1、1第 27 讲 三角法与向量法解平面几何题相关知识在 中,R 为外接圆半径 , 为内切圆半径, ,则ABCr2abcp1,正弦定理: ,2sinisinabcRBC2,余弦定理: , , .22oA2cosbaB22cosabC3,射影定理: , , .ccsAsA4,面积: 21sinini4aShbrpCR= =(i)rRBC()()abpc.222cottcot4AA 类例 题例 1在 ABC 中，已知 b=asinC ,c=asin(900-B)，试判断 ABC 的形状。分析 条件中有边、角关系, 应利用正、余弦定理, 把条件统一转化为边或者是角的关系, 从而判定三角形的形状。解 由条
2、件 c = asin(900 - B) = acosB = cbacba2222cba是 直 角A. 1sinsiAC是 直 角 Cacasinsin ABC 是等腰直角三角形。abcb例 2 （1）在ABC 中，已知 cosA = ，sinB = ，则 cosC 的值为（ ）35A B C D 65661或 651解 C = (A + B),cosC = cos(A + B),又A(0, ), sinA = ,而 sinB =32显然 sinA sinB ,A B , A 为锐角, B 必为锐角, cosB = 4cosC = cos(A + B) = sinAsinB cosAcosB =
3、 .选 A.65151说明 ABC 中,sinA sinB A B . 根据这一充要条件可判定 B 必为锐角。（2）在 RtABC 中，C90 ，A，外接圆半径为 R ，内切圆半径为 r ，2当 为 时， 的值最小。Rr解答 由题意，R ，r （其中 a、b、c 为 RtABC 的三条边长，c 为斜边长）2cabc rab1sino12sin()4 sin（ ）1， 14Rr当且仅当 时， 的最小值为 1。2例 3 在ABC 中， ，求证：B、A、C 成等差数列。tantAcb分析 由于条件等式是关于三角形的边、角关系，而要证的结论只有角的关系，故应运用正弦定理将边转化为角。而 B、A、C 成
4、等差数列的充要条件是 A60,故应证 A60。证明 由条件得 sin（AB）sinC ，sin()sinsin（AB）sinCsinB，sinBsin（AB）sin （ AB）2cosAsinB sinB0，cosA ，A 60B、A、C 成等差数列。 12例 4 ABC 中，三个内角 A、B、C 的对边分别为 ，若 cba、 22abac，求角 C 的大小。:(31):ac且解 由 =cosB，故 B= ，AC= .21222 acacb可 得 60120由正弦定理有： ，3sinCA3sinsin,又 sinA=sin( -C)= ，于是120 Ci21cosCi21co31sin,sin
5、C=cosC， tanC=1, C= 。45AC= , 要求 C 需消去 A。12031sinsin,2说明 解本题时首先要运用正弦定理将边的关系转化为角的关系，从而得关于 A、C 的两个方程3链接1利用正弦定理，可以解决以下两类有关三角形的问题：（1）己知两角和任一边，求其它两边和一角；（2）己知两边和其中一边的对角，求另一边的对角(从而进一步求出其它的边和角) 。己知两边和其中一边的对角解三角形，有一解或两解。2利用余弦定理，可以解决以下两类有关三角形的问题：（1）己知三边，求三个角；（2）己知两边和它们的夹角，求第三边和其它两个角。3解斜三角形：要明确三角形的六个元素(三条边、三个内角)
6、 中己知什么，求什么。再运用三角形内角和定理、正弦定理与余弦定理解题。4研究三角形的边角关系和判断三角形的形状：运用三角形内角和、正弦定理与余弦定理及三角变换公式，灵活进行边角转换。三角形中的边角关系式和三角形形状的判断证明，都可归入条件恒等式证明一类，常用到互补、互余角的三角函数关系。情景再现1 ABC 的三个内角 A、B 、C 的对边分别是 a、b、c，如果 a2=b（b+c） ，求证：A=2B.2 ABC中，内角 A、B、C 的对边分别为 a、b、c，已知 a、b、c 成等比数列，且3cos4（1）求 的值cto（2）设 ，求 的值32BACac3 已知 A、B 、C 是ABC 的三个内
7、角，y=cot A+ .）（ CBcosin2（1） 若任意交换两个角的位置，y 的值是否变化?试证明你的结论.（2）求 y 的最小值.B 类例 题例 5 如图，某园林单位准备绿化一块直径为 BC 的半圆形空地，ABC 外的地方种草，ABC 的内接正方形PQRS 为一水池，其余的地方种花.若BC=a，ABC= ，设ABC 的面积为 S1，正方形的面积为 S2（）用 a， 表示 S1和 S2；（）当 a 固定， 变化时，求 取最小值时的角 。214解（1） 2211sin,cossincosin4ACaBSaa设正方形边长为 ，则xt,tttQxRCxx2sicsicotan1nonx222si
