1、自动化车床管理问题摘要本文研究的是自动化车床连续加工零件工序定期检查和更换刀具的最优策略。自动化车床发生故障时，要及时实施维修，如果检查周期太长，故障不能及时发现；检查周期过短，又会增加费用，因车床发生故障是随机的，所以，为了找到设备最优检查方案，我们建立了 4 个模型。针对问题一：我们建立了两个模型，模型一：我们的做法是生产 个零件m后对最后一个生产出来的零件做检查，如果检查到的零件为不合格品，则调节车床使恢复正常；如果检查到的零件为合格品，我们就更换 1 次刀具。模型二：每生产 个零件检查一次，如果检查到的零件为不合格品，则调节车床使恢复m正常；如果检查到的零件为合格品，不作改变,直到检查
2、 次,如果第 次检查n到的零件依然为合格品,我们就更换 1 次刀具。对于这两种模型，我们分别写出它们对应的目标函数，并使用 matlab 软件包，对目标函数进行求解得最终的策略为：每生产 个零件检查一次，如果检查到的零件为不合格品，则调节527车床使恢复正常；如果检查到的零件为合格品，则更换 1 次刀具。此时得到目标函数也即是生产每个合格品的最小平均费用为 2.3442 元。针对问题二：我们采用和模型一一样的想法。生产 个零件后对最后一个生m产出来的零件做检查，如果检查到的零件为不合格品，则调节车床使恢复正常；如果检查到的零件为合格品，我们就更换 1 次刀具。求得最终的策略为：生产个零件检查一
3、次，如果检查到的零件为不合格品，则调节车床使恢复正529m常；如果检查到的零件为合格品，则更换 1 次刀具。此时得到目标函数也即是生产每个合格品的最小平均费用为 5.418558 元。针对问题三：我们的做法是生产 个零件后对每个新生产出来的零件一一做m检查，如果检查到的零件为不合格品，则调节车床使恢复正常；如果检查到的零件为合格品，不作改变,直到检查 次,如果第 次检查到的零件依然为合格n品,我们就更换 1 次刀具。求得最终的策略为：生产 个零件后对新每个524生产出来的零件一一做检查，如果检查到的零件为不合格品，则调节车床使恢复正常；如果检查到的零件为合格品，不作改变,直到检查 次,如果第n
4、次检查到的零件依然为合格品,我们就更换 1 次刀具。4n关键字: 自动化车床管理 无约束最优化 定期检查 最优化 1、 问题重述1.1、问题背景一道工序用自动化车床连续加工某种零件，由于刀具损坏等原因该工序会出现故障，其中刀具损坏故障占 90%，其它故障仅占 10%。工序出现故障是完全随机的，假定在生产任一零件时出现故障的机会均相同。工作人员通过检查零件来确定工序是否出现故障。现积累有 150 次刀具故障记录，故障出现时该刀具完成的零件数如附表。现计划在刀具加工一定件数后定期更换新刀具。已知生产工序的费用参数如下：故障时产生的零件损失费用 f=300 元/件；进行检查的费用 t=20 元/次；
5、发现故障进行调节使恢复正常的平均费用 d=3000 元/ 次（包括刀具费） ；未发现故障时更换一把新刀具的费用 k=1200 元/次。附：150 次刀具故障记录（完成的零件数）548 571 578 582 599 568 568 578 582 517603 594 547 596 598 595 608 589 569 579533 591 584 570 569 560 581 590 575 572581 579 563 608 591 608 572 560 598 583567 580 542 604 562 568 609 564 574 572614 584 560 560 6
