1、1,2.2 速率方程组与粒子数反转,本节介绍在增益介质中同时存在抽运、吸收、自发辐射和受激辐射诸多物理过程时，表示各能级粒子数密度变化的规律的速率方程组 由此得出形成粒子数密度反转分布的条件以及在粒子数密度反转分布状态下各参数之间的关系 进一步定量讨论激光器的特性,2,简化的四能级图,多数激光器采用四能级系统，本节用四能级系统为例建立速率方程组。 图示为简化的四能级图，图中没有画出不稳定的E3能级吸收带，只画出了基态E0 、下能级E1、上能级E2。n0、n1、n2分别为基态、下能级、上能级的粒子数密度；R1、R2分别是激励能源将基态E0上的粒子抽运到E1、E2能级上的速率,3,速率方程组,E2
2、能级在单位时间内增加的粒子数密度为单位时间内E1能级上增加的粒子数密度为总粒子数为各能级上粒子数之和以上三个方程组成增益介质中同时存在抽运、自发辐射和受激吸收、受激辐射诸多物理过程时，表示各能级粒子数密度变化规律的速率方程组,4,小信号工作时的粒子能级跃迁,小信号工作时激光器工作在腔内光强比较弱的情况下，此时受激辐射和吸收的几率可以忽略不计,也就是说没有发出激光时； 小信号情况下激光上下能级的跃迁可以表示为下图,5,小信号工作时的简化速率方程组,简化之一：受激辐射与吸收几率很小，可以忽略，即简化之二：由亚稳态跃迁到下能级的自发辐射几率远大于跃迁到基态的自发辐射几率，因此E2能级自发辐射的总系数
3、就是E2能级向E1能级自发辐射的系数 简化之三：在抽运与衰减达到动平衡时，各能级上粒子数密度不随时间变化速率方程组 简化为 式中上标“0”表示小信号,6,小信号粒子数反转分布的条件,利用爱因斯坦系数和能激寿命之间关系，可以由小信号工作时的简化速率方程组导出将两式结合可得因而上下能级粒子数密度差，即粒子数密度反转分布为上式左边大于零，实现“反转”分布的条件：即上能级寿命长，下能级寿命短 激励能源向上能级抽运速率R2要大，激励能源向下能级抽运速率R1要小,7,一般情况下的低能级的粒子数密度,一般情况下，受激辐射和吸收不能忽略时，例如发射激光时，而且激光器工作处在稳态时有式中同样采用了 的简化并且假
4、设简并度 即 两式相加得到说明：低能级上的粒子数密度在小信号情况和一般情况下是相同的，也就是说无论发出激光还是不发出激光，低能级上的粒子数密度不变,8,一般情况下的粒子数密度反转分布,低能级粒子数密度代入速率方程组，解得高能级上粒子数密度为粒子数密度反转分布为上式分母总大于1，因此一般情况下粒子数密度反转分布比小信号时要小，可以用小信号粒子数密度反转分布做为参照来讨论一般情况下的粒子数密度反转分布 一般情况下粒子数密度反转分布与激光工作物质的线型函数有关,9,均匀增宽介质的饱和光强,小信号时粒子数反转分布可以作为一个基准来讨论不同的参数，尤其是不同的线型函数情况下，粒子数反转分布的变化。 对于
5、均匀增宽的介质有粒子数密度反转分布公式中分母第二项可用下述方法表示为其中饱和光强定义为饱和光强对于每种激光工作物质是常数，其物理意义下面在讨论粒子数反转分布时就会显现出来,10,均匀增宽介质粒子数密度反转分布,如果介质中传播的光波频率 ，则有而且对于均匀增宽介质一般情况下的粒子数密度反转分布可以表示为,11,粒子数密度反转分布的饱和效应,粒子数密度反转分布的表达式表明了粒子数密度按照谐振腔内光波频率分布，与光强、饱和光强、中心频率、小信号粒子数密度反转有关。因为小信号粒子数密度反转与抽运速率、能级寿命有关。 一般情况的粒子数密度反转分布就与抽运速率、能级寿命联系起来 粒子数密度反转分布值的饱和
