1、13.2 导数的计算32.1 几个常用函数的导数32.2 基本初等函数的导数公式及导数的运算法则(教师用书独具)三维目标1.知识与技能(1)熟练掌握基本初等函数的导数公式；(2)掌握导数的四则运算法则2过程与方法能利用给出的基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则求简单函数的导数3情感、态度与价值观通过学习本节课，培养学生对问题的认知能力由于利用定义求函数的导数非常复杂，本节课直接给出了几个基本初等函数的导数公式表和导数的运算法则学生不用推导而直接去求一些简单函数的导数，认识事物之间的普遍联系，达到学有所用，在训练中也有加深了学生对学习数学的兴趣，激发学生将所学知识应用于实际的求知欲，培养浓
2、厚的学习兴趣重点、难点重点：基本初等函数的导数公式、导数的四则运算法则难点：基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则的应用(教师用书独具)2教学建议 本节内容是应用导数公式和四则运算法则解决求导数问题，记住公式和法则是应用的前提，通过出示不同类型的例题与习题，进行反复的训练与强化是突破重点、难点的关键教学流程创 设 问 题 情 境 ， 引 出 问 题 ： 有 没 有 更 简 洁 的 求 导 方 法 ？引 导 学 生 通 过 导 数 的 定 义 推 导 出 几 个 常 用 函 数 的 导 数 公 式 .通 过 引 导 学 生 回 答 所 提 问 题 导 出 导 数 的 运 算 法 则 .通 过
3、 例 1及 其 变 式 训 练 ， 使 学 生 掌 握 用 求 导 公 式 求 初 等 函 数 的 导 数 .通 过 例 2及 其 变 式 训 练 ， 使 学 生 掌 握 用 求 导 公 式 和 导 数 的 运 算 法 则 求 导 .复 习 回 顾 导 数 的 几 何 意 义 ， 完 成 例 3及 其 变 式 训 练 ， 解 决 导 数 的 应 用 问 题 .归 纳 整 理 ， 进 行 课 堂 小 结 ， 整 体 认 识 本 节 课 所 学 知 识 .完 成 当 堂 双 基 达 标 ， 巩 固 所 学 知 识 并 进 行 反 馈 矫 正 .(对应学生用书第 52 页)课标解读1.了解导数公式的
4、推导过程、理解导数的四则运算法则(难点)2掌握几种常见函数的导数公式(重点)3能够运用导数公式和求导法则进行求导运算(重点)基本初等函数的导数公式【问题导思】 1用导数的定义求导数的步骤是怎样的？【提示】 求函数值的变化量；求平均变化率；取极值，得导数2我们发现，用导数的定义求导数很复杂，能不能总结出常用函数的求导公式呢？【提示】 能3基本初等函数的导数公式原函数 导函数f(x) c f( x)0f(x) x ( Q *) f( x) x 1f(x)sin x f( x)cos_ xf(x)cos x f( x)sin_ x续表 原函数 导函数f(x) ax f( x) axln_a(a0 且
5、 a1)f(x)e x f( x)e xf(x)log ax f( x) (a0 且 a1)1xln af(x)ln x f( x) 1x导数的运算法则【问题导思】 一个函数可以求其导数，那么两个函数加、减、乘、除能求导吗？【提示】 能设两个函数 f(x)， g(x)可导，则和的导数 f(x) g(x) f( x) g( x)差的导数 f(x) g(x) f( x) g( x)积的导数 f(x)g(x) f( x)g(x) f(x)g( x)商的导数 (g(x)0)f xg x f x g x f x g xg x 24(对应学生用书第 53 页)用求导公式求函数的导数求下列函数的导数(1)y
6、 x8 (2) y (3) y1x4 3x(4)y2 x (5) ylog 2x (6) ycos x【思路探究】 (1)以上函数分别是什么类型的函数？(2)这种函数的求导公式是怎样的？【自主解答】 (1) y( x8)8 x81 8 x7.(2)y( )( x4 )4 x5 .1x4(3)y( )( x ) x 1 x .3x13 1313 13 23(4)y(2 x)2 xln 2.(5)y(log 2x) .1xln 2(6)y(cos x)sin x.1基本初等函数的求导公式是求导数基本依据，一定要记清形式，学会使用公式求导2对于形如 y ， y 的函数一般先转化为幂函数的形式，再用幂
