1、1解析几何专题 03 圆锥曲线的定义、方程及几何性质学习目标 （1）理解圆锥曲线的定义，并能正确运用圆锥曲线的定义解决一些简单的问题；（2）掌握圆锥曲线的标准方程，并能熟练运用“待定系数法”求圆锥曲线的方程；（3）能根据圆锥曲线的方程研究圆锥曲线的一些几何性质（尤其是焦点、离心率以及双曲线的渐近线等） 。知识回顾及应用1圆锥曲线的定义(1)椭圆(2)双曲线(3)抛物线2圆锥曲线的方程(1)椭圆的标准方程(2)双曲线的标准方程(3)抛物线的标准方程3圆锥曲线的几何性质(1)椭圆的几何性质(2)双曲线的几何性质(3)抛物线的几何性质4应用所学知识解决问题：【题目】已知椭圆的两个焦点坐标分别是（-2
2、，0） ， （2，0） ，并且经过点 ，53(,)2求椭圆的方程。答案：2106xy【变式 1】写出适合下列条件的椭圆的标准方程：（1）离心率 ,焦点在 轴上；54ebx（2） ,焦点在 轴上；,1acy（3） 。02答案：（1） ；（2） ；（3） 或 。6x216x216xy2136x【变式 2】写出适合下列条件的椭圆的标准方程：（1） ,且经过点 ；3ab(3,0)P（2）经过两点 。7(,124答案：（1） 或 ；（2） 。 9xy289x214xy2问题探究（请先阅读课本，再完成下面例题）【类型一】圆锥曲线的方程例 1已知抛物线、椭圆和双曲线都经过点 1,2M，它们在 x轴上有共同焦
3、点，椭圆和双曲线的对称轴是坐标轴，抛物线的顶点为坐标原点求这三条曲线的方程。解：设抛物线方程为 20ypx，将 1,2代入方程得 2p24 抛 物 线 方 程 为 : 由题意知椭圆、双曲线的焦点为 21,0,F c=1对于椭圆， 2122 42aMF2222131bacxy 椭 圆 方 程 为 ： 对于双曲线， 12MF2222313abcxy 双 曲 线 方 程 为 ： 练习：1.在平面直角坐标系 中，椭圆 的中心为原点，焦点 在 轴上，离xOyC12,Fx心率为 。过 的直线 L 交 C 于 两点，且 的周长为 16，那么 的方程21F,AB2AVC为 。答案：2168xy求圆锥曲线的方程
4、主要采用“待定系数法” 。需要注意的是在求解此类问题时应遵循“先定位，再定量”的原则。注意：当“焦点所在轴不定”时，要有“分类讨论”意识，但也要能根据场合适当地“避免讨论”：如椭圆可设为 等。,(0,)AxBy32.若方程 表示焦点在 轴上的双曲线，则 k .222()(1)kxkyy(1,)3.求过点 A（-3，2）的抛物线的标准方程。答案： 或9xy43【类型二】 圆锥曲线的几何性质例 2 （1）若双曲线 的焦距是 6，则 。2xykk【解析】若 ，则双曲线的标准方程为 ，0k21xy所以 ，又 ，223,kabcc所以 ， ；39k6若 ，则双曲线的标准方程为 ，021yxk所以 ，又
5、，2223,kabcc所以 ， ；39k6综上可知， 。（2）设双曲线 的一条渐近线与抛物线 只有一个公共点，12byax 21yx则双曲线的离心率等于 。 【解析】不妨取双曲线 的一条渐近线为 ，12byaxbyxa代入 并整理得21yx0由题设知， 2245bc根据圆锥曲线的方程研究圆锥曲线的性质的基本程序是：先将方程化为标准方程，再寻找数量关系。特别地，在求圆锥曲线离心率的时候，常常需要 列出一个关于 的,abc方程，然后消去 即可。b4所以双曲线的离心率为 5.cea练习：（1）已知椭圆 ，求椭圆 G 的焦点坐标和离心率。2:14xGy【解析】由已知得 ,ba所以 .32c所以椭圆 G
6、 的焦点坐标为 ；)0,3(,(离心率为 .2ace（2）在椭圆 中, 为其左、右焦点，以 为直径的21(0)xyb12,F21F圆与椭圆交于 四个点，若 , 恰好为一个正六边形的六个顶DCBA, 21DCBA,点，则椭圆离心率为( C )A. B. C. D. 2123132【类型三】圆锥曲线的定义例 3（1）已知定点 A(0,7)、B (0，7)、C(12,2)，以 C 为一个焦点作过 A、B 的椭圆，求另一焦点 F 的轨迹方程解 设 F(x，y)为轨迹上的任意一点，A、B 两点在以 C、F 为焦点的椭圆上，|FA|CA| 2a，|FB|CB| 2a(其中 a 表示椭圆的长半轴长)，|FA
7、|CA| |FB|CB|，一般地，对于椭圆和双曲线，只要与两个焦点距离有关的问题就应该优先考虑它们的定义；而对于抛物线，利用其定义将抛物线上的点与焦点间的距离和该点到准线的距离进行互化是基本手段，要加强这方面的认识。5|FA|FB|CB|CA| 2，122 92 122 ( 5)2|FA|FB|2b0) ，|PF1|m，| PF2|n，x2a2 y2b2则 mn2a.在PF 1F2中，由余弦定理可知，4c2m 2n 2 2mncos 60(mn) 23mn4a 23mn4a 23 24a 23a 2a 2(当且仅 当 mn 时取等号)(m n2 ) ，即 e .c2a2 14 12又 0e1，
8、e 的取值范围是 12，1)【能力提升】78已知点 P 是椭圆 上一动点，F 为椭圆的左焦点，定点 ，则2195xy (1,)A的最小值是 （提示：利用椭圆的定义）FA69.（1）方程 - 在直角坐标系中表示的曲线是（ C ）22)1()3(yx0xyA 两条相交直线 B 椭圆 C 双曲线 D 抛物线 （提示：移项平方转化即可，也可以利用双曲线的第二定义）（2）方程 - 在直角坐标系中表示的曲线是（D）22)1()3(yx20xyA 两条相交直线 B 椭圆 C 双曲线 D 抛物线 （提示：利用抛物线的定义）（3）方程 - 在直角坐标系中表示的曲线是（ A ）22)1()3(yx0xyA 两条相交直线 B 椭圆 C 双曲线 D 抛物线 （提示：移项平方转化即可。注意：点 在直线 上，故不能使用(3,1)20xy双曲线的第二定义）纠错矫正8总结反思
