1、2016 届高三模拟考试试卷(六)数 学(满分 160 分，考试时间 120 分钟)20161一、 填空题：本大题共 14 小题，每小题 5 分，共 70 分1. 设复数 z 满足(zi)(2 i) 5(i 为虚数单位) ，则 z_2. 设全集 U1 ，2，3，4，集合 A1，3 ，B 2 ，3，则B UA_3. 某地区有高中学校 10 所、初中学校 30 所、小学学校 60 所现采用分层抽样的方法从这些学校中抽取 20 所学校对学生进行体质健康检查，则应抽取初中学校_所4. 已知双曲线 C： 1(a0，b0) 的一条渐近线经过点 P(1，2)，则该双曲线x2a2 y2b2的离心率为_(第 7
2、 题)5. 函数 f(x)log 2(x 22 )的值域为_26. 某校从 2 名男生和 3 名女生中随机选出 3 名学生做义工，则选出的学生中男女生都有的概率为_7. 如图所示的流程图中，输出 S 的值是_8. 已知四棱锥 PABCD 的底面 ABCD 是边长为 2，锐角为 60的菱形，侧棱 PA底面ABCD，PA3.若点 M 是 BC 的中点，则三棱锥 MPAD 的体积为_9. 已知实数 x，y 满足 则 2xy 的最大值为_4x y 10，4x 3y 20，x 0，y 0， )10. 已知平面向量 a(4 x，2 x)，b ，xR.若 a b，则(1， 2x 22x )|ab| _11.
3、 已知等比数列a n的各项均为正数，且 a1a 2 ，a 3a 4a 5a 640，则49的值为 _a7 a8 a99(第 12 题)12. 如图，直角梯形 ABCD 中，ABCD，DAB90，ADAB4，CD1，动点 P 在边 BC 上，且满足 m n (m，n 均为正实数 )，则 的最小值为AP AB AD 1m 1n_13. 在平面直角坐标系 xOy 中，已知圆 O：x 2y 21，O 1：(x4) 2y 24，动点 P 在直线 x yb0 上，过 P 分别作圆 O，O 1 的切线，切点分别为 A，B，若满足 PB2PA3的点 P 有且只有两个，则实数 b 的取值范围是_14. 已知函数
4、 f(x) 若不等式 f(x)kx 对 xR 恒成立，则实数 k2x2 3x， x 0，ex e2， x 0. )的取值范围是_二、 解答题：本大题共 6 小题，共 90 分. 解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤15. (本小题满分 14 分)在ABC 中，角 A，B ，C 的对边分别为 a，b，c ，已知 cos(BC)1cosA，且b，a，c 成等比数列求：(1) sinBsinC 的值；(2) A 的值；(3) tanBtanC 的值16.(本小题满分 14 分)如图，在正三棱柱 A1B1C1ABC 中，点 D，E 分别是 A1C，AB 的中点(1) 求证：ED 平面 BB1
5、C1C；(2) 若 AB BB1，求证：A 1B平面 B1CE.217. (本小题满分 14 分)已知等差数列a n的公差 d 为整数，且 akk 22，a 2k(k2) 2，其中 k 为常数且kN *.(1) 求 k 及 an；(2) 设 a11，a n的前 n 项和为 Sn，等比数列b n的首项为 1，公比为 q(q0)，前 n项和为 Tn.若存在正整数 m，使得 T 3，求 q.S2Sm18. (本小题满分 16 分)如图，直线 l 是湖岸线，O 是 l 上一点，弧 AB 是以 O 为圆心的半圆形栈桥，C 为湖岸线 l 上一观景亭现规划在湖中建一小岛 D，同时沿线段 CD 和 DP(点
6、P 在半圆形栈桥上且不与点 A，B 重合)建栈桥考虑到美观需要，设计方案为 DPDC，CDP60且圆弧栈桥 BP 在CDP 的内部已知 BC2OB2(km)设湖岸 BC 与直线栈桥 CD，DP 及圆弧栈桥 BP 围成的区域( 图中阴影部分) 的面积为 S(km2)，BOP.(1) 求 S 关于 的函数关系式；(2) 试判断 S 是否存在最大值，若存在，求出对应的 cos 的值；若不存在，说明理由19. (本小题满分 16 分)在平面直角坐标系 xOy 中，设椭圆 1(a b0)的离心率是 e，定义直线 yx2a2 y2b2为椭圆的“类准线” 已知椭圆 C 的“类准线”方程为 y2 ，长轴长为