7、函数的求导公1xp nx式求导3要区分指数函数、对数函数的求导公式，以免在运用时混淆求下列函数的导数；(1)y10；(2) y x10；(3)y ；(4) y ；3x213x25(5)y3 x；(6) ylog 3x.【解】 (1) y(10)0(2)y( x10)10 x101 10 x9.(3)y( x ) x 1 x .23 2323 23 13 233x(4)y( x ) x 1 x .23 23 23 23 53 233x5(5)y(3 x)3 xln 3.(6)y(log 3x) .1xln 3用求导公式和导数运算法则求导求下列函数的导数：(1)f(x)( x2)( x3)；(2)
8、 f(x)lg x3 x；(3)f(x) ；(4) f(x) .11 x 11 x sin x1 sin x【思路探究】 【自主解答】 (1) f(x) x2 x6， f( x)( x2 x6)2 x1.(2)f( x)(lg x)(3 x) 3 xln 3.1xln 10(3)y ，11 x 11 x 1 x 1 x 1 x 1 x 21 x y( ) .21 x 2 1 x 1 x 2 2 1 x 2(4) f(x) 1 ，sin x1 sin x 11 sin x f( x)1( )11 sin x . 1 sin x 1 sin x 2 cos x 1 sin x 21应用导数运算法则
9、求函数的导数的技巧：(1)求导之前，对三角恒等式先进行化简，然后再求导，这样既减少了计算量，又可少出错6(2)利用代数恒等变形可以避开对商的形式求导(3)在函数中有两个以上的因式相乘时，要注意多次使用积的求导法则，能展开的先展开成多项式，再求导2应用导数运算法则求函数的导数的原则：结合函数解析式的特点先进行恒等变形，把一个函数化成几个基本初等函数的加、减、乘、除运算，再套运算法则求下列函数的导数：(1)y x53 x35 x26； (2) y(2 x23)(3 x2)；(3)y ； (4) ysin (12cos 2 )x 1x 1 x2 x4【解】 (1) y( x53 x35 x26)(
10、x5)(3 x3)(5 x2)65 x49 x210 x.(2)法一 y(2 x23)(3 x2)(2 x23)(3 x2)4 x(3x2)3(2 x23)18 x28 x9.法二 y(2 x23)(3 x2)6 x34 x29 x6， y18 x28 x9.(3)法一 y( )x 1x 1 x 1 x 1 x 1 x 1 x 1 2 . x 1 x 1 x 1 2 2 x 1 2法二 y 1 ，x 1x 1 x 1 2x 1 2x 1 y(1 )( )2x 1 2x 1 .2 x 1 2 x 1 x 1 2 2 x 1 2(4)ysin (12cos 2 )sin (cos ) sin x，
11、 y( sin x) (sin x)x2 x4 x2 x2 12 12 12 cos x.12导数的应用在抛物线 y x2上求一点，使之到直线 4x3 y80 的距离最小【思路探究】 (1)平行于直线 4x3 y80 且与抛物线相切的直线与抛物线y x2的切点是否满足题意？(2)该切点的坐标如何求出？7【自主解答】 如图所示，由题意知作与 4x3 y80 平行的直线 l，当 l 与y x2相切时，切点 P 到直线 4x3 y80 的距离最小设切点为( x0， x )，又 y( x2)2 x，202 x0 ， x0 ， y0 x ，43 23 20 49点 P( ， )，23 49即抛物线 y
12、x2上的点( ， )到直线的距离最小23 49利用导数的四则运算法则和基本初等函数的求导公式，结合导数的几何意义，可以求解一些与距离、面积有关的几何问题，解题的关键是正确运用曲线的切线已知点 P 是曲线 y x2ln x 上一点，求点 P 到直线 y x2 的最小距离【解】 过 p 作 y x2 的平行直线，且与曲线 y x2ln x 相切，设 P(x0， x ln 20x0)，则 k y| x x02 x0 1， x01 或 x0 (舍去)， p 的坐标为(1,1)，1x0 12 dmin .|1 1 2|1 1 2(对应学生用书第 54 页)因公式记忆不准确致误求函数 ysin xcos
