1、高邮市城北中学九年级第 1 页 共 13 页初中数学定理、公式汇编第一篇 数与代数第一节 数与式一、实数1. 实数的分类：整数(包括:正整数、0、负整数)和分数(包括:有限小数和无限环循小数)都是有理数.如:3, ,0.231,0.737373, , 等；无限不环循小数叫做无理数. 如:, ,0.1010010001(两个 1之间依次多 1个 0)等.有理数和无理数统称为实数.2. 数轴：规定了原点、正方向和单位长度的直线叫数轴。实数和数轴上的点一一对应。3. 绝对值：在数轴上表示数a的点到原点的距离叫数a的绝对值，记作a。正数的绝对值是它本身；负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0。如:丨
2、 _丨= ；丨3.14丨=3.14.4. 相反数：符号不同、绝对值相等的两个数，叫做互为相反数。a的相反数是-a，0的相反数是0。 5. 有效数字：一个近似数,从左边笫一个不是0的数字起,到最末一个数字止,所有的数字,都叫做这个近似数的有效数字.如:0.05972精确到0.001得0.060,结果有两个有效数字6,0.6. 科学记数法：把一个数写成a10 n的形式(其中1an） ；幂的乘方法则：幂的乘方，底数不变，指数相乘，即 b)(（n 为正整数） ；零指数： 10a（a0） ；负整数指数：n1（a0，n 为正整数） ；2.整式的乘除法:几个单项式相乘除,系数与系数相乘除,同底数的幂结合起来
3、相乘除. 单项式乘以多项式,用单项式乘以多项式的每一个项. 多项式乘以多项式,用一个多_项式的每一项分别乘以另一个多项式的每一项.多项式除以单项式,将多项式的每一项分别除以这个单项式.平方差公式：两个数的和与这两个数的差的积等于这两个数的平方，即；2)(baba完全平方公式：两数和（或差）的平方，等于它们的平方和，加上（或减去）它们的积的 2倍，即 22)(3分解因式：把一个多项式化成几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式分解因式4分解因式的方法：提公团式法：如果一个多项式的各项含有公因式，那么就可以把这个公因式提出来，从而将多项式化成两个因式乘积的形式，这种分解因式的方法叫做提公因式法
4、高邮市城北中学九年级第 3 页 共 13 页运用公式法：公式 ； 2()abab222()ab5分解因式的步骤：分解因式时，首先考虑是否有公因式，如果有公因式，一定先提取公团式，然后再考虑是否能用公式法分解6分解因式时常见的思维误区： 提公因式时，其公团式应找字母指数最低的，而不是以首项为准 提取公因式时，若有一项被全部提出，括号内的项“ 1”易漏掉 分解不彻底，如保留中括号形式，还能继续分解等四.分式1分式：整式 A 除以整式 B，可以表示成 的形式，如果除式 B 中含有字母，那么称 为分式AB AB注：（1）若 B0，则 有意义；（ 2）若 B=0，则 无意义；（2）若 A=0 且 B0，
5、则 =0 AB AB AB2分式的基本性质：分式的分子与分母都乘以（或除以）同一个不等于零的整式，分式的值不变3约分：把一个分式的分子和分母的公团式约去，这种变形称为分式的约分4通分：根据分式的基本性质，异分母的分式可以化为同分母的分式，这一过程称为分式的通分5分式的加减法法则：（1）同分母的分式相加减，分母不变，把分子相加减；（2）异分母的分式相加减，先通分，化为同分母的分式，然后再按同分母分式的加减法则进行计算6分式的乘除法法则：两个分式相乘，把分子相乘的积作为积的分子，把分母相乘的积作为积的分母；两个分式相除，把除式的分子和分母颠倒位置后再与被除式相乘7通分注意事项：（1）通分的关键是确
6、定最简公分母，最简公分母应为各分母系救的最小公倍数与所有相同因式的最高次幂的积；（2）易把通分与去分母混淆，本是通分，却成了去分母，把分式中的分母丢掉8分式的混合运算顺序，先算乘方，再算乘除，最后算加减，有括号先算括号里面的9对于化简求值的题型要注意解题格式，要先化简，第二节 方程与不等式一、一元一次方程1方程：含有未知数的等式叫方程2一元一次方程：只含有一个未知数，并且未知数的指数是 1（次）系数不为 0，这样的方程叫一元一次方程一般形式：axb=0（a0）3解一元一次方程的一般步骤：去分母，去括号，移项，合并同类项，未知数系数化为一。二、二元一次方程（组）1二元一次方程：含有两个未知数，并