7、4.be 3(1) 求椭圆 C 的方程；(2) 点 P 在椭圆 C 的“类准线 ”上( 但不在 y 轴上)，过点 P 作圆 O：x 2y 23 的切线l，过点 O 且垂直于 OP 的直线与 l 交于点 A，问点 A 是否在椭圆 C 上？证明你的结论20. (本小题满分 16 分)已知 a，b 为实数，函数 f(x)ax 3bx.(1) 当 a1 且 b1，3时，求函数 F(x) 2b1 的最大值|f（x）x lnx| (x 12， 2)M(b)；(2) 当 a0，b1 时，记 h(x) .lnxf（x） 函数 h(x)的图象上一点 P(x0，y 0)处的切线方程为 yy(x)，记 g(x)h(
8、x) y(x)问：是否存在 x0，使得对于任意 x1(0，x 0)，任意 x2(x 0，)，都有 g(x1)g(x2)0 恒成立？若存在，求出所有可能的 x0 组成的集合；若不存在，说明理由； 令函数 H(x) 若对任意实数 k，总存在实数 x0，使得 H(x0)k 成x2e， x s，h（x）， 0 x s， )立，求实数 s 的取值集合2016 届高三模拟考试试卷(六)数学附加题 (满分 40 分，考试时间 30 分钟)21. 【选做题】 在 A、B、C、D 四小题中只能选做 2 题，每小题 10 分，共 20 分若多做，则按作答的前两题计分解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤A
9、. (选修 41：几何证明选讲)如图所示，ABC 是圆 O 的内接三角形，且 ABAC，APBC，弦 CE 的延长线交AP 于点 D.求证： AD2DEDC.B. (选修 42：矩阵与变换)已知矩阵 M 的属于特征值 8 的一个特征向量是 e ，点 P(1，2)在 M 对应a 24 b 11的变换作用下得到点 Q，求 Q 的坐标C. (选修 44：坐标系与参数方程)在平面直角坐标系 xOy 中，曲线 C： ( 为参数)以原点 O 为极点，xx 6cos ，y 2sin )轴正半轴为极轴，建立极坐标系，直线 l 的极坐标方程为 (cos sin)40.求曲线3C 上的点到直线 l 的最大距离D.
10、 (选修 45：不等式选讲)已知|x| 2，|y|2，求证：|4xy|2|xy|.【必做题】 第 22、23 题，每小题 10 分，共 20 分解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤22. 如图，在四棱柱 ABCDA1B1C1D1 中，侧面 ADD1A1底面ABCD，D 1A D1D ，底面 ABCD 为直角梯形，其中2BCAD，ABAD，AD2AB2BC2.(1) 在平面 ABCD 内找一点 F，使得 D1F平面 AB1C；(2) 求二面角 CB1AB 的平面角的余弦值23.已知数列a n满足 an (nN *)，a 1，0，1.设 ba .an 1 a n 1a a 1 1a(1)
11、 求证：a n1 ba na n1 (n2，nN *)；(2) 当 n(nN *)为奇数时，a n ，猜想当 n(nN *)为偶数时，an 关于 b 的表达式，并用数学归纳法证明2016 届高三模拟考试试卷(六)(常州)数学参考答案及评分标准1. 22i 2. 2 3. 6 4. 5. 6. 7. 8. 9. 7.5 10. 25 ( ，32 910 23 311. 117 12. 13. 14. 3，e 27 434 ( 203， 4)15. 解：(1) 因为 AB C，所以 A(BC)由 cos(BC)1cosA ，得 cos(BC)1cos(B C)，展开，整理得 sinBsinC .(
