1、差分方程,一、差分方程的基本概念,二、一阶常系数线性差分方程,三、差分方程的简单应用,1. 差分的定义,定义1 设函数,我们称,一、 差分方程的基本概念,称,为三阶差分.,同样，称,依此类推，函数的 n 阶差分定义为：,且有,二阶及二阶以上的差分统称为高阶差分,性质1 当,是常数，,是函数时，,有以下结论成立：,例1 求,解,定义2 含有未知函数差分或未知函数几个时期值的方程就称为差分方程.,例如,差分方程的不同形式之间可以相互转化.,差分方程中含有未知函数下标的最大值与最小值之差数称为差分方程的阶.,是一个二阶差分方程，,如果将原方程的左边写为,则原方程还可化为,例如，,可以化为,又如：,可
2、化为,定义3 如果一个函数代入差分方程后，方程两边,其中A为任意常数.,恒等，则称此函数为差分方程的解.,我们往往要根据系统在初始时刻所处的状态， 对差分方程附加一定的条件，这种附加条件称之为 初始条件.满足初始条件的解称之为特解. 如果差分 方程中含有相互独立的任意常数的个数恰好等于差 分方程的阶数，则称它为差分方程的通解.,其中A为任意常数.,3. 常系数线性差分方程及解的性质,的差分方程称为n 阶常系数线性差分方程，其中,为常数，且,为已知函数.,时，差分方程(1)称为齐次的，,对应的齐次差分方程为,(2),定义4 形如,(1),当,否则称为非齐次的. 当,时，与差分方程 (1),定理1
3、 设,的k个特解，则线性组合,也是该差分方程的解，其中,是n阶常系数齐次线性差分方程,为任意常数.,的n个线性无关的解，则方程 的通解为,定理2 n阶常系数齐次线性差分方程一定存在n个线性无关的特解若,是方程,定理3 n阶非齐次线性差分方程,的通解与它自己本身的一个特解之和，,它对应的齐次方程,即通解等于,以上三个定理揭示了n阶齐次及非齐次线性差分方程的通解结构, 它们是求解线性差分方程非常重要的基础知识,在本书中,我们只探讨一阶常系数线性差分方程的解法,(3),为常数，,为已知函数.,时，称方程,(4),则 (3) 称为一阶常系数非齐次线性,一阶常系数线性差分方程的一般形式为,其中,当,为一
4、阶常系数齐次线性差分方程.,若,差分方程.,二、 一阶常系数线性差分方程,(1) 迭代法求解：,一般地，,对于一阶常系数齐次线性差分方程,通常有如下两种解法.,1. 常系数齐次线性差分方程的通解,(2) 特征方程法求解：设,化简得：,即,分别称为方程,和,是方程 (4) 的解.,再由解的结构及通解的定义知：,的特征方程和特征根.,是齐次方程的通解.,为任意常数),故,例4 求,的通解.,从而特征根为,于是原方程的通解为,其中C为任意常数.,解 特征方程为,的右端项为某些特殊形式的函数时的特解.,考虑差分方程,(c为任意常数),则差分方程为,1) 采用迭代法求解：,有迭代公式,给定初值,2)一般
5、法求解：设差分方程,的特解.,具有形如,(1) 当,时，,(2) 当,时，,例5 求差分方程 的通解.,解 对应齐次差分方程的通解为,由于,故可设其特解为：,代入方程，解得：,故原差分方程通解为：,设差分方程 (6) 具有形如,的特解。,于是,即,解得,于是,和,例6 求差分方程 的通解。,解 对应齐次差分方程的通解为,由于,故可设其特解为：,代入方程，解得：,故原差分方程通解为：,设差分方程(7) 具有形如,的特解.,将特解代入差分方程(7)后比较两端同次项系数,确定系数,例7 求差分方程 的通解。,解 对应齐次差分方程的通解为,由于,故可设其特解为,代入方程，得,比较系数：,原差分方程通解
6、为,解得,故方程特解为,设差分方程具有形如,的特解.,综上所述，有如下结论：,若,当 时，(*)式左端为 次多项式，要使 (*) 式成立，则要求,故可设差分方程（8）具有形如,的特解.,前面三种情况都是差分方程（8）的特殊情形：,当 时，取 否则，取,例8（存款模型),为,期存款总额，,利率，按年复利计息，则,与,有如下关系式：,这是关于,的一个一阶常系数齐次线性差分方程，,其中,为初始存款总额.,为存款,其通解为,设,三、 差分方程在经济问题中的简单应用,例9（贷款模型）,设每个月应付x元,(贷款额为,元）,月利率是,第一个月应付利息为,可入住,另一半由银行以年利r贷款,均每月付多少元？共付
7、利息多少元？,n年付清，问平,设某房屋总价为a 元,先付一半,解,第二个月应付利息为,于是依此类推可得,这是一个一阶常系数非齐次线性差分方程，,所以特征根为,，,其对应的齐次线性差分方程的特征方程为,其对应的齐次线性差分方程的通解为,由于1 不是特征方程的根，,代入原方程，得,即,于是,故原方程的通解为,于是令特解,当,时，得,所以原方程满足初始条件的特解为,于是n年利息之和为,由于上式中,也是总利息，所以有,从而得,因此，平均每月付,元，共付利息,元.,该问题可分为两个阶段，第一阶段是在前面20年,例10 （筹措教育经费模型）某家庭从现在着手从每 月工资中拿出一部分资金存入银行，用于投资子女