7、且所含未知数的项的次数都是 1 的方程叫做二元一次方程2二元一次方程组：含有两个未知数的两个一次方程所组成的一组方程，叫做二元一次方程组3二元一次方程组的解：二元一次方程组中各个方程的公共解，叫做这个二元一次方程组的解4二元一次方程组的解法（1）代人消元法：解方程组的基本思路是“消元”一把“二元”变为“一元” ，主要步骤是，将其中一个方程中的某个未知数用含有另一个未知数的代数式表示出来，并代人另一个方程中，从而消去一个未知数，化二元一次方程组为一元一次方程，这种解方程组的方法称为代人消元法，简称代人法（2）加减消元法：通过方程两边分别相加（减）消去其中一个未知数，这种解二元一次方程组的方法叫做
8、加减消元法，简称加减法三、分式方程高邮市城北中学九年级第 4 页 共 13 页1分式方程：分母中含有未知数的方程叫做分式方程2.解分式方程的步骤:去分母,化为整式方程;解整式方程;验根;下结论.3分式方程的增根问题： 增根的产生：分式方程本身隐含着分母不为 0 的条件，当把分式方程转化为整式方程后，方程中未知数允许取值的范围扩大了，如果转化后的整式方程的根恰好使原方程中分母的值为 0，那么就会出现不适合原方程的根 l 增根； 验根：因为解分式方程可能出现增根，所以解分式方程必须验根 四、一元二次方程1一元二次方程：只含有一个未知数，未知数的最高次数是 2，且系数不为 0，这样的方程叫一元二次方
9、 程一般形式：ax 2bx+c=0(a0）2一元二次方程的解法： 配方法：配方法是一种以配方为手段，以开平方为基础的一种解一元二次方程的方法用配方法解一元二次方程：ax 2bx+c=0(k0）的一般步骤是：化二次项系数为 1，即方程两边同除以二次项系数；移项，即使方程的左边为二次项和一次项，右边为常数项；配方，即方程两边都加上一次项系数的绝对值一半的平方；化原方程为(x+m） 2=n 的形式；如果 n0 就可以用两边开平方来求出方程的解；如果 n=0，则原方程无解 公式法：公式法是用求根公式求出一元二次方程的解的方法它是通过配方推导出来的一元二次方程的求根公式是 (b24ac0)acbx4 因
10、式分解法：用因式分解的方法求一元二次方程的根的方法叫做因式分解法它的理论根据是两个因式中至少要有一个等于 0，因式分解法的步骤是：将方程右边化为 0；将方程左边分解为两个一次因式的乘积；令 每个因式等于 0，得到两个一元一次方程，解这两个一元一次方程，它们的解就是原一元二次方程的解3一元二次方程的注意事项： 在一元二次方程的一般形式中要注意，强调 a0因当 a=0 时，不含有二次项，即不是一元二次方程如关于 x 的方程（k 21）x 2+2kx+1=0 中，当 k=1 时就是一元一次方程了 应用求根公式解一元二次方程时应注意：化方程为一元二次方程的一般形式；确定 a、b、c的值；求出 b24a
11、c 的值；若 b24ac0，则代人求根公式，求出 x1 ,x2若 b24a0，则方程无解 方程两边绝不能随便约去含有未知数的代数式如2(x4) 2=3（x4）中，不能随便约去（x4） 注意解一元二次方程时一般不使用配方法（除特别要求外）但又必须熟练掌握，解一元二次方程的一般顺序是：开平方法因式分解法公式法五、一元一次不等式(组)1不等式：用不等号（“” “” “” “” ）表示不等关系的式子2不等式的基本性质：（）不等式的两边都加上（或减去）同一个整式，不等号的方向不变 （2）不等式的两边都乘以（或除以）同一个正数，不等号的方向不变 （3）不等式的两边都乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向改
12、变3不等式的解：能使不等式成立的未知数的值，叫做不等式的解4不等式的解集：一个含有未知数的不等式的所有解，组成这个不等式的解集5解不等式：求不等式解集的过程叫做解不等式6一元一次不等式：只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是 1，系数不为零的不等式叫做一元一次不等式7解一元一次不等式易错点：（1）不等式两边部乘以（或除以）同一个负数时，不等号的方向要改高邮市城北中学九年级第 5 页 共 13 页变，这是同学们经常忽略的地方，一定要注意；（2）在不等式两边不能同时乘以 08 解一元一次不等式的步骤：去分母，去话号，移项，合并同类项，系数化为 19求不等式的正整数解，可负整数解等特解，可先求出这
