1、 西北大学学报(自然科学网络版) 2004 年 11 月，第 2 卷，第 11 期Science Journal of Northwest University Online Nov. 2004，Vol.2，No. 11_收稿日期：2004-06-24基金项目：国家自然科学基金资助项目（10071048） ；陕西省教育厅自然科学专项基金资助项目（02JK186）审 稿 人：吴建华，男，陕西师范大学数学系教授，博士两种群相互作用系统正解的存在性查淑玲 1，李艳玲 2(1.渭南师范学院 数学系，陕西 西安 714000; 2.陕西师范大学 数科院，陕西 西安 710062)摘 要：利用极值原理及上
2、下解方法,对两种群的含扩散项且具有指数衰减的反应扩散方程组以及与年龄有关的两种群相互作用系统进行了研究， 证明了其正解的存在性。关 键 词：最大值原理；上下解；拟增或拟减中图分类号：O175.2 文献标识码：A 文章编号： 1000-274X(2004)0106-5对于单种群生物动力学系统中的反应扩散方程组，文献15 已做了大量的研究工作。同时，对含扩散项的生物模型的研究也逐渐得到重视，对两种群含扩散项的反应扩散方程组，文献6也给出了其正解的存在性，但对两种群的含扩散项且具有指数衰减的反应扩散方程组的研究，除文献7外为数不多。所以，本文利用极值原理及上下解方法，研究与年龄有关的两种群生物相互作
3、用的系统正解的存在性。下面是两种群相互竟争的生物模型 (1) 0)()0,( )()( exp 2211 222 111 2122222 11111xuunBx ducbaut式(1)中，设 是 R n(n1)中的有界区域，且边界 充分光滑,n 为 的外法向， 为第 i 种群在 t 时 iu刻的种群数量， 均为正常数, 为第 i 种群的死亡函数， 反应了两种群间的相iidcbiidub)(jicj互作用, ,但在 上 , 具有环境因子的意义， 为生育参数。下面0)(,)(x 0)(xiai对式(1)进行讨论。为了叙述方便，对系统(2)由文献8有引理 (2) )()0,(,)u,21xutgBt
4、FLii iii2引理 1 假设 分别是系统(2)的上下解,且 , 是拟增或拟减,则式(2) 存),(,2121u )(),(2121u21F在惟一解 满足 。)(u),()(2121u其中 njjinkj kjiji xbxaL1)(1, 2)(设 是特征值问题： 的最小特征值， 为对应的特征函数,由此可知 ，00,Bu)(x0具有正的最小值 ,设 (x)为归范化的，则在 上具有的最大值为)(x)(min。不妨将式(1)中右端的项记为1|)(aM exp),( 21222212 111 ducbuautxF 定理 1 当 时，式（1）存在惟一的一组解 ，满足 ，iid0 ),1（ )()(0
5、11xtpx,)(02,tu， ，其中 ， 是满足以下条件的常数xpRtptii )d-(0)exi0i()ipmiixu)(0。型 稳 定 的） 的 平 衡 解 是 指 数 衰 减由 此 可 得 式 （ 1证 明 设 为待定的正函数，由于)()()( 21212 txtuxt ， ， ， 是拟减的,由上下解的定义它们必须满足21F (3) 0exp0exp2122222 121111 ducbuaut ducbuaut将 代入有)(0 12pu， exp 12111 ducbuaut )()(exp)()( 11 dxpbax 21101 d)()() bp， 有时当 i0id 0)( 11
6、0121101 pdpxp3取 满足 即可，解此常微分方程有)(1tp0)( 1101pd tdpt )-(0)ex1011同理，可证得 ，再由初边值条件得 。由上述过程可知tt )d-ex()222 miiu/是式(1)的上下解,由引理知定理得证。()u (121， ， ，定理2 当 ，且 时，式（1）2020d mcxbxu1020110 d-)( d)( ，存在惟一解（u 1, u2）, 满足 ，其中,(,)( 22111 tpttxr ，p 2(t)与定理1中的相同，但 。10i1-abcdr 102-)cd，证 明 设 为待定正常数，p 2(t)待定正函数，由上下1212 ,(,d,
7、0)( rxtubuxr 解的定义，它们需满足式（3） ，可解得 同样依定理1取，又当)(,0-210i tacr时，p 2(t)是单调减函数， 时式（3）成立。02d 102-()cdp再根据初始条件，只要 时，则 ，mcdubxu1020110 -(x) ， ),(21u是式（1）的上下解，由引理1知定理得证。),(2u定理 3 当 且 ，则存在正数A和B，使得当,0iid )()-(2202101 abdcdm时，式（1）存在惟一解 ，满足)()( 02-22m10 AacxAx， ),(21u， 其中,tu 22)/-(),( ep-txutBt， ，且)( 22 DpCDCp 20,
8、abDcd。0证 明 设 ,这里假定 为减函数,22121 )()()( uxtuxtpu， ， ， )(1tp为增函数,由上下解的定义它们必须满足)(2tp )()()(ep)( )( 121111101 dxcpbax x)( 222222 xxp上式只要取 1101 )( cdm 0)a(0 2222 pbp记 A= , B= ,)(1p-() 1104C= , D=0()1202pcd 2ab由上解得 ， ex-(t)1BtAp )0(expe12DCtt-Ct 显然 为减函数,而当 时 为增函数,符合假设,又由于B0, C0, ,这就1t()2)(2p Dp()2要求(4) (0)(