8、 的教育. 并计划20年后开始从投资帐户中每月支取 1000元，共计支取10年，直到子女完成学业并用完 全部资金.要实现这个投资目标，20年内共要筹措多 少资金？每月要向银行存入多少钱？假设投资的月 利率为0.5%， 10年后子女大学毕业用完全部资金.,分析,解 设从现在到20年内共要筹措 x 元资金，第n个月,每月存入资金 a 元. 同时,.,投资账户资金为In元，,也设 20 年后第 n 个月投资帐户资金为Sn 元，于是，,20 年后，关于Sn的差分方程模型为,每月向银行存入一定数量的资金，第二阶段是在,20 年后将所有资金用于子女教育，每月支取1000元，,10内用完所有资金.,并且,解
9、方程(9)，得通解,以及,（9）,从而有,从现在到20 年内，,In满足的差分方程为,(10),解方程(10), 得通解,，,且,以及,从而有,即要达到投资目标，20 年内要筹措资金 90073.45 元，,平均每月要存入银行 194.95 元.,在自由市场上一定注意过这样的现象：一个时期由 于猪肉的上市量你远大于需求量时，销售不畅会导 致价格下跌，农民觉得养猪赔钱，于是转而经营其 它农副产品.过一段时间猪肉上市量减少，供不应求 导致价格上涨，原来的饲养户觉得有利可图，又重 操旧业，这样下一个时期会重新出现供大于求, 价格 下跌的局面. 在没有外界干预的条件下，这种现象将 一直循环下，在完全自
10、由竞争的市场体系中，这种 现象是永远不可避免的.由于商品的价格主要由需求,例11 (动态经济系统的蛛网模型),关系来决定的，商品数量越多，意味需求量减少， 因而价格越低.而下一个时期商品的数量是由生产者 的供求关系决定，商品价格越低，生产的数量就越 少.当商品数量少到一定程度时，价格又出现反弹. 这样的需求和供给关系决定了市场经济中商品的价 格和数量必然是振荡的. 有的商品这种振荡的振幅 越来越小，最后趋于平稳，有的商品的振幅越来越 大，最后导致经济崩溃.现以猪肉价格的变化与需求和供给关系来研究 上述振荡现象.,图4.1：蛛网模型图,个时期 (假定为一年) 猪肉的产量为,价格为,产量与价格的关
11、系为,这种产销关系可用下述过程来描述：,设第,决定下一时期的产量， 因此,本时期的价格又,设,在图4.1中，是以产量Q和价格P 作为坐标系的横轴和,和纵轴，这种关系很象一个蜘蛛网，故称为蛛网模型.,对于蛛网模型，假定商品本期的需求量,决定于本期,即需求函数为,的价格,商品本期产量,决定于前一期的价格,即供给函数为,从而蛛网模型可以用下述联立方程式来表示：,其中,均为常数且均大于零.,蛛网模型分析了商品的产量和价格波动的三种情况.,下面只讨论一种情形：供给曲线斜率的绝对值大于需求,即当市场由于受到干扰偏离原有的,曲线斜率的绝对值.,均衡状态以后，实际价格和实际产量会围绕均衡水平上下,波动，但波动
12、的幅度越来越小，最后会回复到原来的均衡,点.,假设,在第一期由于某种外在原因的干扰,如恶劣的,减少为,气候条件，实际产量由均衡水平,曲线，消费者愿意支付,根据需求,的价格购买全部的产量,于是，实际价格上升为,.根据第一期较高的价格水平,在第二期，生产者为了出售全部的产量,接受,于是，实际价格下降为,.根据第二期的较低的价格水平,生产者将第三,在第三期，消费者愿意支付,的价格购买全部的产量,于是，实际价格又上升为,根据第三期较高的价格水平,如此循环下去(如图4.2所示)，实际,消费者所愿意支付的价格,期的产量减少为,生产者又将第四,期的产量增加为,产量和实际价格的波动幅度越来越小，最后恢复到均衡
13、,按照供给曲线，生产者将第二期的产量增加为,所代表的水平.,点,图4.2 收敛型蛛网,由此可见，图4.2中的平衡点,所代表的平衡状态是,后，经济制度中存在着自发的,也就是说，由于外在的原因，当价格和产量,稳定的.,偏离平衡点,因素，能使价格和产量自动地恢复均衡状态.产量和,蛛网模型名称的由来.,价格的变化轨迹形成了一个蜘蛛网似的图形，这就是,据统计，某城市2001年某种鲜鱼的产量为30万吨，,举例说明：,价格为6.00元/公斤. 2002年生产该鲜鱼25万吨，价格为,8.00元/公斤.已知2003年的鲜鱼产量为25万吨，并假定,若维持目前的消费水,鲜鱼产量与价格之间是线性关系.,问若干年以后的
14、产量与价格是否会趋于,稳定？若稳定请求出稳定的产量和价格.,平与生产方式，,设2001年鲜鱼的产量为,鲜鱼的价格为,猪肉的产量为,猪肉的价格为,依此类推.根据线性,是一条直线，且,和,在直线上，因此得需求函数为,（11）,2002年,假设，需求函数,供给函数,也是一条直线，且,和,在直线上，因此得供给函数为,（12）,的差分方程,（13）,将(11)式代入到(12式得关于,利用迭代法解方程(13), 于是有,所以,从而,类似于上述推导过程，得到关于,的表达式,于是，,（元/公斤）.,（万吨），稳定的价格为,（元/公斤）.,若干年以后的产量与价格都会趋于稳定，其稳定的产量,为,于是，,（万吨）.,