6、17 621 615 557 578 578588 571 562 573 604 629 587 577 596 572619 604 557 569 609 590 590 548 587 596569 562 578 561 581 588 609 586 571 615599 587 595 572 599 587 594 561 613 591544 591 607 595 610 608 564 536 618 590582 574 551 586 555 565 578 597 590 555612 583 619 558 566 567 580 562 563 534565 5
7、87 578 579 580 585 572 568 592 574587 563 579 597 564 585 577 580 575 6411.2、需要解决的问题（1） 假定工序故障时产出的零件均为不合格品，正常时产出的零件均为合格品，试对该工序设计效益最好的检查间隔（生产多少零件检查一次）和刀具更换策略。（2）如果该工序正常时产出的零件不全是合格品，有 1%为不合格品；而工序故障时产出的零件有 25%为合格品，75%为不合格品。工序正常而误认有故障停机产生的损失费用为 1500 元/次。对该工序设计效益最好的检查间隔和刀具更换策略。（3）在（2）的情况，可否改进检查方式获得更高的效益。
8、2、模型的假设与符号说明2.1、模型的假设假设 1：在生产任一零件时出现故障的机会均相同;假设 2：发现故障时无法区分是刀具故障还是其它故障；假设 3：每次检查时，只检查一个零件；假设 4：更换刀具或故障排除后工序恢复初始状态；假设 5：一台自动化车床只有一把刀具；假设 6：发生故障但没发现时处理费用为 k=1200 元/ 次；2.2、符号说明m生产 个零件开始检查一次n一直没发现故障，检查 次，换一次刀具。nx生产 个零件后，发生故障。x()p生产 个零件后，发生故障的概率密度s第 次检查时，发现故障sf每一件不合格产品的损失费用t检查一次所需要的费用d发生故障进行调节使之恢复正常的平均费用
9、k未发现故障更换一把新刀具的费用a工序正常时产出的零件合格品的百分比 a=99%b工序不正常时产出的零件合格品的百分比 b=25%h工序正常而误认有故障停机产生的损失费用Q总费用的期望L总合格零件的期望3、问题分析本文研究的是自动化车床连续加工零件工序定期检查间隔和刀具更换的最优化策略。由于自动化车床加工零件时，刀具损坏和其它故障都会使得该工序出现故障，工序发生故障时，不能使生产出的产品的质量得到保证，因此，工作人员可以通过检查零件来确定工序是否出现故障。此外，检查故障，排除故障以及换新刀具都会花费一定的费用，如果检查周期太长，故障不能及时发现，给生产带来损失；检查周期过短，又会增加费用。为了
10、解决这个问题，我们建立了如下最优化模型。优化问题中目标函数的选取很重要，综合考虑各种因素，我们将成本分摊到每个合格零件上，称之为每个合格零件的平均费用。3.1 问题一分析：由题目可以了解到工序故障时产出的零件均为不合格品，正常时产出的零件均为合格品，所以通过检查零件是否合格来判断工序是否故障是很准确的。当检查到不合格产品时，工序一定出现故障；检查到合格产品时，工序一定正常。根据检查策略的不同设定，我们建立了两个模型。模型一：生产 个零件，m就检查第 个零件是否合格，如果该产品合格，即工序未发生故障，那么就换m一把刀具，如果该产品不合格，即工序发生了故障，那么调节工序故障使之恢复正常。模型二：每
11、生产 个零件检查一次，如果检查到的零件为不合格品，即工序发生了故障，则调节车床使恢复正常；如果检查到的零件为合格品，即工序未发生故障，不作改变,直到检查 次,如果第 次检查到的零件依然为合n格品, 即工序未发生故障，我们就更换 1 次刀具。我们可以得到目标函数也就是每个合格产品的平均费用。求得平均费用的最小值和它检查策略和刀具更换策略即可。3.2 问题二分析： 由于工序故障时产生的零件不一定都是不合格的，工序正常时产生的零件不一定都是合格的，使得问题变得复杂。通过检查零件是否合格来判断工序是否故障是很不准确的。工作人员通过检查零件来确定工序是否出现故障，误判情况的发生会引入工序正常而误认有故障