13、个不等式的所有解，再从中找出所需特解10一元一次不等式组：关于同一个未知数的几个一元一次不等式合在一起，就组成一个一元一次不等式组11一元一次不等式组的解集：一元一次不等式组中各个不等式的解集的公共部分，叫做这个一元一次不等式组的解集12解不等式组：求不等式组解集的过程，叫做解不等式组13不等式组的分类及解集(ab） 14解一元一次不等式组的步骤：（1）分别求出不等式组中各个不等式的解集（2）利用数轴或口诀求出这些解集的公共部分，即这个不等式的解。第三节 函数一.平面直角坐标系1平面直角坐标系：（1）在平面内，两条互相垂直且有公共原点的数轴组成平面直角坐标系通常，两条数轴分别置于水平位置与铅直
14、位置，取向右与向上的方向分别为两条数轴的正方向水平的数轴叫做 x 轴或横轴，铅直的数轴叫做 y 轴或纵轴，x 轴和 y 轴统称坐标轴，它们的公共原点 O 称为直角坐标系的原点这个平面叫做坐标平面(2)象限:二.一次函数1一次函数：若两个变量 x、y 间的关系式可以表示成 y=kxb(k、b 为常数，k 0）的形式，则称 y是 x 的一次函数(x 是自变量,y 是因变量 特别地，当 b=0 时，称 y 是 x 的正比例函数2一次函数的图象：一次函数 y=kx+b 的图象是经过点(0，b), ( ，0 ）的一条直线，正比例函数bky=kx 的图象原点 (0，0）的一条直线，如下表所示3.一次函数的
15、图象和性质: y=kx+b(k、b为常数k0)的图象是一条直线(b是直线与y轴的交点的纵坐标).当k0时, y 随x的增大而增大(直线从左向右上升);当k0）或向下(b0 时，抛物线开口向上，当 a0 时，如果x2，则 y 随 x 的增大而减小，如果x，则 y 随 x 的增大而增大；当 a0）或向右(m0 ）或向右(m0)或向下(k0.A 越大,A 的正弦和正切值越大,余弦值反的 邻 边的 对 边A而越小.特殊角的三角函数值：五、四边形1.多边形（1）多边形的内角和定理：n 边形的内角和等于180)2(n（n3，n 是正整数） ；（2）多边形的外角和定理：任意多边形的外角和等于 6。2平行四边
16、形平行四边形是四边形中应用广泛的一种图形，它是研究特殊四边形的基础，是研究线段相等角相等和直线平行的根据之一（1）平行四边形的定义。两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形。（2）两条平行线间的距离：两条平行线中，一条直线上任意一点到另一条直线的距离，叫做两条平行线间的距离两条平行线间的距离是一个定值，不随垂线段位置改变而改变，两条平行线间的距离处处相等（3） 平行四边形的性质：平行四边形的两组对边分别平行；平行四边形的两组对边分别相等；平行四边形的两组对角分别相等；平行四边形的对角线互相平分（4）平行四边形的判定： 两组对边分别平行的四边形是平行四边形 两组对边分别相等的四边形是平行四边形30
17、4560Sin 21223Cos 31tan 1 3度 数三 角函 数高邮市城北中学九年级第 9 页 共 13 页 一组对边平行且相等的四边形是平行四边形 对角线互相平分的四边形是平行四边形3.矩形(1) 定义:有一个角是直角的平行四边形叫做矩形.(2) 矩形的性质：（除具有平行四边形所有性质外）矩形的四个角都是直角；矩形的对角线相等；(3)矩形的判定：有三个角是直角的四边形是矩形；对角线相等的平行四边形是矩形；4.菱形(1)定义:有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形.(2)菱形的性质：（除具有平行四边形所有性质外）菱形的四边相等；菱形的对角线互相垂直平分，并且每一条对角线平分一组对角；(3)菱
18、形的判定：四边相等的四边形是菱形；对角线互相垂直的平行四边形是菱形.5.正方形(1)定义:有一组邻边相等且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形.(2)正方形的性质：正方形的四边相等；正方形的四个角都是直角；正方形的两条对角线相等，且互相垂直平分，每一条对角线平分一组对角；(3)正方形的判定：有一个角是直角的菱形是正方形；有一组邻边相等的矩形是正方形。6.等腰梯形(1) 等腰梯形的性质:等腰梯形同一底边上的两个内角相等等腰梯形的两条对角线相等。(2)等腰梯形的判定：同一底边上的两个角相等的梯形是等腰梯形；*两条对角线相等的梯形是等腰梯形。六、圆1.圆有关的概念: （1）圆：平面上到定点的距离等于
