1、1第 5 节 探究弹性势能的表达式备课参考理解领悟探究是通过自己的探索活动，变未知为已知的学习过程。探究的目的是开发创造潜能，启发思维，使自己参与到教与学的活动中去。在自己思考的前提下，设计自己的探究方案，这个方案可以包含实验，也可以不包含实验。本节“探究弹性势能的表达式”就是一个不包含实验的探究。1. 什么是弹性势能？发生弹性形变的物体的各部分之间，由于有弹力的相互作用，也具有势能，这种势能叫做弹性势能。可见，物体具有弹性势能的条件是发生了弹性形变。卷紧的发条、拉长或压缩的弹簧、拉开的弓、正在击球的网球拍、撑杆运动员手中弯曲的杆，等等，都发生了弹性形变，都具有弹性势能。2. 研究弹性势能的出
2、发点弹性势能与重力势能都是物体凭借其位置而具有的能。在讨论重力势能的时候，我 们从重力做功的分析入手。同样，在讨论弹性势能的时候，则要从弹力做功的分析入手。弹力做功应是我们研究弹性势能的出发点。3. 弹性势能表达式中相关物理量的猜测弹性势能的表达式可能与哪些物理量有关呢？ 可能与弹簧被拉伸（或压缩）的长度有关。这是因为，与重力势能相类比，重力势能与物体被举起（或下降）的高度有关，所以弹性势能很可能与弹簧被拉伸（或压缩）的长度有关。重力势能与高度成正比，但是弹性势能与弹簧被拉伸（或压缩）的长度则不一定成正比，在地球表面附近可认为重力不随高度变化，而弹力在弹簧形变过程中则是变力。 可能与弹簧的劲度
3、系数有关。这是因为，不同弹簧的“软硬”程度不同，即劲度系数不同，使弹簧发生相同长度的形变所需做的功也不相同。4. 弹性势能与拉力做功的关系当弹簧的长度为原长时，我们设它的弹性势能为 0，弹簧被拉长或缩短后就具有了弹性势能。我们研究弹簧被拉长的情 况，那么弹簧的弹性势能应该与拉力所做的功相等。可见，研究弹性势能的表达式，只需研究拉力做功的表达式。5. 如何计算拉力所做的功？在拉伸弹簧的过程中，拉力是随弹簧的形变量的变化而变化的，拉力还因弹簧的不同而不同。因此，拉力做功不能直接用功的公式 W=Flcos 。那么，如何求出拉力的功呢？与研究匀变速直线运动的位移方法类似，就是将弹簧的形变过程分成很多小
4、段，每一小段中近似认为拉力是不变的。所以，每一小段的功分别为W1=F1 l1， W2=F2 l2， W3=F3 l3，拉力在 整个过程中所做的功为W=W1+W2+W3+=F1 l1+ F2 l2+ F3 l3+6. 如何计算求和式？要直接计算上述各小段功的求和式是较困难的。与匀变速直线运动中利用 v t 图象求位移 x 相似，我们可以画出 F l，如图 1 所示。每段拉力的功就可用图中细窄的矩形面积表示，对这些矩形面积求和，就得到了由 F 和 l 围成的三角形的面积，这块三角形面积就表示拉力在整个过程中所做的功。7. 弹力做功与弹性势能变化的关系图 1OFl2弹力做功与弹性势能变化的关系，跟重
5、力做功与重力势能变化的关系及其相似。重力做正功，重力势能减少；重力做负功（物体克服重力做功） ，重力势能增加。同样，弹力做正功，弹性势能减少；弹力做负功（物体克服弹力做功） ，弹性势能增加。8. 弹性势能也具有相对性在本节的“说一说”栏目中，提出了“能不能规定弹簧某一任意长度时的 势能为 0 势能”的问题。这个问题可与重力势能参考平面的选取相比较。如果我们规定了弹簧某一任意长度时的势 能为 0 势能，在弹簧从 0 势能位置拉至某一位置的过程中， 拉力所做的功就等于弹簧处于该位置的弹性势能。显然，这与规定自然长度为 0 势能时，从从 0 势能位置拉至该位置的功是不同的。所以，弹簧在某一位置时的弹
6、性势能是与 0 势能位置的规定有关 的，弹性势能也具有相对性。典型例题解析本节课的应用主要涉及对弹性势能概念的理解，以及对弹性势能表达式探究过程的分析和研究方法的迁移。作为“发展级”的应用，也涉及弹性 势能表达式的计算。例 1 关于弹性势能，下列说法中 正确的是（ ）A. 任何发生弹性形变的物体，都具有弹性势能B. 任何具有弹性势能的物体，一定发生了弹性形变C. 物体只要发生形变，就一定具有弹性势能D. 弹簧的弹性势能只跟弹簧被拉伸或压缩的长度有关提示 由 弹性势能的定义和相关因素进行判断。解析 发生弹性形变的物体的各部分之间，由于弹力作 用而具有的势能，叫做弹性势能。所以，任何发生弹性形变的