6、效应：当腔内光强I=0（即小信号）时，粒子数反转分布 最大。当腔内光强的影响不能忽略时， 将随光强的增加而减小。,12,饱和效应曲线和饱和光强下 的下降,当腔内光强一定时粒子数反转分布值随腔内光波频率变化，下图为I一定时 随光波频率变化的曲线饱和光强时，粒子数反转 分布值下降的典型值有： 在中心频率处下降一半 在半宽度频率处下降1/3 在半宽度频率一倍处下降1/6,13,饱和效应的影响范围,频率为 、强度为IS的光波使 减少了 ，一般把使 减少 的光波频率与 之间的间隔定义为使介质产生饱和的频率范围粒子数密度反转分布值无法用实验测定，但可由它与增益系数之间的比例关系利用增益系数的实验测定来间接
7、验证。 尽管本节的推导过程有许多简化，实验证明，导出的公式能够反映增益介质与各参量之间的关系,14,2.3 均匀增宽介质的增益系数和增益饱和,小信号增益系数和线型函数 的关系均匀增宽型介质的小信号增益系数和增益饱和,15,小信号增益系数与介质的线型函数,根据增益系数的定义：小信号增益系数可以表示为：又因为光波频率很高，线宽 总是成立的，所以可以用 代替上式中的 ，从而有说明小信号的G与光强无关，仅为频率的函数，且与线型函数 有近似的变化规律。如图2-7所示。,16,均匀增宽型介质的小信号增益系数,均匀增宽型介质有中心频率处的小信号增益系数中心频率处的 与线宽 成反比，这是因为线型函数满足归一化
8、条件，线宽窄时线型函数的峰值大，因此中心频率处的小信号增益系数也就高,17,均匀增宽型介质的增益饱和,当光强为I、频率为 的准单色光进入增益介质，其增益系数为增益饱和的物理解释：介质中粒子数密度反转分布值因受激辐射的消耗而下降，光强越强，受激辐射几率越大，上能级粒子数密度减少得越多，使粒子数密度反转分布值下降越多，进而使增益系数也同时下降，直到达到饱和光强，光放大过程停止。 饱和增益可以分三种情况讨论,18,中心频率处介质增益系数,介质对频率为 、光强为I的光波的增益系数为饱和光强Is是激光工作物质的光学性质，不同物质差别很大 氦氖激光器（632.8nm谱线） Is大约为0.3W/mm2 氩离
9、子激光器（514.5nm谱线） Is大约为7.0W/mm2 纵向二氧化碳激光器（10.6微米谱线） Is大约为0.3W/mm2,19,中心频率附近的介质增益系数,此时均匀介质对光波的增益系数为由于 与 相似,可表示为代入得,20,增益和增益饱和作用的范围,均匀增宽型介质的增益饱和曲线如图2-8 均匀增宽型介质的增益与增益饱和作用的频率范围与粒子数密度反转分布饱和作用的频率范围相同 在上述范围外,介质对光波的增益作用及光波对介质的增益饱和作用都很微弱在上述范围的两端，增益系数下降到中心频率处增益系数的一半，相对于小信号中心频率处的增益系数则降低到1/4.,21,强光作用下的增益介质对 另一小信号的增益系数,在腔内传播着频率为 、强度为I的光波时，介质中E2上能级上的粒子数密度在 I的激励下大大减少为 此时介质对另一小讯号 的增益系数也下降为 对于均匀增宽型介质来说，在光强I的作用下，介质的光谱线型不变、线宽不变、增益系数随频率的分布也不变，它仅仅使增益系数在整个线宽范围内下降同样的倍数,22,习 题,习题P48：1，2，3，4,