19、定长的所有点组成的图形叫做圆，其中，定点为圆心，定长为半径（2）圆心角：顶点在圆心的角叫做圆心角（3）圆周角：顶点在圆上，两边分别与圆还有另一个交点的角叫做圆周角（4）弧：圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧，大于半圆的弧称为优弧，小于半圆的弧称为劣弧（5）弦：连接圆上任意两点的线段叫做弦，经过圆心的弦叫做直径2.圆的有关的性质：（1）圆心角、弦和弧三者之间的关系：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦或两条弦心距中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量分别相等；（2）垂径定理：垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧；（3）圆心角定理：圆心角的度数等于它所对弧的度数；（4）圆心
20、角与圆周角的关系: 同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角等于它所对的国心角的一半（5）圆内接四边形:顶点都在国上的四边形，叫圆内接四边形圆内接四边形对角互补. （6）圆周角定理：直径所对的圆周角是直角，反过来，90的圆周角所对的弦是直径；（7）切线的判定定理：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线；（8）切线的性质定理：圆的切线垂直于过切点的半径；（9）切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，这一点到两切点的线段相等，它与圆心的连线平分两切线的夹角；3三角形的内心和外心高邮市城北中学九年级第 10 页 共 13 页（1）确定圆的条件：不在同一直线上的三个点确定一个圆（2）三角形的外心：
21、三角形的三个顶点确定一个圆，这个圆叫做三角形的外接圆，外接圆的圆心就是三角形三边的垂直平分线的交点，叫做三角形的外心（3）三角形的内心：和三角形的三边都相切的圆叫做三角形的内切圆，内切圆的圆心是三角形三条角平分线的交点，叫做三角形的内心4.点与圆的位置关系：点在圆外，点在圆上，点在圆内，设圆的半径为 r，点到圆心的距离为 d，则点在圆外 dr点在圆上 d=r点在圆内 dr5直线和圆的位置关系有三种：相交、相切、相高 设圆的半径为 r，圆心到直线的距离为 d，则直线与圆相交 dr，直线与圆相切 d=r，直线与圆相离 dr6.圆与圆的位置关系 3设两圆的圆心距为 d，两圆的半径分别为 R 和 r，
22、则 两圆外离 dR+r ； 两圆外切 d=Rr； 两圆相交 RrdR+r（Rr） 两圆内切 d=Rr （R r ） 两圆内含 dR r（R r ）7.圆有关的计算:(1)弧长计算公式： 180nl（R 为圆的半径，n 是弧所对的圆心角的度数， l为弧长）(2)扇形面积：236S扇 形或lS1扇 形（R 为半径，n 是扇形所对的圆心角的度数， l为扇形的弧长）(3)圆锥: 圆锥的侧面积为 S 侧 22r lrl；全面积为 S 全r2rl七、尺规作图（基本作图、利用基本图形作三角形和圆）作一条线段等于已知线段，作一个角等于已知角；作已知角的平分线；作线段的垂直平分线；过一点作已知直线的垂线；八、视
23、图与投影1视图：主视图、左视图、俯视图2基本几何体的三视图画法：（1）观察方向：正面、侧面、上面 （2）视图特点：长对正，高平齐，宽相等 （3）要注意实线与虚线的用法3.平行投影：太阳光线可以看成是平行光线，像这样的光线形成的投影称为平行投影4.中心投影：光线可以看成是从一点发出的，像这样的光线形成的投影称为中心投影第二节 图形与变换一.图形的轴对称1.轴对称的基本性质：对应点所连的线段被对称轴平分；2.等腰三角形、矩形、菱形、等腰梯形、正多边形、圆是轴对称图形；二.图形的平移1、平移的概念：在平面内，将一个图形沿某个方向移动一定的距离，这样的图形运动称为平移，平移不改变图形的形状和大小注:（
24、1）平移是运动的一种形式，是图形变换的一种，本讲的平移是指平面图形在同一平面内的变换（2）图形的平移有两个要素：一是图形平移的方向，二是图形平移的距离，这两个要素是图形平移 高邮市城北中学九年级第 11 页 共 13 页的依据（3）图形的平移是指图形整体的平移，经过平移后的图形，与原图形相比，只改变了位置，而不改变图形的大小，这个特征是得出图形平移的基本性质的依据2平移的基本性质：由平移的基本概念知，经过平移，图形上的每一个点都沿同一个方向移动相同的距离，平移不改变图形的形状和大小，因此平移具有下列性质：经过平移，对应点所连的线段平行且相等，对应线段平行且相等，对应角相等注：（1）要注意正确找