12、2 分)12(2) 因为 b，a，c 成等比数列，所以 a2bc.由正弦定理，得 sin2AsinBsinC，从而 sin2A .(6 分)12因为 A(0，)，所以 sinA .22因为 a 边不是最大边，所以 A .(8 分) 4(3) 因为 BCA ，34所以 cos(BC)cosBcosC sinBsinC ，从而 cosBcosC .(10 分)22 1 22所以 tanBtanC (12 分)sinBcosB sinCcosC sin（B C）cosBcosC 2 .(14 分)221 22 216. 证明：(1) 连结 AC1，BC 1，因为 AA1C1C 是矩形，D 是 A1C
13、 的中点，所以 D 是 AC1 的中点(2 分)在ABC 1 中，因为 D，E 分别是 AC1，AB 的中点，所以 DEBC 1.(4 分)因为 DE 平面 BB1C1C，BC 1 平面 BB1C1C，所以 ED平面 BB1C1C.(6 分)(2) 因为ABC 是正三角形， E 是 AB 的中点，所以 CEAB.因为正三棱柱 A1B1C1ABC 中，平面 ABC平面 ABB1A1，交线为 AB，所以 CE平面ABB1A1.从而 CEA 1B.(9 分 )在矩形 ABB1A1 中，因为 ，所以 RtA 1B1BRt B 1BE，A1B1B1B 2 B1BBE从而B 1A1B BB 1E.因此 B
14、 1A1BA 1B1EBB 1EA 1B1E90，所以 A1BB 1E.(12 分)因为 CE，B 1E 平面 B1CE，CE B 1EE，所以 A1B平面 B1CE.(14 分)17. 解：(1) 由题意，得 (2 分)dk a1 d k2 2， 2dk a1 d （k 2）2， )，得 d4 .2k因为 d，kN *，所以 k1，或 k2.(4 分)当 k1 时，d6，代入，解得 a13，所以 an6n3.当 k2 时，d5，代入，解得 a11，所以 an5n4.(6 分)(2) 因为 a11，所以 an6n3，从而 Sn3n 2.(7 分)由 T 3，得 1qq 2，整理，得 q2q1
15、0.(9 分)S2Sm 123m2 4m2因为 14 0，所以 m2 .(1 4m2) 163因为 mN *，所以 m1 或 m2.(11 分)当 m1 时，q (舍 )，q . 13 12 13 12当 m2 时，q0 或 q1(均舍去)综上所述，q .(14 分)13 1218. 解：(1) 在COP 中，CP 2CO 2OP 22COOPcos106cos，从而CDP 的面积 SCDP CP2 (53cos)34 32因为COP 的面积 SCOP OCOPsin sin，(6 分 )12 32所以 SS CDP S COP S 扇形 OBP (3sin3 cos) ，0 0，cos 0
16、.(9 分)12 3 532 1 10512(注：定义域 2 分当 DP 所在直线与半圆相切时，设 取得最大值 0，此时在COP中，OP 1，OC3，CPO30，CP ，由正弦定理得10 6cos 06sin 0，cos 0 .)10 6cos 01 10512(2) 存在S (3cos3 sin1)，令 S0，得 sin .(12 分)12 3 ( 6) 16当 0 0 时，S 0，所以当 0 时，S 取得最大值(14 分)(或者：因为 0，所以存在唯一 0 ，使得 sin .( 2， ) (0 6) 16当 0 0 时，S 0，所以当 0 时，S 取得最大值)此时 cos ，cos 0co
17、s .(16 分)(0 6) 356 (0 6) 6 1 1051219. 解：(1) 由题意 又 a2b 2c 2，解得 b ，c1，(4 分)abc 23，a 2， ) 3所以椭圆 C 的方程为 1.(5 分)x24 y23(2) 点 A 在椭圆 C 上证明如下：设切点为 Q(x0，y 0)，x 00，则 x y 3，切线 l 的方程为 x0xy 0y30，20 20当 yP 2 时，x P ，即 P ，33 23y0x0 (3 23y0x0 ， 23)则 kOP ， (7 分)233 23y0x0 2x03 2y0所以 kOA ，直线 OA 的方程为 y x.(9 分)2y0 32x0
