1、- 1 -楚水实验学校 2015 届高三数学周测试卷四（12.6）一、填空题：本大题共 14 小题，每小题 5 分，共 70 分1、 设集合 ，若 ，则实数 的取值范围为|,1|axBxARBAa_.2、 复数 的虚部为_.iz2)(3、已知直线 l经过点 (,1P，且与直线 2310xy垂直，则 l的一般式方程是_.4、已知曲线 xy3在点 ),0y处的切线平行于直线 ，则 0x_.2yx5、函数 的图像中，离坐标原点最近的一条对称轴的方程为_.)62sin(6、在平面直角坐标系中，直线 被圆 截得的弦长为_032yx42yx_.7、等比数列 的公比大于 1， ，则 _.na 6,52415
2、aa38、一个圆柱和一个圆锥同底等高，若圆锥的侧面积是其底面积的 2 倍，则圆柱的侧面积是其底面积的_倍.9、已知 P 是直线 3x4y80 上的动点， PA、 PB 是圆 x2 y22 x2 y10 的切线，A、 B 是切点， C 是圆心，那么四边形 PACB 面积的最小值是_.10、已知点 是函数 图像上的点，直线 是该函数图像在 点),1(mxay2bP处的切线，则 _.ba11、已知 中线 ,设 为 的中点，若 ，则ADPA3PCB_.CAB12、若存在正数 使 成立，则 的取值范围是_.x1)(aea13、 ABC 的面积为 1，点 D 在 AC 上， DE AB，连结 BD，设 D
3、CE、 ABD、 BDE 中面积最大者的值为 y，则 y 的最小值为 14、已知 ，则 的最小值为_.0,xyx 1|2x二、解答题（本大题共 6 小题，共 90 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）15、 （本小题满分 14 分） 在 ABC 中， A,B,C 分别为 a,b,c 边所对的角，且 cosA= 45（）求 的值；sinB+C2 +cos2A（）若 a =2，求 ABC 的面积 S 的最大值（第 13 题）AB CDE- 2 -ABCDEF16、 （本小题满分 14 分）如图，在多面体 ABCDEF 中，底面 ABCD 是梯形，且AD=DC=CB= 12AB直角梯形 AC
4、EF 中， 1/2EFAC， 是锐角，且平面ACEF平面 ABCD（）求证： BCA； （）试判断直线 DF 与平面 BCE 的位置关系，并证明你的结论17、 （本小题满分 15 分）为创建“省级文明城市” ，我市在兴泰公路主干道-兴化大道上布置系列大型花盆，该圆形花盆直径 2 米，内部划分为不同区域种植不同花草。如图所示，在蝶形区域内种植市花月季，该蝶形区域由四个对称的全等三角形组成，其中一个三角形的顶点 为圆心， 在圆周上， 在半径 上，设计要求 。OABABOQ120ABO（）请设置一个变量 ，写出该蝶形区域的面积 关于 的函数表达式；xSx（） 为多少时，该蝶形区域面积 最大？x18、
5、 （本小题满分 15 分）如图所示，已知以点 A(1,2)为圆心的圆与直线 l1：x2y70P O B QA- 3 -相切过点 B(2,0)的动直线 l 与圆 A 相交于 M， N 两点， Q 是 MN 的中点，直线 l 与 l1相交于点 P.（）求圆 A 的方程；（）当| MN|2 时，求直线 l 的方程；19（） 是否为定值？如果是，求出其定值；如果不是，请说明理由BQ BP 19、 （本小题满分 16 分）已知函数 xaxf ln2)1(2（）求证： 0a时， 1)(xf恒成立；（）当 ,2时，求 的单调区间20、 （本小题满分 16 分）设各项均为正实数的数列 na的前 项和为 nS，
6、且满足- 4 -2)1(4naS（ *N） （）求数列 的通项公式；（）设数列 nb的通项公式为 tabn（ *N） ，若 1b，2b， m（*,3N）成等差数列，求 和 m的值；（）证明：存在无穷多个三边成等比数列且互不相似的三角形，其三边长为 na中的三项1na， 2， 3n楚水实验学校 2015 届高三数学周测试卷四（12.6）- 5 -参考答案一.填空题：1、 ； 2、5； 3、3x-2y-4=0； 4、 ； 5、 ； 6、2； 7、4 a 1x8、 ； 9、 ； 10、 ； 11、 ； 12、 ； 13、 ； 14、20a3二、解答题15、 （）解： = 7 分 sinB+C2 +c