13、x 的导数【错解】 y(sin x)(cos x)cos xsin x【错因分析】 (cos x)sin x，错解中因漏掉负号致误8【防范措施】 应熟记基本初等函数的求导公式和导数的四则运算法则，以防因记忆不牢而致误【正解】 y(sin x)(cos x)cos xsin x.本堂课的主要内容是利用基本初等函数的求导公式和导数的运算法则求导数的运算在运算中，熟记有关的求导公式是关键，但对运算法则更应熟练掌握，特别是对商的运算，应与积的运算予以区别记忆，同时也要注意它们之间的联系.(对应学生用书第 54 页)1已知函数 f(x) ，则 f(3)等于( )1xA4 B. C D19 14 19【解
14、析】 ( ) ， f(3) .1x 1x2 1 3 2 19【答案】 D2下列各式中正确的是( )A(ln x) x B(cos x)sin xC(sin x)cos x D( x5 ) x615【解析】 (ln x) ，(cos x)sin x，( x5 )1x95 x51 ，A、B、D 均不正确；C 正确5x6【答案】 C3下列求导正确的是( )A( x )11x 1x2B(log 2x)1xln 2C(3 xln 3)3 xln 313D( x2cos x)2 xsin x【解析】 1 1 ，A 不正确(x1x) (1x) 1x2(3xln 3)(3 x)(ln 3)3 xln 3，C
15、不正确(x2cos x)2 xcos x x2sin x，D 不正确【答案】 B4求曲线 y 在点(1，1)处的切线方程xx 2【解】 y( ) .xx 2 2 x 2 2 k y| x1 2切线方程为 y12( x1)，即 2x y10.(对应学生用书第 107 页)一、选择题1(2013普宁高二检测)设函数 f(x) xln x，若 f( x0)2，则 x0( )Ae 2 Be C. Dln 2ln 22【解析】 f( x)ln x1， f( x0)ln x012.ln x01， x0e.【答案】 B2(2013广元高二检测)曲线 y xex2 x1 在点(0,1)处的切线方程为( )10
16、A x3 y30 B3 x y10C3 x y10 D x3 y30【解析】 ye x xex2， y| x0 3 k.曲线在点(0,1)处的切线方程为 y13 x，即 3x y10.【答案】 B3设曲线 y ax2在(1， a)处的切线与直线 2x y60 平行，则 a 等于( )A1 B. C D112 12【解析】 y2 ax，在点(1， a)处切线的斜率 k y| x1 2 a.由题意可得 2a2， a1.故选 A.【答案】 A4函数 y 的导数是( )x1 cos xA. B.1 cos x sin x1 cos x 1 cos x xsin x 1 cos x 2C. D.1 co
17、s x sin x 1 cos x 2 1 cos x xsin x 1 cos x 2【解析】 y .x 1 cos x x 1 cos x 1 cos x 2 1 cos x xsin x 1 cos x 2【答案】 B5设函数 f(x) x3 x2tan ，其中 0， ，则导数 f(1)的sin 3 3cos 2 512取值范围是( )A2,2 B ， 2 3C ，2 D ，23 2【解析】 f( x) x2sin xcos ，3 f(1)sin cos 2sin( )，3 3 0， ，sin( ) ，1，512 3 22 f(1) ，22【答案】 D二、填空题6设函数 f(x) x32
18、 x2 x5，则 f(1)_.【解析】 f( x)3 x24 x1， f(1)31 24110.【答案】 0117(2013张家港高二检测)设函数 f(x)( x a)(x b)(x c)，( a， b， c 是两两不等的常数)，则 _.af a bf b cf c【解析】 f( x)( x a)(x b)( x b)(x c)( x c)(x a)，代入即得 af a bf b cf c a a b a c b b c b a c c a c b a b c b c a c a b a b b c c a 0. ab ac bc ab ac bc a b b c c a【答案】 08(201
