若BD=3则AC (2) 若C=30, AB5，则AC ， BD .,6,5,10,课前热身,2、 如图
5、，矩形ABCD被两条对角线分成四个小三角形，如果四个小三角形的周长的和是86cm,对角线长是13cm，那么矩形的周长是多少？,解： AOB、 BOC、 COD 和AOD四个三角形的周长和为86cm, 又,AC=BD=13cm, AB+BC+CD+DA=862(AC+BD),=86413=34(cm),即矩形ABCD的周长等于34cm。,工人师傅为了检验两组对边相等的四边形窗框是否成矩形，一种方法是量一量这个四边形的两条对角线长度，如果对角线长相等，则窗框一定是矩形，你知道为什么吗？,情境一：,猜想：对角线相等的平行四边形是矩形 .,命题：对角线相等的平行四边形是矩形,已知：平行四边形ABCD中
6、，AC BD. 求证：四边形ABCD是矩形.,证明:, AB=CD, BC=BC, AC=BD, ABC DCB（SSS）, AB/CD ABC+DCB=180, ABC=DCB=90又 四边形ABCD是平行四边形,四边形ABCD是矩形, ABC DCB,对角线相等的平行四边形是矩形 .,矩形的判定方法1：,几何语言：,四边形ABCD是平行四边形AC=BD,四边形ABCD是矩形,（对角线相等且互相平分的四边形是矩形.）,（或OA=OC=OB=OD）,例3：已知，如图矩形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，且E、F、G、H分别是AO、BO、CO、DO的中点，求证：四边形EFGH是矩形,情境一：
7、李芳同学有“边直角、边直角、边直角、边”这样四步，画出了一个四边形，她说这就是一个矩形，她的判断对吗？为什么？,猜想：有三个角是直角的四边形是矩形,你能证明上述结论吗？,矩形的判定方法2：,有三个角是直角的四边形是矩形 ., A B C 90 四边形ABCD是矩形,几何语言：,20.3 矩形 菱形 正方形,第三课时,矩形的判定,你能归纳矩形的几种判定方法吗？,有一个角是直角的平行四边形是矩形.,对角线相等的平行四边形是矩形 .,（对角线相等且互相平分的四边形是矩形.）,有三个角是直角的四边形是矩形 .,定义:,矩形判定定理1:,矩形判定定理2:,下列各句判定矩形的说法是否正确？,（1）对角线相
8、等的四边形是矩形；,（2）对角线互相平分且相等的四边形是矩形；,（3）有一个角是直角的四边形是矩形；,（5）有三个角是直角的四边形是矩形；,（6）四个角都相等的四边形是矩形；,（7）对角线相等，且有一个角是直角的四边形是矩形；,（10）一组邻边垂直，一组对边平行且相等的四边形是矩形；,（9）对角线相等且互相垂直的四边形是矩形；,（8）一组对角互补的平行四边形是矩形；,（4）有三个角都相等的四边形是矩形;,X,X,X,X,1.如图， ABCD中，AB=6, BC=8, AC=10.求证: 四边形ABCD是矩形.,2.已知：如图在 ABCD中，M为BC中点， MAD=MDA.求证：四边形 ABCD
9、是矩形,3. 如图，ABC中，AB=AC, AD、AE分别是A与A的外角的平分线，BEAE. 求证： AB=DE.,4.已知：如图，BC是等腰BED底边ED上的高，四边形ABEC是平行四边形求证：四边形ABCD是矩形,20.3 矩形 菱形 正方形,第四课时,菱形,两组对边 分别平行,矩形,情景创设,我们已经知道平行四边形是特殊的四边形，因此平行四边形除具有四边形的性质外，还有它的特殊性质，同样对于平行四边形来说有特殊情况即特殊的平行四边形，我们已经研究了一种特殊的平行四边形矩形 ；这堂课还要研究另一种特殊的平行四边形菱形,有一个角是直角,菱形,有一组邻边相等,有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形