7、物体都具有弹性势能，任何具有弹性势能的物体一定发生了弹性形变。物体发生了形变，若是非弹性形变，无弹力作用，则物体就不具有弹性势能。弹簧的弹性势能除了跟弹簧被拉伸或压缩的长度有关外，还跟弹簧劲度系数的大小有关。正确选项为 A、B。点悟 发生形变的物体不一定具有弹性势能，只有发生弹性形变的物体才具有弹性势能。对此，必须有清醒的认识。例 2 在本节课的探究活动中，我们多次采用了类比的研究方法，试举例说明。提示 认真阅读课本，再给出解答。解析 在本节课的探究活动中，采用类比研究方法的地方主要有： 研究弹性势能的出发点，将重力势能与弹性势能类比。讨论重力势能从分析重力做功入手，讨论弹性势能则从分析弹力做
8、功入手。 弹性势能表达式中相关物理量的猜测，将重力势能与弹性势能、重力与弹力类比。重力势能与物体被举起的高度有关，所以弹性势能很可能与弹簧被拉伸的长度有关。弹力与重力的变化规律不一样，弹性势能与重力势能的表达式很可能也不一样。 计算拉力所做的功，与计算匀变速直线运动的位移类比。计算匀变速直线运动的位移时，将位移分成很多小段，每一小段的速度可近似认为相等，物体在整个过程中的位移等于各小段位移之和。计算拉力所做的功，可将弹簧的形变过程分成很多小段，每一小段的拉力可近似认为是不变的，拉力在整个过程中的功 等于各小段功之和。 计算各小段功的求和式，将由 v t 图象求位移与由 Fl 图象求功类比。 v
9、 t图象下的相关面积表示位移， Fl 图象下的相关面积则表示功。点悟 类比，就是将同类型的事物或问题进行对比，从中找出规律性的东西。类比的方法，是物理学中一种重要的研究 方法。例 3 教材中说：“在探究弹性势能的表达式时，可以参考对重力势能的讨论。 ”当物体处于参考平面时，重力势能为 0；在参考平面上方，重力势能为正；在参考平面下方，3重力势 能为负。当弹簧的长度为原长时，弹簧的弹性势能为 0；弹簧拉伸时，弹性势能为正；那么，弹簧压缩时弹性势能也为负值吗？为什么？提示 注意弹力做功与重力做功的差异。解析 弹力做功与重力做功有所不同。当物体从参考平面向下运动时，重力做正功，重力势能减少。所以，在
10、参考平面下方，重力势能为负。若规定弹簧的长度为原长时，弹簧的弹性 势能为 0，当弹簧压缩时弹力并不是做正功而是做负功，弹性势能并不是减少而是增加。所以，弹簧压缩时弹性势能不是负值而是正值。点悟 类比是一种常用的科学研究方法。但是，类比不是机械地等同。在运用类比方法时，既要注意相关事物或问题间的共同点，也要注意它们的 差异，注意研究事物或问题本身的特点。例 4 弹簧原长为 l0， 劲度系数为 k。用力把它拉到伸长量为 l，拉力所做的功为 W1；继续拉弹簧，使弹簧在弹性限度内再伸长 l，拉力在继续拉伸的过程中所做的功为 W2。试求 W1与 W2的比值。提示 利用 Fl 图象分析。解析 拉力 F 与
11、弹簧的伸长量 l 成正比，故在 Fl 图象中是一条倾斜直线，如图 2 所示，直线下的相关面积表示功的大小。其中，线段 OA 下的三角形面积表示第一个过程中拉力所做的功 W1，线段 AB下的梯形面积表示第二个过程中拉力所做的功 W2。显然，两块面积之比为 13，即 W1 W2=13。点悟 上述解法采用了教材探究弹性势能表达式的研究方法，即应用 Fl 图象直观地进行 分析。若记得弹性势能的表达式，也可由弹性势能的表达式进行计算。由于拉力做功增加了弹簧的弹性势能 ，故有， 。21kl2231)(klllk所以， W1与 W2的比值 W1 W2= =13。l23例 5 如图 3 所示，劲度系数为 k