25、出“对应线段，对应角” ，从而正确表达基本性质的特征 （2） “对应点所连的线段平行且相等”，这个基本性质既可作为平移图形之间的性质，又可作为平移作图的依据三.图形的旋转1.图形旋转的基本性质：对应点到旋转中心的距离相等，对应点与旋转中心的距离相等、对应点与旋转中心连线所成的角彼此相等；2.中心对称图形: 在平面内，一个图形绕某个点旋转 180 度，如果旋转前后的图形互相重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点叫做它的对称中心。中心对称图形上的每一对对应点所连成的线段都被对称中心平分。3.平行四边形、矩形、菱形、正多边形（边数是偶数） 、圆是中心对称图形；四.图形的相似1.比例的基本性质：如
26、果 ，则 ，如果 ，则dcbabcbcad)0,(db2.相似三角形的判定： 两组角对应相等；两边对应成比例且夹角对应相等；三边对应成比例3.相似三角形的性质：相似三角形的对应角相等；相似三角形的对应边成比例；相似三角形的周长之比等于相似比；相似三角形的面积比等于相似比的平方；4.图形的位似与图形相似的关系：两个图形相似不一定是位似图形，两个位似图形一定是相似图形；5.位似图形：如果两个图形不仅是相似图形，而且每组对应点所在的直线都经过同一个点，那么这样的两个图形叫做位似图形，这个点叫做位似中心，这时的相似比又称为位似比。位似图形上任意一对对应点到位似中心的距离之比等于位似比。第三篇 概率与统
27、计一统计1.数据收集方法、数据的表示方法:统计表和扇形统计图、折线统计图、条形统计图.2.总体与样本:所要考察对象的全体叫做总体，其中每一个考察对象叫做个体，从总体中所抽取的一部分个体叫做总体的一个样本，样本中个体数目叫做样本容量。3.众数与中位数众数：在一组数据中,出现次数最多的数(有时不止一个),叫做这组数据的众数.中位数：将一组数据按大小顺序排列,把处在最中间的一个数(或两个数的平均数)叫做这组数据的中位数.4.频率分布直方图把一组数分成若干个小组,组距=(最大值最小值)组数(求组数时,用收尾法取整数),这时,落在某小组内的数据的个数叫做这组的频数,每一小组的频数与数据总个数的比值叫做这
28、一小组的频率（高邮市城北中学九年级第 12 页 共 13 页）.因此, 各小组的频数之和等于总数，各小组的频率之和等于1.在频率分布直样 本 容 量频 数频 率 方图中,各小长方形的面积等于相应各组的频率.5.平均数的两个公式 n 个数 、 , 的平均数为： ；1x2nxnxxn.21 如果在 n个数中， 出现 次、 出现 次, 出现 次，并且1f2fkf+ + =n，则 ，这时 也叫加权平均数，其中1f2kf nxxk.， ， 叫做权。6.极差、方差与标准差计算公式：(1)极差：用一组数据的最大值减去最小值所得的差来反映这组数据的变化范围，用这种方法得到的差称为极差，即：极差=最大值-最小值
29、；(2)方差： =2s 2221.xxxnn(3)标准差： =s 2221.n二、概率1.不可能事件、必然事件和随机事件有些事情我们能肯定他一定不会发生，这些事情称为不可能事件有些事情我们能确定他一定会发生，这些事情称为必然事件.有很多事情我们无法肯定他会不会发生，这些事情称为随机事件。2.等可能事件的概率:一般地,_那么事件 A发生的概率为 P(A)= .nm3.在具体情境中了解概率的意义，运用列举法（包括列表、画树状图）计算简单事件发生的概率;大量的重复实验时频率可视为事件发生概率的估计值.4频数、频率、概率：对一个随机事件做大量实验时会发现，随机事件发生的次数（也称为频数）与试验次数的比
30、（也就是频率人总是在一个固定数值附近摆动，这个固定数值就叫随机事件发生的概率，概率的大小反映了随机事件发生的可能性的大小5概率的性质：人们通常用 1（或 100%）来表示必然事件发生的可能性，用 0 来表示不可能事件发生的可能性。游戏对双方公平是指双方获胜的可能性相同。必然事件发生的概率为 1，记作高邮市城北中学九年级第 13 页 共 13 页P（必然事件）=1；不可能事件发生的概率为 0，记作 P（不可能事件）=0；如果 A 为不确定事件，那么 0 P（A ）1。6.频率、概率的区别与联系：频率与概率是两个不同的概念，概率是伴随着随机事件客观存在着的，只要有一个随机事件存在，那么这个随机事件的概率就一定存在；而频率是通过实验得到的，它随着实验次数的变化而变化，但当试验的重复次数充分大后，频率在概率附近摆动，为了求出一随机事件的概率，我们可以通过多次实验，用所得的频率来估计事件的概率