12、停机产生的损失费用，供需故障而误认为正常的处理费用，引起故障时产生不合格零件损失费用的增加。我们采用问题一中模型一的做法：生产 个零件后，就检查第 个零件是否合格，如果mm该产品合格，就换一把刀具，如果该产品不合格，那么调节工序故障使之恢复正常。找出使目标函数每个合格产品的平均费用的检查策略和刀具更换策略和最小平均费用即可。3.3 问题三分析：我们考虑到，误判情况发生的概率比较大，我们想通过增加检查次数来减小误判次数来使成本更少，又考虑到当检查的零件数量增加到 500 后车床出现故障的概率急剧增到，之前几乎为 0。我们的做法是生产 个零件后对每个新生产m出来的零件一一做检查，如果检查到的零件为
13、不合格品，则调节车床使恢复正常；如果检查到的零件为合格品，不作改变,直到检查 次,如果第 次检查到n的零件依然为合格品,我们就更换 1 次刀具。如果最终得出的 ，则改进了1检查方式，达到了获得更高的效益的目的。4、数据分析在建立模型求解之前，我们先对累积有 150 次刀具故障的记录进行分析，从该记录我们可以得出在刀具故障出现时刀具所完成的零件数量。首先，我们使用了 matlab 软件包对 150 次刀具故障记录数据处理作频率直方图，由直方图可以看出刀具在出现故障时，该刀具所完成的零件数目在 560600 个之间非常集中，而且，整个图形 x=580 个左右近似呈现左右对称，因此，我们猜想该直方图
14、可近似拟合为正态分布图，也即是刀具故障数据近似服从正态分布，刀具故障频率直方图和正态分布拟合曲线如下图所示：520 530 540 550 560 570 580 590 600 610 620 630 64005101520253002468101214161820x 10-3a与与与与与与与与与与与与与与与与与与我们可以看出正态分布曲线拟合得很好，用 matlab 工具箱提供的 normplot 命令对整体分布进行检验可得如下图线：520 540 560 580 600 620 6400.0030.010.020.050.100.250.500.750.900.950.980.990.99
15、7与与与与与与与与与由从上图可以看出，数据基本分布在一条直线上，因此可以断定刀具发生故障时完成零件的频率近似服从正态分布。正态分布公式为： 2()1(),xfxe在基本确定刀具故障的分布后，我们可以求得该正态分布的期望 ，581.标准差 ，刀具发生故障时完成零件的频率（即生产 个零件出现刀具20.51 x故障的概率）满足的分布为： 2(581.)(),20.xfxe根 据 经 验 我 们 得 其 它 故 障 服 从 泊 松 分 布 ， 刀具损坏故障占()!xef90%，其它故障占 10%，故 ， ，发生故障的分布0.919*5230.6函数为：2()1()(!xxxxeFxded生产 个零件后
16、，发生故障的密度函数为： ,密度函数曲线如下图x )Fpx所示:从 上 图 我 们 可 以 看 出 , 的图线特别瘦高,即方差很小。基本上有()px，即生产零件少于 500 时车床出现故障的概率为 0。(50)(650)pxx那就没必要进行检查了。我们可以猜测生产 500 个零件检查一次，有故障排除故障，没故障更换 1 次刀具。故障时产生的零件损失费用为 f=300 元/ 件，这个费用是相当大的。进行检查的费用 t=20 元/次，检查费用相当小。我们应该在合适的时候增加检查次数，避免产生过多的不合格零件。5、问题一的解答5.1、模型一我们的做法是：生产 个零件后，就检查第 个零件是否合格，如果
