1、- 1 -江西省横峰中学 2015 届高三第一次联考数学（理）试卷本试卷分第 I 卷（选择题）和第 II 卷（非选择题）两部分.满分 150 分，考试时间 120 分钟.第 I 卷（选择题 共 50 分）一、选择题（本大题共 10 小题，每小题 5 分，共 50 分，在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的）1 i 是虚数单位，复数 在复 平 面 内 对 应 的 点 在 第 三 象 限 ， 则 实 数 k 的 范 围 是 （ ）kizA B C D0k00k02.若集合 ，则 中元素个数为 （ ）5|,162|xx BAA .6 个 B.4 个 C . 2 个 D. 0 个3.“ ”是
2、“ ”的（ ）01x0A.充要条件 B.充分不必要条件 C.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件4.若 a、 b 是任意实数，且 ab，则下列不等式恒成立的是( )A. B. C. D.21ab0)lg(baba)31(5.根据如下样本数据： x2 3 4 5 6 7y-4.0 -2.5 0.5 1 2.0 3.0得到的回归方程为 ，则（ ）abA. , B. , C. , D. , 0a00ab0ab6.使得 的展开式中含有常数项的最小的 是（ ）*1Nnx nA.4 B.5 C.6 D.77.将 5 名大学生分配到 3 个乡镇去任职,每个乡镇至少一名,不同的分配方案种数为( )A.15
3、0 B.240 C.60 D.120 8.设函数 在 R 上可导，其导函数为 ，且函数 在 处取得极大值，则函xf xfxf1数 的图像可能是（ ）y9.在四棱锥 底面 ABCD 为梯形， ，面，面中 ， PABCADBCP ,4AD满足上述条件的四棱锥的顶点 P 的轨迹是（ ）,68PB，A圆的一部分 B线段 C抛物线的一部分 D椭圆的一部分- 2 -10.已知函数 与 图象上存在关于 轴对称的)0(212xexf )ln(2axgy点，则 的取值范围是（ ）aA. B. C. D. )1,(e),(e),1(e)1,(e第 II 卷（非选择题 共 100 分）二、填空题（本大题共 4 小题
4、，每小题 5 分，共 20 分.把答案填在题中的横线上.）11.已知随机变量 ,若 ，则 .23N3D12给出下列等式： ； ；211 22314，332453421由以上等式推出一个一般结论： 对于= .nNn 21)(21,* 13如图所示点 是抛物线 的焦点，点 、 分别在抛物线Fxy8AB及圆 的实线部分上运动，且 总是平行于xy82216轴，则 的周长的取值范围是 _.AB14已知函数 ，当 时，给出下列几个结论：xfln)(012 ； ；(2121fx 12)()(xfxf ;当 时， .)()xfl1)(2)(11 xff其中正确的是 （将所有你认为正确的序号填在横线上） 三、选
5、做题（考生只能从中选一题，两题都做的，只记前一题的分.本小题 5 分）15.（1） （不等式选做题）若不等式 对任意实数 恒成立，则实21axx数 的取值范围是 .a（2） （坐标系与参数方程选做题）在直角坐标系 xOy 中，以原点 O 为极点， x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，已知射线 与曲线 （ t 为参数）相交于 A、 B 两点，421tyx- 3 -则线段 AB 的中点的直角坐标为 .四、解答题（本大题共 6 小题，共 75 分.解答应写出必要的文字说明、证明过程和演算步骤.）16. （本小题满分 12 分）已知 ，求：72701(12)xaxax（1） ； 7（2） .01|17.（
6、本小题满分 12 分）已知函数 axef（1）设曲线 ()y在 1处的切线与直线 (1)xey垂直，求 a的值；（2）若对任意实数 恒成立，求实数 a的取值范围.0,xf18. （本小题满分 12 分） 如图 1,在直角梯形 中, , , , 为线ABCD90/CDAB4,2CDM段 的中点.将 沿 折起,使平面 平面 ,得到几何体 ,如AB图所示.(1) 求证: 平面 ；(2) 求二面角 的ACDM余弦值.19 （本小题满分 12 分）某校举行中学生“日常生活小常识”知识比赛,比赛分为初赛和复赛两部分，初赛采用选手从备选题中选一题答一题的方式进行；每位选手最多有 5 次答题机会，选手累计答对
7、3 题或答错 3 题即终止比赛，答对 3 题者直接进入复赛，答错 3 题者则被淘汰.已知选手A BCDMBACDM.- 4 -甲答对每个题的概率均为 ，且相互间没有影响.23（1）求选手甲进入复赛的概率；（2）设选手甲在初赛中答题的个数为 ，试求 的分布列和数学期望.X20. （本小题满分 13 分）已知椭圆的中心在原点，焦点在 x 轴上，长轴长是短轴长的 2 倍,且经过点 ,平行12M于 OM 的直线 l 在 y 轴上的截距为 m（ ） ， l 交椭圆于 A、 B 两个不同点.0（1）求椭圆的方程；（2）求证直线 MA、 MB 与 x 轴始终围成一个等腰三角形. 21. （本小题满分 14
