1、1不变子群的判别条件高海燕(西北师范大学数学系 2003 届)摘 要：不变子群是一类重要的子群，它在群的理论中起着重要的作用.判断一个子群是否不变子群，除了应用定义外，也可以应用其判别条件，本文在就对这些判别条件进行归纳，同时证明诸判别条件的等价性并给出一些应用.关键词：不变子群，陪集，共轭，正规化子，同余关系一、准备知识设 是 的一个子群，如果对 ,都有 ,那么，就说HGGaHa是的一个不变子群. 记为： .H设 和 是群 中的两个元素，如果在 中至少可找到这样的一个ab元素 ，使 ，则称 与 在 中共轭.gg1abG3正规化子：N (H)=gGH =H=gGg Hg=H 称 H 在 G 中
2、的正Gg1规化子。4同余关系：设集合 A 中有二元运算，记作乘法，若 A 的一个等价关系R 满足：aRb, cRd acRbd a,b,cA 则称 R 为 A的一个同余关系。一判断一个子群为不变子群的条件，及其证明过程.与定义等价的判别条件21.H G，即 aG, 有 aH=Ha2. aG,有 aHa =H13. aG,有 aHa H4. aG, hH,有 aha H15. aG,有 aH Ha6. aG,有 H a Ha17.aHbH=abH, a,bG 即两个左陪集的乘积仍是左陪集8.H 在 G 中的每个左陪集都是一个右陪集9. aG,有 a Ha=H110. aG,有 a Ha H11.
3、 aG, hH,有 a haH112. aG,有 Ha aH13. aG,有 H aHa114.HaHb=Hab, a,bG 即两个右陪集的乘积仍是右陪集15.H 在 G 中的每个右陪集都是一个左陪集16.以群 G 之子集 H 为模的 G 之剩余类（即陪集）之集合关于陪集之积运算构成群.（即商群存在）17.H 是 G 的子群，则 G 中由 aRb,当 a bH，所定义的关系 R 为同1余关系18.N (H)=G19.若 nN，则所属的 G 的共轭元素 C(n) H。即 H 由 G 的若干整个3的共轭类组成。证明上述条件的等价性，在此采用两种证法.证法 1：证明思路：29，310，411，512
4、，613，714，8158 17 18 1 2 3 4 5 6 1 19 7 16证明过程：2 9: aG,有 aHa =H, 故 a (aHa )a=a Ha a Ha=H11119 2: aG,有 a Ha=H, 故 a(a Ha)a =aHa aHa =H3 10: aG,有 aHa H aha H aha =h h,h H 1111h=a h a a h aH a Ha H1110 3: aG,有 a Ha H a ha=h h,h H h=ah a 111ah a H aHa H aG114 11: a G, h H, 有 ah a H ah a =h hH a111ha=h a h
5、aH hH111 4: aG, h H, 有 a h aH a h a=h hH aha111=h aha H hH15 12: aG，有 aH Ha ah=h a h,h H h aaH Ha1114aH12 5: aG，有 Ha aH ha=ah h,h H ah Ha aH 111Ha6 13: aG,有 H a Ha ha Ha h=a h a h,h H 1111h =aha h aHa H aHa aG1113 6: aG，有 H aHa a Ha a (aHa )a 即 a Ha H 111a h a=h h,h H ha Ha H a Ha aG1117 14:aHbH=abH
6、, a,bG H(aHbH)H =H(abH)H HaHb=Hab,1a,bG14 7:HaHb=Hab, a,bG H (aHbH)H=H (abH)H aHbH=abH,11a,bG8 15:H 在 G 中的每个左陪集都是一个右陪集，即 aG, 有 aH=Ha 故 Ha=aH aG 即 H 在 G 中的每个右陪集都是一个左陪集1 2:由 H 是 G 的不变子群，即 aG,有 aH=Ha,于是aHa =Haa =He=H12 3: aG,有 aHa =H, 显然 aHa H113 4: aG,有 aHa H 故 aG, hH 有 aha H14 5: aG, aha H ahHa hH aH
7、 Ha 1 5 6: aG, aH Ha a (aH ) a Ha H a Ha aG1116 1: aG, 有 H a Ha 5ha Ha h=a h a ah=h a h,h H aH Ha 1111且 Ha aH Ha=aH aG1 7:先证 aHbH abH ：aG,有 aH=Ha,设 a,bG,存在 h ,h ,h ,h H,有 h a=ah 123413h b=bh 24于是 ah bh =h ah b=abh h =abhabH aHbH abH341212再证 abH aHbH abh=ah b1aHbH abH aHbH /a,bG综上 a,bG, 有 aHbH=abH7 4