17、mm该产品合格，就换一把刀具，如果该产品不合格，那么调节工序故障使之恢复正常。流程图如下：生产 个零件有故障，排除故障检查无故障，换刀具新轮回新轮回假设生产 个零件后，发生故障。x1、检查到的零件为合格品的概率为 。如果检查到的零件为合格品，()mpxd总费用可分为检查费用和更换刀具的费用。检查总费用为 ，更换刀具的费用t为 ，则总费用的期望为 。合格零件的期望为 。k()*(mtkx *()mpxd2、检查到的零件为不合格品的概率为 。如果检查到的零件为不合格0()pd品，总费用可分为检查费用、调节车床使恢复正常的费用和故障时产生的零件损失费用。检查总费用为 ，调节车床使恢复正常的费用为 ，
18、故障时产生t d的零件损失费用为 ，则总费用的期望为 。()*mxf0()*(mtxp合格零件的期望为： 。0()pd3、两种情况的总费用期望和为： 00*()*()*()(mmmQtkxpxdfxpd合格零件的期望为： 0*()*()mmLpxdpxd4、将费用分摊到每一个合格零件上可得每个合格零件的费用为： 00()()()(*mmtkxxfxQLpdpd所以我们建立了一个无约束最优化模型，目标函数为每个合格零件的费用最小，因此有下列表达式： inQL5.2、模型一的求解运用 matlab 软件包，对目标函数也即是对生产每个合格零件的平均费用的最小值进行求解，得到结果生产 个零件检查一次，
19、如果检查到的零件为527m合格品，则换一次刀具；如果检查到的零件为不合格品，则调节车床使其恢复正常。此时得到目标函数也即是生产每个合格品的最小平均费用为 2.3442 元。5.3、模型二我们的做法是:每生产 个零件检查一次，如果检查到的零件为不合格品，则调节车床使恢复正常；如果检查到的零件为合格品，不作改变,直到检查 次,如n果第 次检查到的零件依然为合格品,我们就更换 1 次刀具。流程图如下：n假设生产 个零件后，发生故障。第 次检查时，发现故障。x()sn1、一直到第 次，检查到的零件为合格品的概率为 。如果第 次检n *()mnpxdn查的零件为合格品，总费用可分为检查费用和更换刀具的费
20、用。检查总费用为 ，更换刀具的费用为 ，则总费用的期望为 。*t k *()()mntkpxd合格零件的期望为 。*()mnpxd2、检查第 次时,检查到的零件为不合格品的概率为 。如果检查到n *0()mnpxd的零件为不合格品。假设第 次检查时，发现故障。总费用可分为检查费s用、调节车床使恢复正常的费用和故障时产生的零件损失费用。检查总费用为 ，调节车床使恢复正常的费用为 ，故障时产生的零件损失费用*st d为 ，则总费用的期望为：()mxf*1()*(*)()smnsdstmxfpdx合格零件的期望为： 。1()*()snsmp3、两种情况的总费用期望和为： *1*()*()()(*)(
21、)smnsmnQtkpxddtsxfpdx合格零件的期望为： 1*()*()()smnmnLxx4、将费用分摊到每一个合格零件上可得每个合格零件的费用为： QL所以我们建立了一个无约束最优化模型，目标函数为每个合格零件的费用最小，因此有下列表达式： min5.4、模型二的求解运用 matlab 软件包，对目标函数也即是对生产每个合格零件的平均费用的最小值进行求解， ，也即每生产 个零件检查一次，如果检查到527,1mn527的零件为不合格品，则调节车床使恢复正常；如果检查到的零件为合格品，则更换 1 次刀具。此时得到目标函数也即是生产每个合格品的最小平均费用为2.3442 元。和模型一的结果相
