1、12.3角平分线的性质,复习提问,1、角平分线的概念,一条射线,把一个角,分成两个相等的角，,这条射线叫做这个角的平分线。,复习提问,2、点到直线距离:,从直线外一点,到这条直线的垂线段,的长度，,叫做点到直线的距离。,A,O,B,尺规作图：,作法：1、以_为圆心， _长为半径作圆弧， 与角的两边分别交于C、 D两点；,2、分别以_为圆心， _的长为半径 作弧，两条圆弧交于 AOB内一点_；,3、作射线_；,则_就是所求作的射线。,点O,任意,C、D,大于CD一半,E,OE,OE,观察领悟作法，探索思考证明方法：,A,为什么OC是角平分线呢？,想一想：,已知：OM=ON，MC=NC。 求证：O
2、C平分AOB。,证明：在OMC和ONC中，OM=ON，MC=NC，OC=OC， OMC ONC（SSS）MOC=NOC即：OC平分AOB,？,如图：任意作一个角AOB，作出AOB的平分线OC，在OC上任取一点P，过点P画出OA，OB的垂线，分别记垂足为D，E，测量PD，PE并作比较，你得到什么结论？在OC上再取几个点试一试？,通过以上测量，你发现了角的平分线的什么性质？,角的平分线上的点到角的两边的距离相等。,角平分线的性质,角的平分线上的点到角的两边的距离相等。,定理应用所具备的条件：,（1）角的平分线；,（2）点在该平分线上；,（3）垂直距离。,定理的作用：,证明线段相等。,如何论证其正确
3、性？,已知：如图，AOCBOC，点P在OC上，PDOA，PEOB，垂足分别为D，E。,求证：PDPE,证明：, PDOA，PEOB,PDOPEO900,在PDO和PEO中，,PDOPEO AOCBOC OP=OP, PDOPEO（AAS）,PD=PE,角平分线的性质,定理：角的平分线上的点到角的两边的距离相等,用符号语言表示为：,A,O,B,P,1,2, 1= 2PD OA ，PE OB PD=PE (角的平分线上的点到角的两边的距离相等),推理的理由有三个，必须写完全，不能少了任何一个。,证明一个几何命题的步骤：,1、明确命题中的已知和求证； 2、根据题意，画出图形，并用数学符号表示已知和求
4、证 3、经过分析，找出由已知推出要证的结论的途径，写出证明过程, 如图，AD平分BAC（已知）, = ，( ),在角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等。,BD CD,（）,判断：,练习2, 如图， DCAC，DBAB （已知）, = ，( ),在角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等。,BD CD,（）, AD平分BAC, DCAC，DBAB （已知）, = ，（ ）,在角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等。,不必再证全等,练习3,如图， OC是AOB的平分线， 又 _ PD=PE ( ),PDOA，PEOB,角的平分线上的点到角的两边的距离相等,在OAB中，OE是它的角平分线，且E
5、A=EB，EC、ED分别垂直OA，OB，垂足为C，D. 求证：AC=BD.,例题讲解,练习4,在ABC中， C=90 ，AD为BAC的平分线，DEAB，BC7，DE3. 求BD的长。,2、如图,OC是AOB的平分线,点P在OC上,PD OA,PEOB,垂足分别是D、E,PD=4cm,则PE=_cm.,练习5,3 . 如图，DEAB，DFBC，垂足分别是E，F， DE =DF， EDB= 60，则 EBF= 度，BE= 。,60,BF,4 如图，在ABC中，C=90，DEAB，1=2，且AC=6cm，那么线段BE是ABC的 ，AE+DE= 。,角的平分线,6cm,5.已知ABC中, C=900,AD平分 CAB,且BC=8,BD=5,求点D到AB的距离是多少？,A,B,C,D,E,6、 如图，在ABC中，C=90 AD是BAC的平分线，DEAB于E，F在AC上，BD=DF； 求证：CF=EB,巩固提高,7、如图，的的外角的平分线与的外角的平分线相交于点 求证：点到三边，所在直线的距离相等,F,G,H,小 结,角的平分线的性质： 角的平分线上的点到角的两边的距离相等。,小结,谢谢！,