8、:设 aG, hH, 有 aha aHa H aHa H=aa H=H 111aha H aG, hH117 4:设 R 是同余关系 , aG, hH, 于是有 ahRa, a Ra (ah)1a Raa 1即 aha Re, 亦即 aha H114 17: gG, hH 有 ghg H, 设 aRb, cRd , 则存在 h ,h H, 12使得 b=ah 1d=ch 又 (d h d)h H (bd) acH 即 acRbd , 21121亦即 R 为同余关系2 8: aG,aHa =H (aHa )a=Ha aH=Ha 即每个左陪集同时也是11右陪集。8 2:若 aH=Hb, 则 aHb
9、 Ha=Hb 对 aG, 有 aH=Ha 6aHa =H11 18:若 H 不是 G 的不变子群,必存在 xG,使 xHHx x HxH, 但1也有 aG 使 a Ha=H, 令使 a Ha=H 在 G 中一切这样的元素之集合为 11N (H) 即 N (H)=a Ga ha=H 1a,bN (H)b Hb=H (b ) H(b )=H 故G111(ab ) H(ab )=(b ) (a Ha)(b )=(b ) Hb =H 1 1ab N (H) N (H)为 G 的子群,由 H 是 G 的不变子群及 NG(H)的定义,可得 N (H)=G18 1:由 N (H)=G, 即对 aG, 有 a
10、 Ha=H aH=Ha aGG11 19:由 H G, 即 aG aH=Ha a Ha=H a haH hH1即 H 由 G 的若干整个的共轭类组成.19 1: hH, H 都包含在 G 中的一切共轭元素 aG, 有 ahaH 于是 a Ha H,另一方面,对于 a , 有 (a )1111Ha H aHa H H a Ha a Ha=H Ha=aH 1aG 即 H G 1 16:设 G=Ha 为 H 之右陪集分解 H G aG aH=Hai Ha Ha =H(a H)a =Ha a 又 Ha=H, aH, ijijij HaHa =Haa =Haiii即 H=Ha 在陪集之积运算中是左单位元
11、 7又Ha Ha =Ha a =h Ha =a H=(Ha ) 1ii1i 1iii1即在陪集之积运算中任元有左逆元存在 并且(Ha Ha )Ha =Ha a Ha =Ha a a =Ha (Ha Ha ),即陪集之ijkijkijkijk积运算满足结合律,把不变子群 H 的每个陪集 Ha 看成单独一元i素，则所有陪集之集关于积运算构成群,即商群存在.16 5:设 H 是 G 的子群，商群存在 Ha,Hb,Hc,a,b,cG, 有HaHb=Hc又 abHaHb abHc Hab=Hc HaHb=Hab令 a =b, 有 HaHa =H aHa H aH Ha111证法 2：证明思路：8 15
12、16 14 7 1 2 3 4 5 6 13 12 11 10 9 1 17 19 18 证明过程：1 2 3 4 5 6, 4 17, 8 2, 7 14, 8 15 证略6 13: aG,有 H a Ha, 故有 H (a ) H(a )=aHa111113 12: aG,有 H aHa h=ah a ha=ah haaH 11Ha aH12 11: aG,Ha aH 存在 h,h H,有 ha=ah a ha=h 111a haH1811 10: hH,有 a haH a ha H1110 9:要证 aG, 有 a ha=H, 只要证 H a Ha, 由 10 ,有(a )11H(a)
13、H1aha H aH Ha H a Ha a Ha=H1119 1: aG, a ha=H Ha=aH 即 aH=Ha aG, 亦即 H G1 7:由 H G,即 aG, aH=Ha aHbH=a(bH)H=a(bH)=abH14 11:设 aG, hH, 有 a haHa Ha=Ha a=He=H 即 aG,有 a111haH116 14:设 H 是 G 的子群，且以 H 为模的 G 的剩余类成群 Ha ,Hb,Hc,a,b,cH 有 HaHb=Hc,又abHaHb abHc Hab=Hc HaHb=Hab a,bG14 16:设 G=Ha 为 H 之右陪集分解, Ha ,a HG,有 Ha
14、 Ha =Ha ai ijijij 存在 Ha=H aH, 使得 HaHa =Haa =Ha iii即 H=Ha 在陪集之积运算中是左单位元 又Ha Ha =Ha a =H Ha =a H=(Ha ) 1ii1i 1iii1即在陪集之积运算中任元有左逆元存在 并且(Ha Ha )Ha =Ha a Ha =Ha a a =Ha (Ha Ha ), 即陪ijkijkijkijk集之积运算满足结合律,把不变子群 H 的每个陪集 Ha 看成单i独一元素，则所有陪集之集关于积运算构成群.19 10: hH, H 都包含 h 在 G 中的一切共轭元素， aG, 有 a9haH 1于是 a Ha H aG1
15、10 19: aG,有 a Ha H a haH 即 H 由 G 的若干整个的共1轭类组成.18 9:由 N (H)=aGa Ha=H=G 即 aG,有 a Ha=HG1 19 18:令使 a Ha=H 的 G 中一切这样的元素之集合为 N (H)1 G即 N (H)=aGa Ha=H a,bN (H) b Hb=H (b )G1G11H(b )=H1故(ab ) H(ab )=(b ) (a Ha)(b )=(b )1111Hb =Hab N (H) N (H)为 G 的子群,由 H 是 G 的不变G子群及 N (H)的定义,可得 N (H)=G(二).直接判断一个子群为不变子群的条件1指数
