1、1第一章 实数一、实数的概念及分类 1、实数的分类正有理数有理数 零 有限小数和无限循环小数实数 负有理数正无理数无理数 无限不循环小数负无理数2、无理数：无限不循环小数叫做无理数。在理解无理数时，要抓住“无限不循环”这一时之，归纳起来有四类：（1）开方开不尽的数，如 等；32,7（2）有特定意义的数，如圆周率 ，或化简后含有 的数，如 +8 等；3（3）有特定结构的数，如 0.1010010001等；（4）某些三角函数值，如 sin60o 等二、实数的倒数、相反数和绝对值 1、相反数实数与它的相反数时一对数（只有符号不同的两个数叫做互为相反数，零的相反数是零） ，从数轴上看，互为相反数的两个
2、数所对应的点关于原点对称，如果 a 与 b 互为相反数，则有 a+b=0，a= b，反之亦成立。2、绝对值在数轴上，一个数所对应的点与原点的距离，叫做该数的绝对值。 （|a|0） 。零的绝对值是它本身，也可看成它的相反数，若|a|=a，则 a0；若|a|=-a，则 a0。3、倒数如果 a 与 b 互为倒数，则有 ab=1，反之亦成立。倒数等于本身的数是 1 和-1。零没有倒数。4、数轴规定了原点、正方向和单位长度的直线叫做数轴解题时要真正掌握数形结合的思想，理解实数与数轴的点是一一对应的，并能灵活运用。5、估算三、平方根、算数平方根和立方根 1、算术平方根：一般地，如果一个正数 x 的平方等于
3、 a，即 x2=a，那么这个正数 x 就叫做a 的算术平方根。特别地，0 的算术平方根是 0。表示方法：记作“ ”，读作根号 a。a性质：正数和零的算术平方根都只有一个，零的算术平方根是零。2、平方根：一般地，如果一个数 x 的平方等于 a，即 x2=a，那么这个数 x 就叫做 a 的平方根（或二次方根） 。表示方法：正数 a 的平方根记做“ ”，读作“正、负根号 a”。2性质：一个正数有两个平方根，它们互为相反数；零的平方根是零；负数没有平方根。开平方：求一个数 a 的平方根的运算，叫做开平方。0a注意 的双重非负性：03、立方根:一般地，如果一个数 x 的立方等于 a，即 x3=a 那么这
4、个数 x 就叫做 a 的立方根（或三次方根） 。表示方法：记作 3a性质：一个正数有一个正的立方根；一个负数有一个负的立方根；零的立方根是零。注意： ，这说明三次根号内的负号可以移到根号外面。33四、实数大小的比较 1、实数比较大小：正数大于零，负数小于零，正数大于一切负数；数轴上的两个点所表示的数，右边的总比左边的大；两个负数，绝对值大的反而小。2、实数大小比较的几种常用方法（1）数轴比较：在数轴上表示的两个数，右边的数总比左边的数大。（2）求差比较：设 a、b 是实数， ,03,0ba（3）求商比较法：设 a、b 是两正实数， ;1;1;1baab（4）绝对值比较法：设 a、b 是两负实数
5、，则 。ba（5）平方法：设 a、b 是两负实数，则 。2五、算术平方根有关计算（二次根式）1、含有二次根号“ ”；被开方数 a 必须是非负数。2、性质：（1） )0()(2a)0(a（2） 2)(（3） （ ）0,(baab )0,(baba（4） （ ）),3、运算结果若含有“ ”形式，必须满足：（1）被开方数的因数是整数，因式是整式；a（2）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式六、实数的运算 （1）六种运算：加、减、乘、除、乘方 、开方（2）实数的运算顺序:先算乘方和开方，再算乘除，最后算加减，如果有括号，就先算括号里面的。（3）运算律加法交换律 加法结合律 ab )()(cbac乘法交
6、换律 乘法结合律 b乘法对加法的分配律 ca)(实数 同步复习知识点 1 平方根一、基本知识41一般的，如果一个_的平方等于 a，即_，那么这个_叫做 a 的算术平方根a 的算术平方根记为_，a 叫做_规定：0 的算术平方根是_2一般的，如果_，那么这个数叫做 a 的平方根这就是说，如果_，那么 x 叫做 a 的平方根，a 的平方根记为_3求一个数 a 的_的运算，叫做开平方4一个正数有_个平方根，它们_；0 的平方根是_；负数_5.25 的算术平方根是 _； _是 9 的平方根； 的平方根是_166计算：（1） _；（2） _；（ 3） _；1521（4） _；（5） _；（6） _432)