7、os2A 5091cos21A（） 由 , cosA=45 sinA=35 S= 12bcsinA= 310bc a=2由 余 弦 定 理 得 ： a= b2+c2-2bccosA=4,85bc+4= b+c 2bc bc 10, 13sin2ABCS.当且仅当 b=c 时，取得最大值，所以当 b= c 时， ABC 的面积 S 的最大值为 3 14 分16、 （）证明：取 AB 中点 H，连结 CH，底面 ABCD 是梯形，且 AD=DC=CB= 12AB,易证四边形 AHCD 为平行四边形 ，AD=HC= 12AB， ACB= 90 AC， 4 分平面 EF平面 D，且平面 EF平面 BD
8、AC，BC平面 ，而 平面 ，故 7 分（） /D平面 ， 8 分以下证明：连接 DH， DH AC=M，连接 FM四边形 DHBC 为平行四边形 ， 故 DM BC10 分在直角梯形 ACEF 中， /EFC，四边形 FMCE 为平行四边形 ， 故 FM EC 12 分易证 DM平面 BCE，同理 FM平面 BCE， DM MF=M，故平面 DMF平面 BCE，DF平面 DMF，从而 DF平面 BCE 14 分17、 （）设 ，在三角形 中，由正弦定理得xAOBAOB- 6 -2310sin)60sin(i AOxBxA7 分xSAOB sin)6si(4si24 （）整理得 13 分3)0
9、sin(3x（整理过程和结论共 6 分，过程 4 分，结论 2 分）所以 时，蝶形区域面积最大 15 分x注：本题也可以用余弦定理和基本不等式解答，参照得分18、解 （）设圆 A 的半径为 R.圆 A 与直线 l1： x2 y70 相切， R 2 .| 1 4 7|5 5圆 A 的方程为( x1) 2( y2) 220. 4 分（）当直线 l 与 x 轴垂直时，易知 x2 符合题意；当直线 l 与 x 轴不垂直时，设直线 l 的方程为 y k(x2)，即 kx y2 k0.连接 AQ，则AQ MN.| MN|2 ，| AQ| 1.19 20 19由| AQ| 1，得 k .直线 l 的方程为
10、3x4 y60.|k 2|k2 1 34所求直线 l 的方程为 x2 或 3x4 y60. 9 分（） AQ BP， 0.AQ BP ( ) .BQ BP BA AQ BP BA BP AQ BP BA BP 当直线 l 与 x 轴垂直时，得 P .则 ，又 (1,2)，( 2， 52) BP (0， 52) BA 5. 11 分BQ BP BA BP 当直线 l 的斜率存在时，设直线 l 的方程为 y k(x2)由Error!解得 P . .( 4k 71 2k， 5k1 2k) BP ( 51 2k， 5k1 2k) 5.BQ BP BA BP 51 2k 10k1 2k综上所述， 是定值
11、，且 5. 15 分BQ BP BQ BP - 7 -19、解（） 0a时， xxfln2)(， ),0(xf 12)( ，令 f，解得： )1(舍 去x当 1,时， )(f， )(xf在 ,上单调递减；当 (x时， 0， 在 )1上单调递增。 )()minfxff极 小 值所以， ,0(， 6 分（） )xf的定义域为 ),(, xaxf 1)(22当 1a时， f12)，此时 )(xf在区间 ,(上单调递增，在 )1,0(上单调递减；当 1a时， xaaxf)12)(令 0)(xf，解得： 或）当 2时， 1a，令 )(xf，解得： x令 0，解得： 或 0x此时 )(xf在区间 )1,(
12、a上单调递增，在 )1,(和 ),a上单调递减；）当 2a时， ，此时 0)()(2xf， )(xf在区间 ),0(上单调递减.综上， 1a时， )(f的单调递增区间为 ,1，单调递减区间为 )1,0(；2时， x的单调递增区间为 )(a，单调递减区间为 ),0(和 ,1；- 8 -2a时， )(xf的单调递减区间为 ),0(，无单调增区间。 16 分20解：（）由题意， 2)1(4naS，当 n时，有 1n，-，得 0)2)(a， n各项为正， 01na，从而 21n，故 n成公差 2 的等差数列又 时， 21)(4，解得 1a故 12n 4 分（） tnb2，要使 1b， 2， m成等差数列，须 mb12，即 tt13，整理得 43t，因为 m， 为正整数， 只能取 2，3，5故 72t， 5t， 4t 10 分（）作如下构造： 2)3(1kan， )52(32kan， 2)5(3kan，其中*Nk，它们依次为数列 中第 6项，第 8项，第3102项，显然它们成等比数列，且 321nn，所以它们能组成三角形由*k的任意性，知这样的三角形有无穷多个 下面用反证法证明其中任意两个 1CBA和 2不相似：若 1CBA 2，且 21k，则 21221)3()5)(3kk，整理得 3)52211k，所以 1，这与 1矛盾，因此，任意两个三角形不相似故原命题正确 16 分
