1、- 1 -n10YS S+n出出S 0,n 1出出出出Sn n+2N第 8 题江苏省梁丰高级中学 2014 届高三数学第一学期期末实考预测卷 一、填空题：本大题共 14 小题，每小题 5 分，共 70 分.1. 已知 ，则 可化简为 45,1sin2si2抛物线 的准线方程为 28xy3. 若 或 是假命题，则 的取值范围是 ,5“14x或 ”x4. 设 是三个互不重合的平面, 是直线,给出下列命题:、 、 mn ; 若 ， ， m ，则 m ;,则 若 在 内的射影互相垂直,则 ; 是异面直线, ，则mnabba,.其中正确命题的序号为 . 5. 设复数 满足 （其中 i 为虚数单位） ，则
2、 _ z5)12(i z6. 已知 ， ，若 是等比数列，则 k nannkab1nb7. 将一颗骰子投掷两次分别得到点数 ,，则直线 0axy与圆 2xy相交的概率为 8. 运行下面的一个流程图，则输出的 值是 S9. 已知函数 （ ） ，直线 与函数 相切于点 则直线3log2xxf 0lxfmA,1的方程为 （写成直线方程一般式）l10.已知集合 ， , ，且 ，Aa4BxbNa()2,3B由整数对 组成的集合记为 M,则集合 M 中元素的个数为_。ba,11. 如图， 是直线 上三点， 是直线 外一点，若 ， ，,BClPl aCA90AP，45P记 ，则 .（仅用 表示）Aa12.
3、已知定义在 上偶函数 ，且 ，当R)(xf0)1(f PBA Cl 45第 11 题- 2 -时有 ，则不等式 解集为_ 0x0)(2 xff 0)(xf13. 已知函数 ，若存在常数 ，对 唯一的 ，使得,yfxDC1,xD2x，则称常数 是函数 在 上的 “梁丰一品数” 。若已知函数12fxCf，则 在 上的“梁丰一品数”是 ,3xffx1,314. 已知三次函数 在 R 上单调递增，则 的最小值为 32()()abfcdababc二、解答题：本大题共 6 小题，计 90 分.15. 如图，在直三棱柱 中， ， ，点 是 的中1ABC1ACBACBDA点（）求证： ； （）求证： ；1D平
4、 面 11/平 面（）线段 上是否存在点 ，使得 平面 ？M1DB16 已知平面直角坐标系中 顶点的分别为 ， ， ，其中ABC (3)Am， (0)B， ()Cc，0c（1）若 ，求 的值；（2）若 ，求 周长的最大值4msin 2 A BC DA1 B1C1- 3 -17.某公司为了加大产品的宣传力度，准备立一块广告牌，在其背面制作一个形如 ABC 的支架，要求 ACB60， BC 的长度大于 1 米，且 AC 比 AB 长 0.5 米为节省材料，要求AC 的长度越短越好，求 AC 的最短长度，且当 AC 最短时， BC 的长度为多少米？18已知曲线 E： ax2 by21（ a0， b0
5、） ，经过点 M（ ，0）的直线 l 与曲线 E 交于点 A、 B，且 2 MB MA （1）若点 B 的坐标为（0，2） ，求曲线 E 的方程；（2）若 a b1，求直线 AB 的方程19. 已知函数 ( 为常数)是实数集 上的奇函数,函数 是()lnxfeaR()singxfx区间 上的减函数.1,（1）求 在 上的最大值；()gx1,（2）若 对 及 恒成立 ,求 的取值范围；2t,1x,1t（3）讨论关于 的方程 的根的个数.x2ln()femBCA- 4 -20. 数列 的各项均为正数， 为其前 项和，对于任意 ，总有 成等nanS*Nn2,naS差数列（1）求数列 的通项公式；n（
6、2）设数列 的前 项和为 ，且 ，求证：对任意实数 （ 是 常 数 ，nbnT2lnaxbex,1 2 71828 ） 和任意正整数 ，总有 2；e （3） 正数数列 中， 求数列 中的最大项 nc)(,*11Ncann nc- 5 -数学附加题 13 21、在平面直角坐标系 中，直线 在矩阵 对应的变换作用下得xOy20xy14aMb到直线 ，求实数 的值.:40mx,ab22、在极坐标系中，圆 C： 和直线 相交于 A、B 两10cos:3cos4in30l点，求线段 AB 的长.- 6 -23.如图，在直三棱柱 中，1ABC，M 是90,30,6OOACBA的中点.1（1）求证： ;11