8、分）已知函数 )0(3ln)( aRaxxf 且 （1）求函数 的单调区间；（2）若函数 )(xfy的图像在点 )2(,f处的切线的倾斜角为 45，问： m在什么范围取值时对于任意的 ,1t，函数 )(23xfmxg在区间 )3,(t上总存在极值；（3）当 2a时，设函数 )2(xepxh，若在区间 e,1上至少存在一个 0x，使得 )(00fxh成立，试求实数 的取值范围y- 5 -2015 届高三年级第一次联考数学（理）参考答案一、选择题1-5: B B B D C 6-10: B A D A B二、填空题11. 16 12 13n218,12【解析】易知圆 的圆心坐标为 ，则圆心为抛物线
9、 的焦26xy,028yx点，圆 与抛物线 在第一象限交于点 ，228x,4C作抛物线 的准线 ，过点 作 垂直于直线 ，垂足为点 ，由8yxAD2xD抛物线的定义可知，则 ，当点 位于圆 与 轴AFDAFBB216yx的交点 时， 取最大值 ，由于点 在实线上运动，因此当点 与点 重合时，6,08BC取最小值为 ，此时 与 重合，由于 、 、 构成三角形，因此 ，B4FA48D所以 ，因此 的周长的取值范围是 .812FDB8,1211()2()()xfxffx1()2()fxffx，又因为 f（x）在（ ，+）递增，所以 时，lnl01e即 ，所以 时， ，故 为增函数，所以1()fx1l
10、nx1()0x()x，所以 ，故正确.2221()()xfff1三、选做题CDy xOBAF- 6 -15.（1） ；（2）4,5，17. 【解析】解：（1） ()xfea， 因此 ()yfx在 1,()f处的切线 l的斜率为 ea，又直线 1xy的斜率为 1e， （ a） e1， a1. 6 分（2）当 0 时， ()xfa0恒成立，则xe恒成立， 设 h e，则 ()hx 21)xe， 8 分当 x(0,1)时， ()x0， ()在(0,1)上单调递增，当 (1,)时， h0， x在(1,)上单调递减， 10 分故当 x1 时， ()x取得极大值， ma()(1)he， - 7 -xA B
11、CDM yzO 实数 a的取值范围为 ,e 12 分18. 【解析】（1）由已知可得 ,从而 ,故 32ACB22ACBACB分面 面 ,面 面 , 面 ,从而 平面 DEDEA6 分（2）建立空间直角坐标系 如图所示,则 ,Oxyz(0,2)M,(0)C(,2), M(,0)CD设 为面 的法向量,1(,)nxyz则 即 ,解得1020xyzyxz令 ,可得 9 分x1(,)n又 为面 的一个法向量 10 分2(0)ACD 12123cos,|n二面角 的余弦值为 . 12 分AM19. 【解析】(1）设选手甲答对每个题的概率为 ，则 ，设“选手甲进入复赛”为事件 ，则选p23A手甲答了 3
12、 题都对进入复赛概率为： ； 38()7C2 分或选手甲答了 4 个题，前 3 个 2 对 1 错，第 4 次对进入复赛， 2318()7C4 分或选手甲答了 5 个题，前 4 个 2 对 2 错，第 5 次对进入复赛2246()381选手甲进入复赛的概率 8164()78PA6 分(2) 的可能取值为 3,4,5，对应 的每个取值，选手甲被淘汰或进入复赛的概率XX- 8 -3321(X)()PC2330479 分2224318(5)()()的分布列为：XX 3 4 5P 1102782710 分 EX12 分20. 【解析】解：（1）设椭圆方程为 )0(12bayx则 81422ba解 得4
13、 分椭圆方程为 82yx6 分（2）设直线 MA、 MB 的斜率分别为 ，只需证明 即可 721,k021k分设 直线 则21,yxBAmxyl: 1,21xyxy联立方程 得 842yxm04229 分11 分4,2121 而 21122121 xyyxyk- 9 -)2()1(442)(2)2(1()12(1112xmmxxx所以0212 021k故直线 MA、 MB 与 x 轴始终围成一个等腰三角形. 13 分21. 【解析】解：（1）由 af)1()知：当 0a时，函数 x的单调增区间是 )1,0(，单调减区间是 ),1(；当 时，函数 )(f的单调增区间是 ，单调减区间是 0； 4
14、分（2）由 12af2, 3xlnx， fx. 6 分故 3232()()()mmgf， 24xx, 函数 )(g在区间 )3(t上总存在极值， 0x有两个不等实根且至少有一个在区间 )3,(t内 7 分又函数 )(g是开口向上的二次函数，且 02g， 0)3(gt8 分由 4320)( tmt， )(tH432t在 ,1上单调递减，所以9)1inH； ，由 023)(7) mg，解得 37；综上得： 7.3 所以当 在 9,3(内取值时，对于任意的 ,1t，函数- 10 -)(2)(3xfmxg在区间 )3,(t上总存在极值。 9 分（3） .2ln)(,fa令 ()()Fxhfx，则()Fx3l3pex2lnpe.0p时，由 ,1得 0l,0xe，从而 ()0Fx,所以，在 e,上不存在 0使得 )(fh； 11 分 时，2()pxeF, 1,2xex，2,px在 1,上恒成立，故 ()F在 ,上单调递增。ma()4.ep13 分故只要 0,，解得 2.1e综上所述， p的取值范围是 24,1e 14 分
