1、几何体的外接球一、球的性质回顾如右图所示：O 为球心，O为球 O 的一个小圆的圆心，则此时 OO垂直于圆 O所在平面。二、常见平面几何图形的外接圆外接圆半径（r）的求法1、三角形：（1）等边三角形：等边三角形也即正三角形，其满足正多边形的基本特征：五心合一，即内心、外心、重心、垂心、中心重合于一点。内心：内切圆圆心，各角角平分线的交点；外心：外接圆圆心，各边中垂线的交点；重心：各边中线的交点；垂心：各边垂线的交点；中心：正多边形特有。从而等边三角形的外接圆半径通常结合重心的性质进行求解：（其中 a 为等边三角形的边长）ar32（2）直角三角形：结合直角三角形的性质：直角三角形斜边上的中线等于斜
2、边的一半；可知：直角三角形的外接圆圆心位于斜边的中点处，求解过程比较简单，该处不做重点说明。（3）等腰三角形：结合等腰三角形中三线合一的性质可知：等腰三角形的外接圆圆心位于底边的高线即中线上。由图可得： 2)(arh思考：钝角三角形和锐角三角形外接圆圆心位置的区别。（4）非特殊三角形：考察较少，若出现除以上三种情况以外的三角形在求解外接圆半径时可以参考使用正弦定理。2、四边形OOOABCrr设AD=h设BD=12aABCDO常见具有外接圆的四边形有：正方形、矩形、等腰梯形，其中正方形与长方形半径求解方法类似，等腰梯形的外接圆圆心不在中学考察范围内，不用掌握。外接圆圆心是在几何图形所在平面的一个
3、到各个顶点距离相同的点；外接球球心则是空间中到几何体各个顶点距离相同的点。结合上述所讲内容，外接圆圆心与外接球球心有许多相似之处以三角形为例，过三角形的外接圆圆心作三角形所在平面的一条垂线，不难得到：该垂线上的任意一点到该三角形三个顶点的距离恒定相等。转化到几何体中，如正方体，其外接球球心位于体心位置，其与正方体任一表面正方形的中心连线均垂直于该正方形。从而我们得出如下结论：几何体的外接球球心与底面外心的连线垂直于底面，也即球心落在过底面外心的垂线上，简单称之为：球心落在底面外心的正上方。三、常见几何体的外接球半径的求法1、 直（正）棱柱以三棱柱为例例：在正三棱柱 中，三角形 ABC 是边长为
4、 2 的正三角形， ，求该1CBA 31A三棱柱的外接球半径.分析：如右图，由正三角形的边长可知底面的外接圆半径 r，要求 R，只需确定 OO的长度，结合正棱柱也是直棱柱的特征可知，上下两底面三角形的外心连线与侧棱平行与底面垂直，从而球心 O 必位于上下两底面外心连线的中点处，即 ，从而 R 可求.12AO由题可得： ,3,21r在直角三角形 中，A22rR从而 6129R2、 棱锥常见有三棱锥和四棱锥两类，其中四棱锥的外接球半径求法相对比较简单，此处重点分析三棱锥的外接球。（1）含有线面垂直关系（侧棱垂直与底面）的三棱锥RrA1 B1C1BACOO该种三棱锥的外接球半径求法有两种，举例说明如
5、下。例：在三棱锥 P-ABC 中，三角形 ABC 是边长为 2 的正三角形，PA平面 ABC，PA=3，求该三棱锥的外接球半径.分析：如右图法一：该几何体可由正三棱柱沿平民啊 PBC 切割而产生，故该三棱锥的外接球可转化为原三棱柱的外接球；法二：先确定底面三角形 ABC 的外心 O，从而球心位于 O的正上方，即 OO 平面 ABC，同时： OP=OA，故，过 O 作 OMPA 于 M，此时 M 必为 PA 中点，从而四边形 OMAO为矩形，所以，在直角三角形 OOA 中有： .231 PAO 22OrR计算过程略.（2）正棱锥以正三棱锥为例RrPA CBOO在正三棱柱中顶点与底面中心的连线垂直
6、于底面，即 ，故球心 O 落在直线ABCPO面PO上.例：在正三棱锥 P-ABC 中，三角形 ABC 是边长为 2 的正三角形，PA=3，球该三棱锥的外接球半径.分析：如图由底面正三角形边长可得 r，在直角三角形 OOA 中，故只需确定 OO的长度即可，结合图形，22OrROO=PO-OP=H-R，带入上式中即可求解.由题可知： 369,32AOPHrRrP BA COOMRr 设PO=HPA CBOO所以 22)(RHr解得： 469（3）含有侧面垂直于底面（不含侧棱垂直于底面）的三棱锥该类问题的求解难点在于球心位置的寻找，确定球心时需要分别取两相互垂直的面的过外心的垂线，球心位于两垂线的交
7、点处。例：在三棱锥 P-ABC 中，面 PAB面 ABC，三角形 ABC 和三角形 PAB 均为等边三角形，且 AB=3，求该几何体外接球半径.分析：设ABC 和PAB 的球心分别为 O,O，取 AB 中点 M，球心设为 O，则 OO 平面 ABC，OO 平面PAB，从而四边形 OOMO是矩形，可得：OO=OM，在三角形 OOC 中结合沟通定理即可求解.由题可得： 3,231 ABrP所以 52OrRrRPA CBOOMO练习题组一1某几何体的三视图如图，若该几何体的所有顶点都在一个球面上，则该球面的表面积为（ ）A4 B C D202三棱锥 PABC 的四个顶点都在球 O 的球面上，已知 P