8、i4ssaS（2）当 固定， 变化时，a124in24iS令 ，用导12sin,tt则 10,1.tftt令数知识可以证明：函数 在 是减函数，于是当 时， 取最小值，此ftt,1t12S时 。4说明 三角函数有着广泛的应用，本题就是一个典型的范例。通过引入角度，将图形的语言转化为三角的符号语言，再将其转化为我们熟知的函数 。三角函数的应用性问ttf1题是历年高考命题的一个冷点，但在复习中应引起足够的关注。例 6 如图，A、B 是一矩 OEFG 边界上不同的两点，且AOB=45,OE=1,EF= ，3设AOE=.（1）写出AOB 的面积关于 的函数关系式 f(); （2）写出函数 f(x)的取
9、值范围。解：（1）OE=1，EF= 3EOF=60当 0，15时，AOB 的两顶点 A、B 在 E、F 上，且 AE=tan,BE=tan(45+ )f()=S AOB = tan(45+)tan21= =)45cos(in2)45cos(2当 a（15,45 时，A 点在 EF 上，B 点在 FG 上，且 OA= ，OB=cos1)45cos(3 =SAOB = OAOBsin45= sin45=f21cos21)45(3o52)4cos(26综上得：f()= 4,12(2)4cos(26,0)s( （2）由（1）得：当 0， 时1f()= , 12)4cos( 3且当 =0 时，f( )
10、min= ；= 时，f( ) max= 1；1当 时, 2 ，f（）= ,412(42)4cos(26 633且当 = 时，f( ) min= ；当 = 时，f( ) max=863423所以 f(x) , 。21说明 三角函数与其他数学知识有着紧密的关系，它几乎渗透了数学的每一个分支。注意三角函数的综合应用。例 7 海中相距 2海里的 A、B 两岛，分别到海岸线 （直线）的距离 的海里和l 2AC海里，现要在海岸线上建立一个观测站 P，使 APB最大，求点 P的位置，且BD 求 APB的最大值。解 如图，过 P 作 的垂线 PQ 交 于 ， ，设lQ,AClBDlQBA、，且 ，在直角梯形,
11、AQAB,ABDC 中， （过 A 作 于2,2,CD）,B在 中求出 ，设 （ ）KRACPt02222tan,tantt() 014()4tttt6有最大值时， 也有最大值。(0,)tan()2令 22,(1)4204tyytty0,t，即2,(1)(2)0yy214610y24,、07a 时，等号成立，m42故当 m=14a 为海里时，补给最合适。6 证 设四边形 ABCD 的外接圆半径为 R，两条对角线的夹角为 ，由面积公式得SABD ABADsinBAD 12SBCD BCCDsinBCD以上两式相加，并注意到 BCCD，sin BADsinBCD可得 SABCD （AB ADBC
12、2）sinBCD 12OABCZ16另一方面 SABCD ACBDsin ACsin2 Rsin BCD1212注意到 ABDBAC ABDBDCABDDBCABC，2Rsin2RsinABCAC于是得 SABCD AC2sinBCD 1由、得 AC2AB ADBC 27 证明简介：在ABD 和ABC 中，由余弦定理，得第八讲答案1 .B 2.C 3.A 4. 11.34.解：(1) acosA bcosB ABacos,cossin2ABR即 sinAcosAsin BcosBsin2 Asin2 B 2 A2 B或 2A 2 B A B或 A B 2 ABC是等腰三角形或直角三角形 奎 屯
13、王 新 敞新 疆(2)sin 2Asin 2Bsin 2C a2 b2 c2,)()(RcbRa故 ABC是直角三角形，且 C9O， cos B ，代入 c2 acosB 得 cosB B45， A45 2综上， ABC是等腰直角三角形 奎 屯王 新 敞新 疆5.解：由正弦定理得 sin2Asin B（sin Bsin C） sin 2Asin 2Bsin BsinC， （sin Asin B） （sin Asin B）sin BsinC， sin（ A B）sin（ A B）sin BsinCsin（ A B）sin C， sin（ A B）sin B， A B B， A2 B，或 A B
14、B(舍去) 故 A与 B的关系是 A2 B 奎 屯王 新 敞新 疆176.证明：由余弦定理，知a2 b2 c22 abcosC， a 2 b2 c22 cacosB， .tanosinos2 CBa7.解：由得 2a23 b23 c2 cos Acos（ B C） 由得 3cos（ B C）3cos（ B C）1cos2 A2sin 2A3sin 2B3sin 2C 奎 屯王 新 敞新 疆cos（ B C）cos（ B C）sin 2Bsin 2C， 2sinBsinCsin 2Bsin 2C即（sin Bsin C） 2O， sin Bsin C， 2 RsinB2 RsinC， b c代入
15、得 a b 奎 屯王 新 敞新 疆3 a b c b b b 11 奎 屯王 新 敞新 疆 338.解法一 头htp:/w.xjkygcom126t126.hp:/wxjkygco 由题设条件知 B=60，A +C=120 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j 设 = ，则 A C=2 ，可得 A=60+ ，C=60 ，1coscos(60)cos(60)所 以 1313sinsin22222coscos,133in44依题设条件有 ,cos4cos2B.23s,1cs2B整理得 4 cos2 +2cos 3 =0(M)(2cos )(2 cos +3)=0，2 cos +30，2