19、3重庆高二检测)设曲线 y xn1 (nN *)在点(1,1)处的切线与 x 轴的交点的横坐标为 xn，令 anlg xn，则 a1 a2 a99的值为_【解析】 f(1) n1， y xn1 在点(1,1)处的切线方程为 y( n1)( x1)1.令 y0，得 xn ，nn 1 anlg nlg( n1)， a1 a2 a99lg 1lg 1002.【答案】 2 三、解答题9求下列函数的导数(1)y xsin cos ；x2 x2(2)y cos x.1x【解】 (1) y xsin cos x sin x，x2 x2 12 y1 cos x.12(2)y cos x (cos x)(1xc
20、os x) (1x) 1x cos x sin x x cos x sin x(x12) 1x 12 32 1x sin x .cos x2x3 1x cos x 2xsin x2xx10已知函数 f(x) ，曲线 y f(x)在点(1， f(1)处的切线方程为aln xx 1 bx12x2 y30，求 a， b 的值【解】 (1) f( x) .a(x 1x ln x) x 1 2 bx2由于直线 x2 y30 的斜率为 ，且过点(1,1)，故Error!即Error!解得Error!12所以 a1， b1.11设函数 f(x) ax ，曲线 y f(x)在点(2， f(2)处的切线方程为b
21、x7x4 y120.(1)求 f(x)的解析式；(2)求证曲线 y f(x)上任一点处的切线与直线 x0 和直线 y x 所围成的三角形面积为定值，并求此定值【解】 (1)7 x4 y120 可化为 y x3.74当 x2 时， y .12又 f( x) a ，于是Error!解得Error!bx2故 f(x) x .3x(2)【证明】 设点 P(x0， y0)为曲线上任一点，由 y1 可知曲线 y f(x)在点3x2P(x0， y0)处的切线方程为 y y0(1 )(x x0)，即 y( x0 )(1 )(x x0)3x20 3x0 3x20令 x0，得 y ，从而得切线与直线 x0 的交点
22、坐标为(0， )令 y x，得6x0 6x0y x2 x0，从而得切线与直线 y x 的交点坐标为(2 x0,2x0)所以点 P(x0， y0)处的切线与直线 x0， y x 所围成的三角形面积为 |2x0|6.12 | 6x0|故曲线 y f(x)上任一点处的切线与直线 x0， y x 围成的三角形的面积为定值，此定值为 6.(教师用书独具)13设 f0(x)sin x， f1(x) f 0(x)， f2(x) f 1(x)， fn1 (x) f n(x)， nN，则 f2 011(x)( )Asin x Bsin x Ccos x Dcos x【解析】 f1(x)(sin x)cos x，
23、 f2(x)(cos x)sin x， f3(x)(sin x)cos x， f4(x)(cos x)sin x， f5(x)(sin x) f1(x)， f6(x) f2(x)， fn4 (x) fn(x)，可知周期为 4. f2 011(x) f3(x)cos x.【答案】 D已知 f1(x)sin xcos x，记 f2(x) f1( x)， f3(x) f2( x)， fn(x) fn1 ( x)(nN *， n2)，则 f1( ) f2( ) f2 011( )_. 2 2 2【解析】 f2(x) f1( x)cos xsin x，f3(x)(cos xsin x)sin xcos x，f4(x)cos xsin x， f5(x)sin xcos x，以此类推，可得出 fn(x) fn4 (x)又 f1(x) f2(x) f3(x) f4(x)0， f1( ) f2( ) f2 011( ) 2 2 2 f1( ) f2( ) f3( ) f4( ) 2 2 2 2cos sin 1. 2 2【答案】 1