18、2y0 32x0由 解得 即 A( ， )(11 分)y 2y0 32x0 x，x0x y0y 3 0， ) x 6x06 3y0，y 3（2y0 3）6 3y0 ， ) 6x06 3y0 3（2y0 3）6 3y0因为 ( 6x06 3y0)2 4（3（2y0 3）6 3y0 ）23 1，所以点 A 的坐标满足椭圆 C 的方程(14 分)当 yP 2 时，同理可得点 A 的坐标满足椭圆 C 的方程，3所以点 A 在椭圆 C 上(16 分 )20. 解：(1) F(x) |x 2lnxb|2b1，记 t(x)x 2lnx ，x ，则 t(x)2x ，12， 2 1x令 t(x)0，得 x .(
19、1 分)22当 x 时，t(x) 0，t(x)在 上为单调减函数，12 22 (12， 22)当 x2，t(x) 0，t(x)在 上为单调增函数，22 ( 22， 2)又 t ln2，t(2) 4ln2，t 且 t(2)t 2ln2 0，(12) 14 ( 22) 1 ln22 (12) 154所以 t(x)的取值范围为 .(3 分)1 ln22 ， 4 ln2当 b1，3 时，记 v(t)|tb| 2b1，则 v(t) t 3b 1， 1 ln22 t b，t b 1， b t 4 ln2. )因为函数 v(t)在 上单调递减，在(b，4ln2上单调递增，1 ln22 ， b且 v 3b ，
20、v(4ln2)b5ln2，(1 ln22 ) 1 ln22v v(4ln2)2b ，(1 ln22 ) ln2 92所以当 b 时，最大值 M(b)v(4 ln2)b5ln2，9 ln24当 b 时，最大值 M(b)v 3b ，9 ln24 (1 ln22 ) 1 ln22所以 M(b) (5 分)b 5 ln2， 1 b 9 ln24 ，3b 1 ln22 ， 9 ln24 b 4. )(2) h(x) ，lnxx h(x) ，h(x 0) ，所以 y(x) (xx 0)y 0，1 lnxx2g(x) y 0 (xx 0)，g(x 0)0.(7 分)lnxxg(x) ，g(x 0)0.1 l
21、nxx2令 G(x)g(x) ，G(x) ，1 lnxx2 3 2lnxx3所以 g(x)在 上单调递减，在 上单调递增，(0， e32) (e32， )若 x0e ，则 x(0 ，x 0)时， g(x)0，g(x)单调递增，g(x) g(x 0)0；x(x 0，e )时，32 32 g(x)0，g(x)单调递减，g(x)g(x 0)0，不符合题意；若 x0e ，则 x 时，g(x)0，g(x)单调递减，g(x)g(x 0)0；32 (e32 ， x0)x(x 0，) 时，g(x)0，g(x)单调递增，g(x) g(x 0)0，不符合题意；若 x0e ，则 x 时 g(x)0，x 时 g(x)
22、0，符合题意32 (0， e32 ) (e32 ， )综上，存在 x0 满足要求，且 x0 的取值集合为e (10 分)32 因为对任意实数 k，总存在实数 x0，使得 H(x0)k 成立，所以函数 yH(x)的值域为一切实数y x 在s，)上是增函数，其值域为 .(11 分)12e s2e， )对于函数 y ，y ，当 xe 时，y0，lnxx 1 lnxx2当 xe 时，y0，在(e，)上为单调增函数，当 0xe 时，y0，在(0，e)上为单调减函数若 se ，则函数 y 在(0 ，e上是增函数，在e ，s) 上是减函数，其值域为 ，lnxx ( ， 1e又 ，不符合题意，舍去；(13 分