12、的轻质弹簧一端固定，另一端与物块拴接，物块放在光滑水平面上。现用外力缓慢拉动物块，若外力所做的功为 W，则物块移动了 多大的距离？提示 外力所做的功等于弹簧弹性势能的增 加。解析 若以 Ep表示弹簧最终的弹性势能，则外力所做的功。21klEWp所以，弹簧的伸长量亦即物块移动的距离 。l点悟 教材附注指出：“学习这节时，要着重体会探究的过程和所用的方法，不要求掌握探究的结论，更不要求用弹性势能的表达式解题。 ”这里涉及弹性势能表达式的应用问题，只是作为“发展级”要 求提出的，仅供学有余力的同学参考。例 6 如图 3 所示，质量为 m 物体静止在地面上，物体上面连着一个直立的轻质 弹簧，弹簧的劲度
13、系数为 k。现用手拉住弹簧上端，使弹簧上端缓慢提升高度 h，此时物体已经离开地面，求拉力所做的 功。提示 从拉力做功的效果出发进行分析。解析 拉力做功，增加了物体的重力势能和弹簧的弹性势能。 图 3kFmBFO ll 2lA图 24物体离开地面后，弹簧的伸长量为。kmgx可见，物体上升的高度为 。h从而，物体重力势能的增加量为。)(kggEp弹簧的弹性势能为。mxklp 2)(21)(21所以，拉力所做的功为。)()(2kghkghmgEWp 点悟 在上提的整个过程中，拉力 F 是个变力，因此求拉力的功不能直接用功的公式W=Flcos 进行计算。本题的求解提供了计算变力功的另一种思路，即从做功
14、的效果出发进行分析，或者说从功与能的关系出发进行分析。巩固练习1. 关于弹性势能，以下说法中正确的是（ ）A. 发生弹性形变的物体一定具有弹性势能B. 发生弹性形变的物体不一定具有弹性势能C. 发生形变的 物体一定具有弹性势能D. 发生形变的物体不一定具有弹性势能2. 讨论弹性势能，要从下述问题的分析入手的是（ ）A. 重力做功 B. 弹力做功 C. 弹簧的劲度系数 D. 弹簧的形变量3. 弹簧的一端固定，原处于自然长 度。现对弹簧的另一端施加一个拉力，关于拉力做功（或弹簧克服拉力做功）与弹性势能变化的关系，以下说法中正 确的是（ ）A. 拉力对弹簧做正功，弹簧 的弹性势能增加B. 拉力对弹簧
15、做正功，弹簧的弹性势能减少C. 弹簧克服拉力做功。弹簧的弹性势能增加D. 弹簧克服拉力做功，弹簧的弹性势能减少4. 弹性势能的表达式可能与哪些物理量有关？并说说你猜测的理由。5. 用拉力将弹簧拉伸长度 l，如何计算拉力所做的功？6. 如何计算上问中各小段拉力做功的求和式？7. 如图 4 所示，劲度系数为 k 的轻质弹簧一端固定，另一端与物块拴接，物块放在光滑水平面上。现用外力缓慢推动物块，将弹簧压缩了长度 l，试用图象法求在此过程中外力所做的功。8. 两弹簧的劲度系数之比为 12，在弹性限度内的形变量之比为 21，则它们的弹性势能之比为（ ）A. 12 B. 21 C. 14 D. 419.
16、如图 5 所示，轻质弹簧直立在水平地面上，将质量为 m 的物块轻轻地放图 4F图 5m5在弹簧上，达到稳定状态时弹簧被压缩了 l，则此时弹簧具有的弹性势能为多大？10. 如图 6 所示，轻质弹簧一端固定，另一端与物块拴接，物块放在光滑水平面上。现用外力缓慢拉动物块，使物块移动了距离 l，在此过程中外力所做的功为 W，则弹簧的劲度系数为多大？参考答案1. AD 2. B 3. AC4. 参阅本节“理解领悟”3。5. 参阅本节“理解领悟”5。6. 参阅本节“理解领悟”6。7. 外力 F 与弹簧的压缩量 l 成正比，故在 Fl 图象中是一条倾斜直线，如图 7 所示，直线下的三角形面积表示外力 F 所做功 W 的大小，故。2121klllW8. D 由 可得， Ep1 Ep1= 21。klEp 22lk9. 物块放在弹簧上达到稳定状态时 mg=kl，故弹簧的劲度系数 。lmg所以，此时弹簧具有的弹性势能为。llklEp 212110. 外力所做的功等于弹簧弹性势能的增加，故有。klWp所以，弹簧的劲度系数为 。2l图 6FFO lFl图 7