10、；,菱形的定义：,我们可以这样做：将一张长方形的纸对折、再对折，然后沿图中的虚线剪下，打开即可.你知道其中的道理吗？,如何利用折纸、剪切的方法，既快又准确地剪出一个菱形的纸片？,菱形的性质：,（1）菱形具有平行四边形的一切性质；,（2）菱形的四条边都相等；,（3）菱形的两条对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角；,已知：如图:菱形ABCD的对角线AC和BD相交于点,证明：四边形ABCD是菱形,在ABD中， 又 BO=DO,AB=AD（菱形的四条边都相等）,ACBD，AC平分BAD,同理： AC平分BCD；BD平分ABC和ADC,求证：ACBD ；AC平分BAD和BCD；BD平分ABC和A
11、DC,命题：菱形的对角线互相垂直平分，并且每一条对角线平分一组对角；,相等的线段：,相等的角：,等腰三角形有：,直角三角形有：,全等三角形有：,已知四边形ABCD是菱形,AB=CD=AD=BC OA=OC OB=OD,DAB=BCD ABC =CDA AOB=DOC=AOD=BOC =90 1=2=3=4 5=6=7=8,ABC DBC ACD ABD,RtAOB RtBOC RtCOD RtDOA,RtAOB RtBOC RtCOD RtDOA ABDBCD ABCACD,A,B,C,D,O,1,2,3,4,5,6,7,8,菱形的 两条对角线互相平分,菱形的两组对边平行且相等,边,对角线,角
12、,菱形的性质:,菱形的四条边相等,菱形的两组对角分别相等,菱形的邻角互补,菱形的两条对角线互相垂直， 每一条对角线平分一组对角,【菱形的面积公式】,O,E,S菱形 BCAE,思考:计算菱形的面积除了上式方法外,利用对角线能 计算菱形的面积公式吗?,菱形的面积=底高=对角线乘积的一半,学以致用:,1.已知菱形的周长是12cm，那么它的边长是_.,2.菱形ABCD中ABC60 则BAC_.,3cm,60 ,3.菱形ABCD中,O是两条对角线的交点，已知AB5cm,AO=4cm，求两对角线AC、BD的长。,4.菱形ABCD中两条对角线的长分别是6cm和8cm,求菱形的周长和面积.,例1：已知菱形AB
13、CD中，E是AB的中点，且 DEAB，AB4求：ABC的度数对角线AC的长菱形ABCD的面积,例2：如图，E为菱形ABCD边BC上一点，且 AB=AE，AE交BD于O，且 DAE=2BAE，求证：EB=OA；,练习：1.已知，菱形对角线长分别为12cm和16cm，求菱形的高。,2.在菱形ABCD中，AEBC，AFCD， E、F分别为BC，CD的中点，那么 EAF的度数是（ ）,A.75B.60C.45D.30,B,例3：已知：如图，AD平分BAC， DEAC交AB于E，DFAB交AC于F求证：EFAD,20.3 矩形 菱形 正方形,第五课时,菱形,知识回顾：,菱形的定义：,有一组邻边相等的平行
14、四边形是菱形,菱形的性质：,1. 菱形的两组对边平行，四条边相等,2. 菱形的两组对角分别相等，邻角互补,3. 菱形的两条对角线互相垂直平分, 且 每一条对角线平分一组对角,思 考：除了运用菱形的定义，类比研究平行四边形和举行的性质和判定，你能找出判定菱形的其他方法吗?,猜 想：对角线互相垂直的平行四边形是菱形.,证明：对角线互相垂直的平行四边形是菱形.,已知：平行四边形ABCD中，对角线 AC、BD互相垂直. 求证：四边形ABCD是菱形,菱形的判定定理1：对角线互相垂直的平行四边形是菱形,例4：如图，已知矩形ABCD的对角线AC的垂直平分线与边AD、BC分别交于点E、F.求证：四边形AFCE
15、是菱形,猜 想：四条边都相等的四边形是菱形.,已知：如图，四边形ABCD中，AB=BC=CD=DA 求证：四边形ABCD是菱形,菱形的判定定理2：四条边都相等的四边形是菱形.,猜 想：如果一个四边形的每条对角线平分一组对角，那么这个四边形是菱形.,已知：如图， AC平分DAB和DCB，BD平分ABC和ADC 求证：四边形ABCD是菱形,菱形的判定定理3：每条对角线平分一组对角的四边形是菱形,课堂小结：判定四边形是菱形共有哪几种方法？,菱形的判定定理1：对角线互相垂直的平行四边形是菱形,菱形的判定定理3：每条对角线平分一组对角的四边形是菱形,菱形的判定定理2：四条边都相等的四边形是菱形.,20.