7、3(4二、练习1下列各数中没有平方根的是（ ）A （3） 2 B0C D6 382下列说法正确的是（ ）A169 的平方根是 13 B1.69 的平方根是1.3C （13） 2 的平方根是13 D（13 ）没有平方根3下列语句不正确的是（ ）A0 的平方根是 0 B正数的两个平方根互为相反数C2 2 的平方根是2 Da 是 a2 的一个平方根4一个数的算术平方根是 a，则比这个数大 8 数是（ ）Aa8 Ba 4 Ca 28 Da 285. 判断：3 是 9 的算术平方根 （ ）3 是 9 的一个平方根 （ ）9 的平方根是3 （ ）（4） 2 没有平方根 （ ）4 2 的平方根是 2 和2
8、（ ）6. 的平方根是_；0.0001 算术平方根是_：0 的平方根是_517 的算术平方根是_： 的算术平方根的相反数是_2)(818一个数的平方根是2，则这个数的平方是_9若 有意义，则 a 满足_；若 有意义，则 a 满足_a中的 x 的取值范围是_1x10若 3x2270，则 x_11 求下列各式的值：5（1）3 （2） （3） （4）568125.0.12436.012要切一块面积为 16cm2 的正方形钢板，它的边长是多少？13要在一块长方形的土地上做田间试验，其长是宽的 3 倍，面积是 1323 平方米求长和宽各是多少米？14.思考题：估计与 最接近的整数35知识点 2：立方根一
9、、基本知识1一般的，如果_，那么这个数叫做 a 的立方根或三次方根。这就是说，如果_，那么 x 叫做 a 的立方根，a 的立方根记为_2求一个数 a 的_的运算，叫做开立方3正数的立方根是_数；负数的立方根是_数；0 的立方根是_二、练习：1125 的立方根是_； 的立方根是_812计算：（1） _；（2） _；（3） _30. 3641312793体积是 64m3 的立方体，它的棱长是 _m4 的立方根是_； 的平方根是_63645 _； _； _； 30. 213)2(_； _；8386下列结论正确的是（ ）A 的立方根是 B 没有立方根64743125C有理数一定有立方根 D （1） 6
10、 的立方根是17下列结论正确的是（ ）A 64 的立方根是4 B 是 的立方根16C立方根等于本身的数只有 0 和 1 D 33278比较大小：（1） （2） （3）;_33 ;_.27_939求出下列各式中的 a：（1）若 a30.343，则 a_；（2）若 a33213，则 a_；（3）若 a31250，则 a_；（4）若（a1） 38，则 a_10若 x 的立方根是 4，则 x 的平方根是_1127 的立方根与 的平方根的和是_81612若 则 x 与 y 的关系是_,03yx13如果 那么（a67） 3 的值是_,414若 m0，则 _315.判断正误负数没有平方根，但负数有立方根 （
11、 ）的平方根是 的立方根是 （ ）94278,332如果 x2（2） 3，那么 x2 （ ）算术平方根等于立方根的数只有 1 （ ）16.求下列各式的值：（1） （2） （3） （4）37032543618 3231)(717.已知 5x19 的立方根是 4，求 2x7 的平方根知识点 3 实数一、基本知识1_叫无理数，_统称实数2_与数轴上的点一一对应3把下列各数填入相应的集合：1、 、3.14、 、 、 、 9267.0（1）有理数集合 ；（2）无理数集合 ；（3）正实数集合 ；（4）负实数集合 4 的相反数是_； 的倒数是_； 的绝对值是_221355如果一个数的平方是 64，那么它的倒
12、数是_6比较大小：（1） （2）;33_ .36_137 的相反数是_； 的绝对值是_大于 的所有负整数是27_二、练习71判断：实数是由正实数和负实数组成 （ ）0 属于正实数 （ ）数轴上的点和实数是一一对应的 （ ）如果一个数的立方等于它本身，那么这个数是 0 或 1 （ ）若 则 （ ）,2|x2下列说法错误的是（ ）A实数都可以表示在数轴上 B数轴上的点不全是有理数C坐标系中的点的坐标都是实数对 D 是近似值，无法在数轴上表示准确23下列说法正确的是（ ）A无理数都是无限不循环小数 B无限小数都是无理数C有理数都是有限小数 D带根号的数都是无理数4如果一个数的立方根等于它本身，那么这
13、个数是（ ）A1 B0 和 1 C0 和1 D0 和15.若实数 a、b 互为相反数，c、d 互为负倒数，则式子 _3cdba6在数轴上与 1 距离是的点 ，表示的实数为_27、计算题 37694 236)48(123)451(78.已知 求 xy 的值,0|13|2yx9.若无理数 a 满足不等式 1a4，请写出两个符合条件的无理数_10已知 a 是 的整数部分，b 是它的小数部分，求（a） 3（b3） 2 的值012已知 是 nm 3 的算术平方根， 是 m2n 的立nmA 32Bnm方根，求 BA 的平方根13.已知 M 是满足不等式 的所有整数 a 的和，N 是满足不等式63a的最大整数求 MN 的平方根237x8