9、0)2102210 abpcdcdm只要 ， ,一定可选取 ,使得202m10abc 0()121m10ab()pccdd成立，选定 后,也一定可选取 使式（4）成立。()1p()2p再根据初值必须要求 。最后,当 时, 220210 )(), bdupDCumDCp(0)2总成立, 所以DCt)(2 2222)()(btxtp 故 ，由引理知结论成立。,(),(121u定理 4 若 且 ，则式（1）idbc- 0i2 )-(),-(2022101 dbcdbc存在惟一解 ，满足),(1u 111220 -)()-( bx,tuabc222102 , dtbd证 明 只要取 , 为常数，按定理
10、2111 )()()( )( buuxruxr ， ， ， 1r中的条件即可证得结论成立。参考文献：1 CURTIN M E, MACCAMY R C. Nonlinear age-dependent population dynamicsJ. Arch Rat Mech Anal, 1994,54: 281-3002 宋 健. 人口系统的稳定性理论和临界妇女生育率J. 自动化学报, 1981, 7(1): 1-12.3 PAO C V. Periodic solutions of parabolic systems with nonlinear boundary conditions J.
11、J Math Anal Appl, 1999, 234: 695-716. 54 BLAT J, BROWN K J. Bifurcation of steady-state solutions in predator-prey and competition systemsJ. Proc Roy Soc Edinburgh, 1984, 97A: 21-34.5 DANSER E N. On the spectrum of some linear noncooperation elliptic systems with radial symmetryJ. Differential and I
12、ntegral Equations, 1995, 8(3): 515-523.6 李艳玲, 马逸尘. 具有饱和项的互惠模型正解的存在性 J. 西安交通大学学报, 2003, 37(6): 650-656.7 张为付, 吕荣庆. 两种生物相互作用的反应扩散模型及解的讨论 J. 应用数学和力学, 1994, 15(2): 129-138.8 叶其孝. 反应扩散方程引论M. 北京：科学出版社， 1990. （编辑 曹大刚）The existence of positive solutions of the system of two interaction species ZHA Shu-ling
13、, LI Yan-ling12(1.Department of Mathematics, Weinan Teacher College , Weinan 714000,China; 2.Department of Mathematics, Shaanxi Normal University, Xian 710062,China )Abstract: For two groups which have equations of acting pervasion with pervasive items and index attenuation, by means of the maximum
14、principle and upper-lower solutions, the existence of positive solutions for the two interaction species connecting the age is considered.Keywords: maximump principles; lower-upper solutions; quasimonotone nondecreasing or quasimonotone no-ncreasing作 者 简 介查淑玲，女，陕西潼关人，生于 1965 年 12 月。 1988 年毕业于陕西师范大学数
15、学系,1996 年 7 月，西北大学 计算机系研究生课程班结业 。现为渭南师范学院数学系讲师，应用数学研究室成 员。主 讲高等数学、线性代数、概率与数理统计等课程。近年来，在多种学术 期刊上发表科研论文 20 余篇。微分方程的应用方面主要有：二阶线性矩阵微分系统振动的区间准则、单 种群体发生传染病的生物总数，常系数线性离散系 统基本解组的结构。教学方面所发表的论文有：特定 n 项和式的数列极限、 三重积（A B）C 的相关等式 、正劈锥体与锥体、从质量守恒看高斯定理等。本文引用格式为： 查淑玲，李艳玲. 两种群相互作用系统正解的存在性 J. 西北大学学报（自然科学网络版） ，2004，2（11）：0106.