16、3 矩形 菱形 正方形,第六课时,菱形,知识回顾：,菱形的定义：,有一组邻边相等的平行四边形是菱形,菱形的性质：,1. 菱形的两组对边平行，四条边相等,2. 菱形的两组对角分别相等，邻角互补,3. 菱形的两条对角线互相垂直平分, 且 每一条对角线平分一组对角,判定四边形是菱形有哪几种方法？,菱形的判定定理1：对角线互相垂直的平行四边形是菱形,菱形的判定定理3：每条对角线平分一组对角的四边形是菱形,菱形的判定定理2：四条边都相等的四边形是菱形.,知识回顾：,做一做：判断下列命题是否正确，并说明理由 对角线互相平分且邻边相等的四边形是菱形 两组对边分别平行且一组邻边相等的四边形是菱形 邻角相等的四
17、边形是菱形 有一组邻边相等的四边形是菱形 两组对角分别相等且对角线互相垂直的四边形是菱形 对角线互相垂直的四边形是菱形 对角线互相垂直平分的四边形是菱形. 一条对角线平分一个内角的平行四边形是菱形.,错,对,对,对,错,对,错,对,例5：已知：如图，ABC中，BAC的平分线交BC于点D，E是AB上一点，且AE=AC，EFBC交AD于点F.求证：四边形CDEF是菱形,例6：已知：如图，在菱形ABCD中，E、F分别是BC、CD上的点，且CE=CF。过点C作CGEA交AF于H，交AD于G，若BAE=25，BCD=130，求AHC的度数.,例7：已知：如图，C是线段BD上一点，ABC和ECD都是等边三
18、角形，R、F、G、H分别是四边形ABDE各边的中点.求证：四边形RFGH是菱形,如图，边长为a的菱形ABCD中，DAB=60度，E是异于A、D两点的动点，F是CD上的动点，满足AE CF = a .证明：不论E、F怎样移动， BEF总是正三角形。,20.3 矩形 菱形 正方形,第七课时,正方形,矩形的性质：,1. 矩形是轴对称图形.,2. 矩形的四个内角都是直角.,3. 矩形的对角线相等且互相平分.,矩形的判定方法：,1. 有一个角是直角的平行四边形是矩形.,2. 对角线相等的平行四边形是矩形.,3. 有三个角是直角的四边形是矩形.,复习巩固:,矩形的概念：有一个角是直角的平行四边形是矩形,菱
19、形的概念：一组邻边相等的平行四边形是菱形.,菱形的性质:,1. 菱形是轴对称图形.,2. 菱形的四条边都相等.,3. 菱形的两条对角线互相垂直平分，并且 分别平分每一组对角.,菱形的判定方法:,2. 四条边都相等的四边形是菱形.,1. 有一组邻边相等的平行四边形是菱形.,3. 对角线互相垂直的平行四边形是菱形.,复习巩固:,4.每条对角线平分一组对角的四边形是菱形.,画一画，猜一猜,请同学们画一个四边形，要求它既是矩形又是菱形.,正方形的定义 :,有一个角是直角, 且有一组邻边相等的平行四边形叫做正方形.,观察图形，你能发现正方形有哪些性质吗？,正方形的性质:,边-,角-,对角线-,对边平行，
20、四边相等,四个角都是直角,对角线相等且互相垂直平分，每一条对角线平分一组对角,是轴对称图形，对称轴有四条,对称性-,根据图形所具有的性质,在下表相应的空格中打 ”,平行四边形,矩形,菱形,正方形,平行四边形、矩形、菱形、正方形的关系图,矩 形,菱 形,正方形,有一组邻边相等,有一个角是直角,探究活动:,判断满足下列条件的四边形是否是正方形？并说明理由. 对角线互相垂直且相等的平行四边形. 对角线互相垂直的矩形. 对角线相等的菱形. 对角线互相垂直平分且相等的四边形., 有一个角是直角的菱形是正方形. 有一组邻边相等的矩形是正方形. 对角线相等的菱形是正方形. 对角线互相垂直的矩形是正方形. 对
21、角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形.,正方形的判定方法:,例8.已知:正方形ABCD中,点A1、B1、C1、D1分别在AB 、BC 、CD 、DA上,且AA1=BB1=CC1=DD1,试判断四边形A1B1C1D1是正方形吗?为什么?,证明四个三角形全等,证明四边形A1B1C1D1为菱形,证明四边形A1B1C1D1为正方形,分 析,小 结:,课堂小结:,一、正方形的性质,1. 正方形是特殊的平行四边形，具备平行四边形的所有性质.,2. 正方形是特殊的矩形和菱形，具备它们的所有特征.,3. 正方形的四条边都相等.,4. 正方形的两条对角线互相垂直平分且相 等，并且分别平分每一组对角.,5. 正方形即是轴对称图形.,二、正方形的判定,