7、AM（2）求二面角 的平面角的大小.BC24.已知等比数列 的首项 ，公比 ， 是它的前 项和.求证： .na123qnS13nS- 7 -参考答案1、 ；2、 ；3、 ；4、；5、 ；6、 k1 或27、 ；siny21xi2158、35；9、 ；10、8；11、 ；12、 ；0ln)(lx 45a0xx或13、1/4；14、3.15、略16、解：（1） ， ，若 ，则 ，3ABm， -(,3)ACcm4c3,ACm，sin A ；2cos, 0C1（2） 的内角和 ，由 得 应用 0B， ， 2正弦定理，知： ，23sinsi4inAB 因为 ， 所以sin4iACyABC，224ii30
8、yA- 8 -因为 ，14sincosin23yxx 54sin23AA所以，当 ，即 时， 取得最大值 Ay617、解：设 BC x 米（ x1） ， AC y 米，则 AB y 12在 ABC 中，由余弦定理，得( y )2 y2 x22 xycos60 12所以 y （ x1） 法一： y ( x1) 22 34(x 1) 3当且仅当 x1 ，即 x1 时， y 有最小值 2 34(x 1) 3法二： y 由 y0 得 x1 因为当 1 x1 时， y0；当 x1 时，y0，所以当 x1 时， y 有最小值 2 3答： AC 的最短长度为 2 米，此时 BC 的长度为（1 ）米14 分3
9、18、解：（1） 设 A(x0， y0)，因为 B(0，2)， M( ，0)故 ( ，2)， ( x0 ， y0) 2 分MB MA 因为 2 ，所以( ，2)2( x0 ， y0)MB MA 所以 x0 ， y01即 A( ，1) 4 分因为 A， B 都在曲线 E 上，所以 解得 a1， b 14所以曲线 E 的方程为 x2 1 6 分y24（2） （法一）当 a b1 时，曲线 E 为圆： x2 y21设 A(x1， y1)， B(x2， y2)因为 2 ，所以( x2 ， y2) 2( x1 ， y1)，即MB MA 设线段 AB 的中点为 T，则点 T 的坐标为( ， )，即( ，
10、)x1 x22 y1 y22 y12BCA- 9 -所以 ( ， )， ( x2 x1， y2 y1)( 3 x1，3 y1) OT y12 AB 3因为 OT AB，所以 0，即 34 x13 x 3 y 0 OT AB 3 21 21因为 x y 1，所以 x1 ， y1 21 21 12当点 A 的坐标为( ， )时，对应的点 B 的坐标为(0，1)，此时直线 AB 的斜率12k ，所求直线 AB 的方程为 y x1；3 3当点 A 的坐标为( ， )时，对应的点 B 的坐标为(0，1)，此时直线 AB 的斜率 k12，3所求直线 AB 的方程为 y x1 16 分3（法二）当 a b1
11、 时，曲线 E 为圆： x2 y21设 A(x1， y1)， B(x2， y2)因为 2 ，所以( x2 ， y2) 2( x1 ， y1)，即MB MA 因为点 A， B 在圆上，所以 由4，得(2 x1 x2)(2x1 x2)3所以 2x1 x2 ，解得 x1 ， x203由 x1 ，得 y1 （以下同方法一）12（法三）如图，设 AB 中点为 T则 TM TA MA AB， OM 16根据 Rt OTA 和 Rt OTM，得即 解得 AB ， OT 所以在 Rt OTM 中，tan OMT 312 OTTM 3所以 kAB 或 所以直线 AB 的方程为 y x1 或 y x13 3 3
12、319、解：（1） 是奇函数，)ln()aexfx则 恒成立.ln(ae1x.0,)(,2 aexx又 在1，1上单调递减，)(g,1sin)(mxg（2） 在 上恒成立,sint只 需 120.tt在 ， 恒 成 立令 则),(1i)1(h,01sin02tt.22 sin0,sin0tt而 恒 成 立 ABxyTO M- 10 -（3）由（1）知 ,2ln,)( mexxxf 方 程 为令 ，exf 2,ln)(2，1当 上为增函数；,0(),)(,0(11xfxfe在时 上为减函数，0), ex在时 当 时，.1max1ff而 ，222)()ef、 在同一坐标系的大致图象如图所示，1函 数f当 时，方程无解.e,22即当 时，方程有一个根.me1即当 时，方程有两个根.e,122即20、 （1）解：由已知：对于 ，总有 成立*Nn2nnSa （ n 2） 212nnSa-得 1a 11nnn 均为正数， （ n 2） ,a1数列 是公差为 1 的等差数列 n又 n=1 时， ，解得 =12Sa1 （ ） a*N（2）证明：对任意实数 和任意正整数 n，总有 ex,12lnaxb1 nTn 132122 13n（3）解：由已知 ， 121ca