16、cos =0 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j 从而得 cos 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j CA解法二 头htp:/w.xjkygcom126t126.hp:/wxjkygco 由题设条件知 B=60，A +C=120，cs,0s把式化为 cosA+cosC=2 cosAcosC ，利用和差化积及积化和差公式，式可化为18， )cos()cos(2cos2 CACA将 cos =cos60= ，cos(A+C)= 代入式得 头htp:/w.xjkygcom126t126.hp:/wxjkygco 121)cos(2cos将 cos(A C)=2cos2(
17、)1 代入 头htp:/w.xjkygcom126t126.hp:/wxjkygco 4 cos2( )+2cos 3 =0，(*)，CAcos)(2cs)0,20,o22:cos.AC从 而 得9 解：因为 2b=a+c，由正弦定理得10 解：由已知条件得baBRAR2sinsiin222即有 ，bac又 osC 4c BARabCS sin42sin21BARcoco co219所以当 A = B 时， 2max1RS11 解：（I） 成等比数列 bc， ， bac2又 ac22在 中，由余弦定理得ABCosabc221A60（II）在 中，由正弦定理得 siniBba， 。bacA260
18、， csiin2603212 解 头htp:/w.xjkygcom126t126.hp:/wxjkygco R=rcos ，由此得 头htp:/w.xjkygcom126t126.hp:/wxjkygco ，20,sRr222sini(inco)I 2232()si(1si)(si)()323,n,tan9k kIRRhR由 此 得 等 号 在 时 成 立 此 时13 解 头htp:/w.xjkygcom126t126.hp:/wxjkygco 按题意，设折叠后 A 点落在边 BC 上改称 P 点，显然 A、P 两点关于折线 DE 对称，又设BAP = ，DPA= ，BDP=2 ，再设 AB=
19、a，AD=x ，DP =x 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j 在ABC 中，APB=180 ABPBAP=120 ，由正弦定理知 头htp:/w.xjkygcom126t126.hp:/wxjkygco 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j BP=APBsinsi)120sin(a在PBD 中，, 60sin2)si(,0si,sinsi xBDP从 而所 以.3)26in()120i(6aax0 60，6060+2 180，当 60+2 =90，即 =15时，sin(60+2 )=1，此时 x 取得最小值 a，即 AD 最小，)32(3aADDB =2 3 头ht
20、p:/w.xjkygcom126t:/.j hRr2014 解（1）在 与 中， AAOBRtCt,60,30求得 （千米） （千米） ， 东3EBCO由余弦定理得 ，于是船速 （千米/小时） 。31BC92v（2）在 中，由余弦定理得 O6135cosOBC于是 ， 2639sinsi BE13)0(80inEBO在 中，由正弦定理得 （千米） ，B23siEO（千米） 于是从 到 所需时间 （时）639sinEOB12vt分5再经过 分到达海岛的正西方向，此时 点离海岛 千米。5.115 （）证明： ,)sin(,53)si(AB.2tan51sinco,2.51sincosin, BAA
21、所以 .ta2tB（）解： ，,43)ta(,3)si( ABA即 ，将 代入上式并整理得43tan1tAtan2t.01tan4t2B解得 ，舍去负值得 ，6tan26tan21设 AB 边上的高为 CD62tantBA则 AB=AD+DB= .3tatCD由 AB=3，得 CD=2+ . 所以 AB 边上的高等于 2+ .66162cossin2cos2sinisinisn2s)(21i1 ,cossin42sini2)(1si2nco2sinicos2in1si212sinsin/,CBCBARACBRr abrabrSAbcCBACBCBKABAISIABKCCBIABCRcOKDICKOABAI bacaaaKI 则 ：上 的 旁 切 圆 半 径 为的 边又 设 可 得 ：、由又 ，的 半 径 ， 记 为是 圆则 点 ，于的 外 接 圆的 延 长 线 交设 ，证 明 ： 如 图 ， 记边 上 旁 切 圆 的 半 径的 外 接 圆 半 径 等 于即 R4i