23、)1e s2e若 0se，则函数 y 在(0，s) 上是增函数，值域为 ，lnxx ( ， lnss)由题意得 ，即 s22elns0. s2e lnss记 u(s) s22elns，u(s) 2s .2es 2（s2 e）s当 0s 时， u(s)0，u(s)在(0 ， )上为单调减函数e e当 s 时，u (s)0，u(s)在( ，e)上为单调增函数，e e所以，当 s 时，u(s)有最小值 u( )0，从而 u(s)0 恒成立(当且仅当 s 时，u(s)e e e0.) (15 分 )由得，u(s)0，所以 s .e综上所述，实数 s 的取值集合为 (16 分)e2016 届高三模拟考试
24、试卷(六)(常州)数学附加题参考答案及评分标准21. A. 证明：连结 AE，则AEDB.(2 分) ABAC ， ACB B， ACBAED.(4 分) APBC， ACBCAD， CAD AED.(6 分)又ACDEAD， ACDEAD.(8 分) ，即 AD2DEDC.(10 分)CDAD ADEDB. 解：由题意知 8 ，故 解得 (5 分)a 24 b11 11 a 2 8，4 b 8， ) a 6，b 4.) ， 点 Q 的坐标为( 2，4)(10 分 )6 24 4 12 24C. 解：将 l 转化为直角坐标方程为 x y40.(3 分)3在 C 上任取一点 A( cos， si
25、n)，0 ，2)，则点 A 到直线 l 的距离为6 2d .(7 分)| 6cos 6sin 4|2 |23sin( 4) 4|2 23sin( 4) 42当 时，d 取得最大值，最大值为 2 ，此时 A 点为 ( ，1) (10 分) 4 3 3D. 证明：因为|4xy| 24|xy| 2(4 xy2x2y)(4xy 2x2y)(2 分)(2x)(2 y)(2x)(2y) (4x 2)(4y 2)0，(7 分) |x| 2，|y| 2， |4 xy|2|xy|.(10 分)22. 解：(1) 以 A 为原点，建立空间直角坐标系，如图，A(0，0，0) ，B(1，0，0)，C(1，1，0) ，
26、D 1(0，1，1) ，B 1(1，1，1)，设 F(a，b，0) ，则 (a ，b1，1)，(3 分)D1F 由 得 ab ，(5 分)D1F AC a b 1 0，D1F AB1 a b 0， ) 12 F ，即 F 为 AC 的中点(6 分)(12， 12， 0)(2) 由(1)可取平面 B1AC 的一个法向量 n1 .(7 分)D1F (12， 12， 1)设平面 B1AB 的法向量 n2(x，y，z)，得 取 n2(0 ，1，1)(8 分)n2AB x 0，n2AB1 x y z 0， ) x 0，y z， )则 cosn 1，n 2 .(9 分) 32232 32 二面角 CB1A
27、B 的平面角的余弦值为 .(10 分)3223. (1) 证明：bana n1 a n1 .(3 分)（a a 1）（an 1 a n 1）a a 1 an a na a 1 an 2 a n 2a a 1(2) 解：猜想当 n(nN *)为偶数时，a n (4 分)下面用数学归纳法证明这个猜想 当 n2 时，a 2 a 21a 2 1b 21，结论成立(5 分)a3 a 3a a 1 (a 1a)2 假设当 nk(k 为偶数)时，结论成立，即ak 0, (1) iC b2i b kC bk2 (1)k ik i 1k 1iC bk2i (1) ，此时 k1 为奇数，ik ik2 ak1 0,
28、 (1)kiC bk1 2ib k1 C bk1 (1) iC bk12i (1) C b，(6 分)ik 1 i 1k ik 1 ik2 k2 k 22则当 nk2(k 为偶数)时，ak2 ba k1 a kb k2 C bk( 1) iC bk22i (1) C b21k ik 1 ik2 k2 k 22b k C bk2 (1) iC bk2i (1) 1k 1 ik ik2 b k2 b k(1) i(C C )bk22i (1)ik 1 i i 1k （i 1）k 22 b k2 b k(1) iC bk22i (1)ik 2 ik 22 0, (1) iC bk22i ，结论也成立(9 分)k 2 ik 2 i根据和，可知当 n(nN *)为偶数时，均有 an (10 分)
