1、费尔马光行最速原理 解决周长最短的内接三角形费尔马不仅是位数学家，他在物理学中也有所建树， “光行最速原理”就是由他发现的。由此我们可以解下列问题：由光源 A 射出的光线，经平面镜 MN 反射后照到点 B，求光走过的路线。 解：作 A 关于 MN 的对称点 A，连 AB 交 MN 于点 P，则光线将由 A 射到 P，经反射后到 B，这条路线是“ 最短路线”。实际上，对 MN 上任一非 P 的点 P，都有AP+PB=AP+PBAB=AP+PB。即这条路线最短。 由此可得到物理学中的反射定律：光经平面镜反射时，入射角等于反射角，在图 1 中，取 P 点处法线 PQ，则有1=2。 在ABC 中，AD
2、、BE、CF 分别为三边上的高，DEF 称为ABC 的垂足三角形，可以证明ABC 的重心 H 是DEF 的内心（图 2） 。 实际上，由BEA=BDA=90，知 B、D、E、A 共圆，于是 CDE=BAC。同样，由 A、F、D、C 共圆，可知BDF=BAC，于是CDE=BDF。从而可知 DA 平分EDF。 同理 FC 平分DFE，EB 平分DEF 。故 H 是DEF 的内心。 如作 D 关于 AB 的对称点 D1，可知DFB=D1FBAFE，于是，D1、F、E 在一直线上。同样可知，D 关于 AC 的对称点 D2 也在直线 EF 上，即 D1、F、E、D2 四点在一条直线上。 现在，我们来看由
3、法格拉洛提出的一个问题：在ABC 的每条边上各取一点D、E、F，DEF 称为ABC 的内接三角形。试在锐角三角形 ABC 的所有内接三角形中，求周长最短的三角形。 费尔马提出了一种解法，这个解法分成三步来解： （1）设 D 是 BC 上固定点，求此时的周长最短的内接三角形。 作 D 关于 AB、AC 的对称点 D1、D2 ，连 D1D2 交 AB、AC 于 E、F，则DEF 为所求。实际上，对于ABC 的任一内接DEF ，有 DE+EF+FD=D1E+EF+FD2 D1D2=D1E+EF+FD2 =DEEF FD。 就是DEF 的周长DEF 的周长。 因此，我们只要对于每一个 BC 上的点 D
4、，都找出相应于该点的周长最短的内接三角形 DEF，在这些三角形中找出周长最短的一个就行。 （2）由于 AD1=AD，AD2=AD，故AD1D2 是等腰三角形。又由于1=2，3=4，故AD1D2 的顶角D1AD2=2BAC 为定值，因此，只有当其腰AD1 最短时，D1D2 最短。此时必有 AD 最短。从而当 AD 为ABC 的高时，内接三角形DEF 的周长最短。 （3）当 AD 为ABC 的高时，由前面三角形垂足三角形性质，可证 ABC 的内接三角形中，以其垂足三角形 DEF 的周长最短。 在平面几何中，还有一个以费尔马为名的“费尔马点”。即：在ABC 所在平面上找一点，它到三个顶点的距离之和相
5、等。 只考虑ABC 的三个内角都小于 120的情况。 以 AB、BC、CA 为边向形外作正三角形 BCD、ACE 、ABK ，作此三个三角形的外接圆。设ABK、ACE 除 A 外的交点为 F，由 A 、K、B、F 四点共圆知AFB120。同理AFC 120于是BFC=120。故BCD 边过点 F，即ABK，BCD，CAE 共点F。 由AFB=120 ，BFD=60，知 A 、F、D 在一条直线上。 在 FD 上取点 G，使 FG=FB，则FBG 为正三角形。由BG BF， BDBC，DBG CBF 60-GBC，故DBGCBF。于是 GDFC，即 AD=FA+FB+FC。 对于平面上任一点 P，以 BP 为一边作等边PBH（如图 4） ，连 HD，同样可证BHDBPC。于是 AP+PH+HD=PA+PB+PC。但 PA+PH+HDAD=FA+ FB+FC。这就是说，点 F 为所求点。这点称为ABC 的费尔马点。 如果ABC 有某一内角120，例如A120 ，则点 A 即为所求点。图 1 图 2