22、同。5.5、结果分析 问题一，我们建立了两个模型求解的结果居然相同：生产 个零件检527m查一次，如果检查到的零件为不合格品，则调节车床使恢复正常；如果检查到的零件为合格品，则更换 1 次刀具。此时得到目标函数也即是生产每个合格品的最小平均费用为 2.3442 元。原因是 的图线特别瘦高,即方差很小。基本()px上 。即生产零件少于 500 时车床出现故障的概率为(50)(650)pxx0。那就没必要进行检查了，在车床出现故障概率增大比较快时检查 1 次判断是否出现故障，有故障排除故障。没故障更换刀具即可。6、问题二的解答6.1、模型三我们的做法是：生产 个零件后检查一次，如果检查到的零件为合
23、格品，m则更换 1 次刀具；如果检查到的零件为不合格品，则调节车床使恢复正常（包括刀具费） 。流程图如下：生产 个零件有故障，排除故障检查无故障，换刀具新轮回新轮回假设生产 个零件后，发生故障。x1、生产 个零件后车床还没有出现故障的概率为 。如果生产 个m()mpxdm零件后车床还没有出现故障，总费用可分为检查费用、更换刀具的费用、工序正常产生的不合格零件的损失费用和工序正常而误认有故障停机产生的损失费用。检查总费用为 ，更换刀具的费用为 ，不合格零件的损失费用为t k，工序正常而误认有故障停机产生的损失费用为 。则总*(1)af *1-ha（ ）费用的期望为 。合格零件的期望为(*(1()
24、*()mtkhafpxd）。*()mapxd2、生产 个零件前车床已经出现故障的概率为 。如果生产 个零件0()mpxdm前车床已经出现故障，总费用可分为检查费用、产生不合格零件的损失费用调节车床使恢复正常的费用、出现故障没检查出来的处理费用和故障时产生的零件损失费用。检查总费用为 ，调节车床使恢复正常的费用为 ，发现故t d障的概率为 ，故障时产生的零件损失费用为 ，(1)b(1)*(1)bxaf出现故障没检查出来的处理费用为 ，发生的概率为 ，则总费用的期望为:k0(*)()*(1)()(mtdmxafmpdk合格零件的期望为：。0()()xabpxd3、两种情况的总费用期望和为： 0*(
25、1()*()*(1)()*(1)(*mQtkhmf bxafpxdak）合格零件的期望为： 0*()*()*()mmLapxdaxbpdx4、将费用分摊到每一个合格零件上可得每个合格零件的费用为： QL所以我们建立了一个无约束最优化模型，目标函数为每个合格零件的费用最小，因此有下列表达式： min6.2、模型三结果运用 matlab 软件包，对目标函数也即是对生产每个合格零件的平均费用的最小值进行求解， ，解得最终策略为生产 个零件检查一次，如果检查到529的零件为不合格品，则调节车床使恢复正常；如果检查到的零件为合格品，则更换 1 次刀具。此时得到目标函数也即是生产每个合格品的最小平均费用为
26、5.418558 元。6.3、模型三结果分析因为工序出现故障，还可以产生 25%的合格品，故障发生后不合格品引起的费用减少，使得检查间隔增大。又因为工序正常时还会生产 1%的不合格品不合格品引起的费用增到，导致目标函数增加。故障时产生的零件损失费用 f=300元件，车床生产大概为 500 个零件发生故障，生产每个合格品的最小平均费用增加量大概为 1%*300=3 元。符合计算结果。7、问题三的解答7.1、模型四我们的做法：生产 个零件后对每个新生产出来的零件一一做检查，如m果检查到的零件为不合格品，则调节车床使恢复正常；如果检查到的零件为合格品，不作改变,直到检查 次,如果第 次检查到的零件依
27、然为合格品,我n们就更换 1 次刀具。具体的流程图如下：假设生产 个零件后，发生故障。第 次检查时，发现故障。xs1、生产 个零件后每个新生产出来的零件一一做检查，第 次检查前，车床mn一直没有出现故障的概率为 。如果第 次检查前，车床一直没1()mnpxd有出现故障，总费用可分为检查费用、更换刀具的费用、工序正常产生的不合格零件的损失费用和工序正常而误认有故障停机产生的损失费用。检查总费用为 ，更换刀具的费用为 ，不合格零件的损失费用为*tnk，工序正常而误认有故障停机服从二项式分布，工序(1)(maf正常而误认有故障停机产生的损失费用为 。则总费用1*-niinicha（ ）的期望为：11
