1、1第 17 讲 不定方程中的辗转相除法【链接方法】不定方程(组)是指未知数的个数多于方程的个数的方程(组)，其特点是解往往有无穷多个，不能惟一确定对于不定方程(组)，我们往往限定只求整数解，甚至只求正整数解，加上条件限制后，解就可确定二元一次不定方程是最简单的不定方程，一些复杂的不定方程(组)常常转化为二元一次不定方程问题加以解决，与之相关的性质有：设 为整数，则不定方程 有如下两个重要命题：dcba、 cbyax(1)若二元一次不定方程 ax+by=c 中，a 和 b 的最大公约数不能整除 c，则方程没有整数解.例如，方程 2x+4y=5 没有整数解.(2)如果正整数 a,b 互质，则方程
2、ax+by=1 有整数解，同时方程 ax+by=c 有整数解.例如，3x+5y=7，3 与 5 互质，x=-1,y=2 是这个方程的一组整数解.（3）如果 a,b 互质，且方程 ax+by=c 有一组整数解 x0,y0(称特解)，则此方程式的所有整数解(称通解)可表示为或 .0(xbtya为 整 数 ） 0(btya为 整 数 ）例如，3x+5y=7 的所有整数解可表示为 .15(23xt为 整 数 ）解不定方程(组)，没有现成的模式、固定的方法可循，需要依据方程(组)的特点进行恰当的变形，并灵活运用以下知识与方法；观察法、奇数偶数，整数的整除性、分离整系数、辗转相除法、因数分解、配方利用非负
3、数性质、穷举，乘法公式，不等式分析等辗转相除法, 又名欧几里德算法（Euclidean algorithm）乃求两个正整数之最大公因子的算法。它是已知最古老的算法, 其可追溯至公元前 300 年.它首次出现于欧几里德的几何原本 （第 VII 卷，命题 i 和 ii）中，而在中国则可以追溯至东汉出现的 九章算术.它并不需要把二数作质因子分解.辗转相除法可以求出不定方程 的一组整数解.【挑战例题】 一、观察法【例 1】求下列二元一次不定方程的一切整数解：2(1） (2) 235xy5102xy二、分离整系数法【例 2】求方程 的整数解.351xy【例 3】求方程 的所有正整数解.7410xy三、参
4、数法【例 4】求方程 的整数解.71923xy四、辗转相除法【例 5】求方程 的整数解.4295xy【例 6】求方程 的一组正整数解.1980xy3【提升能力】1.下列不定方程没有整数解的是（ ）A、3x+2y=12 B、2x-11y=3 C、3x+6y=8 D、99x+98y=12.(河南省竞赛题)如图，在高速公路上从 3 千米处开始，每隔 4 千米设一个速度限制标志，而且从 10 千米处开始，每隔 9 千米设一个测速照相标志，则刚好在 19 千米处同时设置这两种标志问下一个同时设置这两种标志的地点的千米数是( )A32 千米 B37 千米 C55 千米 D90 千米3.三元一次方程 x+y
5、+z=1999 的非负整数解的个数有（ ）A20001999 个 B19992000 个 C2001000 个 D2001999 个4.正整数 m、n 满足 8m+9n=mn+6，则 m 的最大值为 51998 年某人的年龄恰等于他出生的公元年数的数字之和，那么他的年龄是 岁6.求方程 3x+5y=1 的整数解.（试试观察法）7.(莫斯科数学奥林匹克试题) 求方程 15x+52y=6 的所有整数解 （试试参数法）8.求方程 7x+19y=213 的所有正整数解（试试分离系数法）9.求方程 37x+107y=25 的整数解（试试辗转相除法）410.某国硬币有 5 分和 7 分两种，问用这两种硬币支付 142 分货款，有多少种不同的方法？11.求方程 9x+24y5z =1000 的整数解12.(上海市”金桥杯”数学知识应用竞赛试题) 某布店的一页账簿上沾了墨水，如下表所示： 月 日 摘要 数量（米） 单价（元/米） 金额（元）1 13 全毛花呢 XX 49.36 XXX7.28所卖呢料米数看不清楚了，但记得是卖了整数米；金额项目只看到后面 3 个数码 7.28，但前面的 3 个数码看不清楚了，请你帮助查清这笔账
