1、矩阵的预条件对角占优性H王佳佳 指导教师: 王学忠（河西学院数学与统计学院 甘肃张掖 734000）摘 要 文7中作者研究了如何建立适当的预条件矩阵, 把一个非对角占优的 矩阵转H化为对角占优矩阵, 在文7的基础上，我们进一步讨论了对角占优性与参数的关系，得到了对角占优性最强时的参数取值，为应用提供了理论依据。关键词 迭代法; 矩阵; 预条件矩阵; 对角占优性H中图分类号 O151.26Preconditioned Diagonally Dominant Properties of H-matrixLi Xiaomei Instructor: Wang Xuezhong(School of M
2、athematics and Statistics, Hexi University, Zhangye, Gansu, 734000)Abstract In 7, Li and Wang studied how to establish appropriate preconditioned matrices for transforming a H-matrix which is non-diagonally dominant matrix into the diagonally dominant matrix. In this paper, we discuss the relation b
3、etween the diagonally dominant properties and parameters based on the conclusion of 7 and obtain the parameters on best diagonally dominant properties. Keywords Iterative method; H-matrix; Preconditions matrix; Diagonally dominant properties1 引言对于给定的线性方程组, (1)bAx其中 和 已知, 未知. 当用迭代法求解时迭代格式为nRAnbnxR,21
4、,)1()(kcGkk其中 称为迭代矩阵, 称为初值 1. 我们用到的经典迭代法有 Jacobi 迭nG(0)nx代法 1, Gauss-Seidel 迭代法 1, SOR( )迭代法 1, 它们的迭代格式分别为,21(1(1)( kbDxCDkULk,)()( LIIx,)(1( 1)1() 为 实 数 kxLIxkk1而且当系数矩阵 为严格对角占优矩阵时, 这三种迭代法都收敛 2, 当系数矩阵的对角A占优性越强时, 迭代法的收敛速度越快. 但是, 在实际问题中我们所遇到的系数矩阵不一定严格对角占优, 因此, 对原方程组进行预条件等价变形, 把非对角占优矩阵转A化为对角占优矩阵便显得十分重要
5、. 例如, 我们可以找两个非奇异矩阵 和 使得PQ严格对角占优, 这样便把解 的问题转化为解其同解问题PQbAx, (2)PQy和.x因此, 找到好的 和 便成为问题的关键, 其中 和 称为预条件矩阵 5. 对 和PPQP的选取方式有很多种, 现在已有许多形式上比较简单的预条件稀疏矩阵, 具体形式可Q参考文献5，7. 本文在文7的基础上主要考虑 与 的对角占优性之间的关系，找到了 比AQAQ的对角占优性最强时的参数取值，为应用提供了理论依据.A2 预备知识定义 13 设 , 若 可以表示为 , 其中 , 则当nijRaA)(ABsI0时, 称 为非奇异的 矩阵, 简称 矩阵.)(BsM定义 2
6、4 设 , 令 , , 则称矩阵nijC)( ),(21nadiagDADC为 的比较矩阵, 记作 , 即|CDAA,| |21221121nnn naa 其中 , 表示以 和 中元素的模为元素的矩阵. 若 是非奇异的 矩阵, |D|CDAM则称 为非奇异的 矩阵, 简称 矩阵.AH定义 33 设 , 若 满足nija)(A,|,12iijjan且至少有一个 使上述不等式严格成立 , 则称 为弱严格对角占优矩阵; 如果上述 个i n不等式都严格成立, 则称 为严格对角占优矩阵.2定义 43 设 , 若存在正对角矩阵 , 使得 为行（列）严格nijCaA)( Q)(A对角占优矩阵, 则称 为行（
7、列）广义对角占优矩阵.引理 14 是 矩阵的充要条件是存在 使 , 其中 .H0rrTnrr),(21引理 25 是对角元全为 1的 矩阵, 若 , 则成立不等式A)(1ijmA.nimnjij ,2,1引理 35 是 矩阵的充要条件是存在正对角矩阵 , 使得 为行（列）AHQ)(A严格对角占优矩阵.3 主要结论及证明若 是对角元全为 1的 矩阵, 我们考虑文7中提到的如下预条件矩阵和 ,nRPnQ, 00010)( 21 nt sraaaSI ,),(21nqdiagQ其中 是参数.),(21n定理 1 若 是对角元全为 1的 矩阵，假设存在一个正的向量 AH 12(,)Tnrr使得 让0(
8、),.ir，()2|()imimiarcarA那么 .1c证明 由 知， 0()2,1,iArn()2|()2|()|1.imimim iiararcarA定理 2 是对角元全为 1的 矩阵, 假设存在一个正向量 , 使HTnr),(2得 , 如果满足条件 , 那么, 是 矩阵, 并且0(),2iArn 0icAPH是严格对角占优矩阵, 其中 是常数.QP n2证明 让 , 取 , 则,ijimjijairst Tnr)(21rP)( ,|1| |iiimi ijimjjiaraa3，, ,|1|iimiimijimjjijirararrar（1）当 时，1iiAP)( , ,| | |iii
9、imijimjji jiar|(|)iijimjj jirarrar()iiA,0（2）当 时，1icrAP)( , ,| | |iimiimimijimjji jiararrar|2(|2)iijii jj ji()iimimrarrA.0因此, 是 矩阵, 并且 是严格对角占优矩阵.APHAQP从上面的证明我们可以看出, 定理 1的结论很好 , 但在具体的应用过程中, 我们很难确定 和 的数值, 从而给解题带来不便, 因此可考虑对 和 取特殊值来避免此不rQrQ便. 现对 和 取特殊值为,TeAr)1,(,01,rdiagQ可得下面的定理.推论 1 是对角元全为 1的 矩阵, 让 和AHT
10、eAr)1,(,01，如果)(rdiagQ, 12|(),12,imiiarnmrst 那么, 是 矩阵, 并且 是严格对角占优矩阵, 其中 是常数.APHAQP n,21定理 3 是对角元全为 1的 矩阵, 让 和HTeAr)1,(0，如果)(rdiagQ4,2(1)=+,12,mirinmrst 那么 是比 对角占优性更强的矩阵.AQP证明 显然 ，只需表明 即可，1+2mr()()1,2,iiPArn（1）当 时，iirAP)( , ,| | |imiimimijimjji jiararrar|(|)iiji jj ji1ima,（2）当 时，2(1)miriAP , ,| | |imi
11、imi ijimjjimjiararrar|2(|2)iijii jj jir11imimar.参 考 文 献1刑志栋, 曹建荣. 矩阵数值分析M, 第 2 版. 西安: 陕西科学技术出版社, 2005.9.2张凯院, 徐仲. 数值代数M, 第 2 版. 北京: 科学出版社 , 2006.8.3陈公宁. 矩阵理论与应用M, 第 2 版. 北京: 科学出版社 , 2007.8.4黄廷祝, 杨传胜. 特殊矩阵分析及应用M. 北京: 科学出版社 , 2007.8.5王学忠. 矩阵方程组的预条件迭代法和预条件对角占优性D. 电子科技大学硕士学位论文, H2007.6王学忠, 黄廷祝, 李良. 矩阵方程组的预条件迭代法 J. 计算数学, 29(2007): 89-96.7李晓梅，王学忠. 矩阵方程组的预条件对角占有性 D. 河西学院毕业论文论文, 2011.