16、为 2 的子群为不变子群.证明:设群 G，H 是 G 的子群，由题设G:H=2 G=eHaH=HeHaaH=Ha aG, 即 H G2设 G 为群，H 是 G 的子群, aG, a ha H, 则 H 是 G 的不变子1群.证明:a ha H a(a Ha)a aHa H aHa 又(a ) Ha11111H 即 aHa H aG,a Ha=H aH=Ha aG 即 H G3.群 G 的中心 C 是 G 的一个不变子群.证明:C 与 G 中的每个元素都可交换 对 aG,有 aC=Ca C G4.交换群的子群都是不变子群.10证明:设 G 是交换群,H 是 G 的子群,有 aH=ahhH=hah
17、H =Ha aG H G 5.设 A,B 都是 G 的不变子群，则 AB 是 G 的不变子群.证明:显然 AB 是 G 的子群 , aG, xAB, axa A, 11axa B1axa AB 即 AB G1推论 1:群 G 中任意多个（有限或无限）不变子群之交也都是 G 的不变子群.6.设 A,B 都是 G 的不变子群，则 AB 是 G 的不变子群.证明:显然 AB 是 G 的子群 , gG, xAB, 设 x=ab 2gxg =g(ab)g =gag gbg AB 故 AB G111推论 2:群 G 中任意多个（有限或无限）不变子群之积也都是 G 的不变子群.7.设 H 是 G 的真子群，
18、H=n ,且 G 的阶数为 n 的子群仅有一个，则 H 是 G 的不变子群.证明: xG 显然 xHx 是 H 的子群, 又知 f：hxhx hH, 1 1f 是 H 到 xHx 的双射, 故 xHx =H=n, 由唯一性, 1xHx =H xG 因而 H 的 G 不变子群. 18. 设 A,B,H 都是 G 的不变子群,且 A B，则 AH 是 BH 的不变子群.证明：AH,BH 显然都是 G 的不变子群，A B，AH BH 而 AH 是 G 的不变子群，故 AH 是 BH 的不变子群.二举例应用判别条件判断一个子群是不是不变子群，除了用定义外，还可用其等价条件，应11用等价条件，有时可使证
19、明容易，过程简洁.例 1：设 G= r,sQ r0 , G 对于方阵乘法作成一个群,10srH= tQ , 则 H 是 G 的不变子群.t证明：法 1（利用定义）：G, H= , H =0sr10sr1srt 10srr01tr,s 是取定的有理数,故对 s+t, 方程 rx+s=s+t 在 Q 中有解, 即 x=t/r故对 AH A= A= A10sr10str10/srtH10sr即 H H , 反之,对 rt+s 方程 rt+s=x+s 在 Q 中有sr10解 x=rt故 H H 从而有 H=H r0 10srsr10srsrr,sQ即 H 是 G 的不变子群.法 2：（利用等价条件 4
20、）：12G, = G, 对 H10sr1sr01sr10t有 = =t1t1srrt显然 H , 故 H 是 G 的不变子群.10rt例 2：设 G 是一个群，a,bG 符号 a b表示 G 中元素 a b ab，称之1为 G 的换位元 ,证明 G 的一切有限换位元的乘积所成的集合 G 是/G 的一个不变子群.证明：（利用等价条件 4）：显然，G 是 G 的子群，对任意a b和 /gGg a bg=g a b abg=(ag) bagbb g bg=ag bb 1111gG /一般地，对 G 中任一元 a b a b a b / 12n有 g a b a b a b g=(g a b g)(g
21、 a b 112n1112g)(g a b g)G,故 g G gG 即 G 是 G 的不变子群.n1/注释：1.A G BG 又 eA eB eAB , 设 a,bAB则 a,bA 且 a,bB 故 abA 且 abB abAB设 a AB, 则 aA 且 aB a A 且 a B a AB 111ABG即 AB 是 G 的子群2.AB=abaA, bB A G bA=Ab 又ba bA 1ba =a b,a A1/113(ab)(a b )=a(ba )b =a(a b)b =(aa )(bb )AB11/1/1又 b a b A=Ab =b a =a b AB ABG 即 ABb/是 G
22、 的子群主要参考书目： 吴三品，近世代数M，北京：人民教育出版社，1982，80-87. 张远达，有限群构造(上册)M, 科学出版社，1982，38-41. W.莱德曼，群论引论M，北京：高等教育出版社，1987，59-62. 孟道骥，代数学基础M，天津：南开大学出版社， A.库洛什，群论(上册)M，北京：高等教育出版社，1987，57-62. M.赫尔，群论M，科学出版社，1981，30. 徐明曜，有限群导引M，科学出版社，2001，12-14. 陈重穆，有限群论基M，重庆出版社，1983，21-23. 王萼芳，有限群论基础M，北京：北京大学出版社，60-65. 杨永保，近世代数(第二版)M，41-45.