28、 1(*-()()*()niini mnQtchamfkpxd （ ） ）合格零件的期望为： 11()*()mnLapxd2、在生产 个零件前，车床发生故障的概率为 。如果在生产 个零m0()m件前，车床发生故障。总费用可分为检查费用、工序故障使恢复正常的费用、工序正常产生的不合格零件的损失费用和工序正常而误认有故障停机产生的损失费用。检查总费用为 ，工序故障使恢复正常的总费用为 ，t d检查出来的，不合格零件的损失费用为 ，则()*1()*mxbxaf总费用的期望为： 20()*1()()mQtxbxafdpd合格零件的期望为： 20()*(mLxbx3、在生产 个零件后，第 次检查前，工序
29、出现障碍的概率 ，如mn 1()mnpxd果这个事件发生，假设第 次检查时，发现故障。发现故障的概率为s， 取值范围为： 。总费用可分为检查费用、1()*sb 1xmsn工序故障使恢复正常的费用、产生的不合格零件的损失费用、工序正常而误认有故障停机产生的损失费用和工序故障误认为没有故障的损失费用。检查总费用为 ，工序故障使恢复正常的总费用为 ，不合格零件的损ts d失费用为： 工序正常而误认有故()*1(1)*(xbsxaf障停机产生的损失费用 ,工序故障误认为没111niixmxmsxhc有故障的损失费用为 ，这个事件发生的概率为 。则总费用的期望为：kna1 1 131(*()*()(1)
30、*()(*()mnniixm sxsxQhcastbsmxafdbpxd 合格零件的期望为： 1 13()()()()n ssxmLs x 4、将费用分摊到每一个合格零件上可得每个合格零件的费用为： 123QL所以我们建立了一个无约束最优化模型，目标函数为每个合格零件的费用最小，因此有下列表达式： minL7.2、模型四的求解运用 matlab 软件包，对目标函数也即是对生产每个合格零件的平均费用的最小值进行求解， ，生产 个零件后对每个生产出来的零件一一做检查，524m如果检查到的零件为不合格品，则调节车床使恢复正常；如果检查到的零件为合格品，不作改变,直到检查 次,如果第 次检查到的零件依
31、然为合格品,nn我们就更换 1 次刀具。此时得到目标函数也即是生产每个合格品的最小平均费用为 4.062956 元。7.3 模型四的结果分析通过连续检查我们得到了一个更优的结果，连续检查能减少误判的概率，误判引起的费用减少，同时不合格产品也不会大量产生。最终得到了一个更优化的结果。8、模型的评价、改进及推广8.1、模型的评价优点：1、对于第一题我们建立了两个模型，得到的答案是统一的，可靠性高；2、模型应用了概率统计与微积分的知识，将离散问题连续化，模型表达很好；3、模型都是解决该问题的常用方法，有利于模型的推广；缺点：1、计算量比较大，模型过于复杂；2、由于所给数据太少以致在统计数据时不是很准
32、确。正态分布方差太小。 3、其它故障发生时车床生产的零件数量没做统计，分布情况未知，有很大的随机性。8.2、模型的改进1、查询更多的数据，包括刀具故障、其它故障发生时车床生产的零件数量。以使得统计结果更正确，也可使计算机模拟更少的数据或不模拟以减少不确定性；2、所建模型是针对当前所给数据的，对其它车床并不能很准确，收集其它车床的数据，使数据具有一般性。3、评定各因素的影响大小，忽略次要因素，简化模型。8.3、模型的推广本题所用的随机优化模型具有一般性，可以用在其它随机优化模型中。参考文献【1】魏宗书概率论与数理统计 ，北京：高等教育出版社，2001【2】 李银书， 自动车床管理的优化及仿真设计 ，太原：太原理工大学应用力学研究所【3】宋来忠，王志明数学建模与实验,北京：科学出版社,2005。附录程序已上交，附录中就不重述了