8、A、PB 、PC 两两垂直，PA=1，PB +PC=4，当三棱锥的体积最大时，球心 O 到平面 ABC 的距离是（ ）A B C D 3体积为 的球有一个内接正三棱锥 PABC，PQ 是球的直径，APQ=60，则三棱锥 PABC 的体积为（ ）A B C D4四面体 ABCD 的四个顶点都在某个球 O 的表面上，BCD 是边长为 3 的等边三角形，当 A 在球 O 表面上运动时，四面体 ABCD 所能达到的最大体积为 ，则四面体OBCD 的体积为（ ）A B C9 D5点 A，B，C，D 均在同一球面上，且 AB，AC，AD 两两垂直，且AB=1，AC=2，AD=3，则该球的表面积为（ ）A7
9、 B14 C D6已知点 A、B、C、D 均在球 O 上，AB=BC= ，AC=3，若三棱锥 DABC 体积的最大值为 ，则球 O 的表面积为（ ）A36 B16 C12 D 7已知直三棱柱 ABCA1B1C1 的各顶点都在球 O 的球面上，且 AB=AC=1，BC= ，若球O 的体积为 ，则这个直三棱柱的体积等于（ ）A B C2 D8已知正三棱锥 PABC，点 P，A ，B ，C 都在半径为 的球面上，若 PA，PB，PC 两两互相垂直，则球心到截面 ABC 的距离为（ ）A B C D9已知三棱锥 PABC 的所有顶点都在球 O 的球面上，ABC 是边长为 1 的正三角形，PC 为球 O
10、 的直径，该三棱锥的体积为 ，则球 O 的表面积为（ ）A4 B8 C12 D1610四棱锥 PABCD 的底面 ABCD 为正方形，PA底面 ABCD，AB=2，若该四棱锥的所有顶点都在体积为 同一球面上，则 PA=（ ）A3 B C2 D练习题组二1 九章算术中，将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马；将四个面都为直角三角形的三棱锥称之为鳖臑若三棱锥 PABC 为鳖臑，PA平面ABC，PA=AB=2，AC=4，三棱锥 PABC 的四个顶点都在球 O 的球面上，则球 O 的表面积为（ ）A8 B12 C20 D242已知三棱锥 PABC 的四个顶点均在同一球面上，其中 ABC
11、 是正三角形，PA平面ABC，PA=2AB=2 ，则该球的表面积为（ ）A8 B16 C32 D363已知三棱锥 ABCD 的四个顶点 A、B 、C、D 都在球 O 的表面上，AC平面BCD，BCCD，且 AC= ，BC=2，CD= ，则球 O 的表面积为（ ）A12 B7 C9 D84已知 A，B，C 三点都在以 O 为球心的球面上，OA，OB，OC 两两垂直，三棱锥OABC 的体积为 ，则球 O 的表面积为（ ）A B16 C D325已知四棱锥 PABCD 的顶点都在球 O 的球面上，底面 ABCD 是矩形，平面 PAD底面ABCD，PAD 为正三角形，AB=2AD=4，则球 O 的表面
12、积为（ ）A B C24 D6已知三棱锥 PABC 中，PA底面 ABC，ABBC ，PA=AC=2 ，且该三棱锥所有顶点都在球 O 的球面上，则球 O 的表面积为（ ）A4 B8 C16 D207点 A，B，C，D 在同一个球的球面上，AB=BC= ， ABC=90，若四面体 ABCD 体积的最大值为 3，则这个球的表面积为（ ）A2 B4 C8 D168三棱柱 ABCA1B1C1 的侧棱垂直于底面，且 ABBC ，AB=BC=AA 1=2，若该三棱柱的所有顶点都在同一球面上，则该球的表面积为（ ）A48 B32 C12 D89三棱锥 PABC 中，侧棱 PA=2，PB=PC= ，则当三棱锥
13、 PABC 的三个侧面的面积和最大时，经过点 P，A，B ，C 的球的表面积是（ ）A4 B8 C12 D1610如图 1，ABCD 是边长为 2 的正方形，点 E，F 分别为 BC，CD 的中点，将ABE，ECF，FDA 分别沿 AE，EF ，FA 折起，使 B，C，D 三点重合于点 P，若四面体 PAEF 的四个顶点在同一个球面上，则该球的表面积是（ ）A B6 C D1211如图某空间几何体的正视图和俯视图分别为边长为 2 的正方形和正三角形，则该空间几何体的外接球的表面积为（ ）A B C16 D2112已知四棱锥 PABCD 中，侧棱都相等，底面是边长为 的正方形，底面中心为 O，以 PO 为直径的球经过侧棱中点，则该球的体积为（ ）A B C D一、1B；2B；3C ；4C ；5B；6B；7B ；8A；9A；10B；二、1C；2B ；3A；4B ； 5B；6B；7D；8C；9D；10B；11B ；12C；
