1、- 1 -高三数学试卷一 、 填 空 题 ： 本 大 题 共 14小 题 ， 每 小 题 5分 ， 共 计 70分 1. 设集合 M x| 0， N x|(x1)( x3)0，则集合 M N_ x 3x 22. 复数 z1 a2i， z22i，如果| z1| z2|，则实数 a的取值范围是_ 3. 某公司生产三种型号 A、 B、 C的轿车，月产量分别为 1200、6000、2000 辆为检验该公司的产品质量，现用分层抽样的方法抽取 46辆进行检验，则型号 A的轿车应抽取_辆 4. 有红心 1、2、3 和黑桃 4、5 共 5张扑克牌，现从中随机抽取一张，则抽到的牌为红心的概率是_ 5. 右图是一
2、个算法的流程图，则输出 S的值是_ 6. 设 an是等比数列，则“ a1 a2 a3”是“数列an是递增数列”的_条件 7. 取正方体的六个表面的中心，这六个点所构成的几何体的体积记为 V1，该正方体的体积为 V2，则 V1 V2_. 8. 如图，在 ABC中， BAC120， AB AC2，D为 BC边上的点，且 0， 2 ， AD BC CE EB则 _. AD AE9. 对任意的实数 b，直线 y x b都不是曲线 y x33 ax的切线，则实数 的取值范围a是_ 10. 如图，已知抛物线 y22 px(p0)的焦点恰好是椭圆x2a2 y2b2 1(a b0)的右焦点 F，且两条曲线的交
3、点连线也过焦点 F，则该椭圆的离心率为 11. 已知函数 f (x) ，若 a,b,c互不相等，且 f (a) f (b) f (c)，则 a b c的取值范围为 12. 若函数 f (x)sin( x )（ 0）在区间(1,0)上有且仅有一条平行于 y轴的4对称轴，则 的最大值是_ 13. 若实数 a,b,c成等差数列，点 P(1,0)在动直线 ax by c0 上的射影为 M，点 N(3,3)，ABCDExyFO开始结束n 1SS 2n nn1S33输出SS1YN- 2 -则线段 MN长度的最大值是_ 14. 定义：若函数 f (x)为定义域 D上的单调函数，且存在区间( m,n)D(m
4、n)，使得当x( m,n)时， f (x)的取值范围恰为( m,n)，则称函数 f (x)是 D上的“正函数” 已知函数 f (x) ax (a1)为 R上的“正函数” ，则实数 a的取值范围是 二 、 解 答 题 ： 本 大 题 共 6小 题 ， 共 计 90分 请 在 答 题 卡 指 定 区 域 内 作 答 ， 解 答 时 应 写 出 文 字 说 明 、证 明 过 程 或 演 算 步 骤 15. 在 ABC中， A、 B、 C为三个内角， f (B)4sin Bcos2 cos2 B（）若 f (B)2，求角 B；（）若 f (B) m2 恒成立，求实数 m的取值范围16. 正方形 ABC
5、D所在的平面与三角形 CDE所在的平面交于 CD，且 AE平面 CDE（1）求证： AB平面 CDE；（2）求证：平面 ABCD平面 ADE ABCDE- 3 -17. 如图，某兴趣小组测得菱形养殖区 ABCD的固定投食点 A到两条平行河岸线 l1、 l2的距离分别为 4米、8 米，河岸线 l1与该养殖区的最近点 D的距离为 1米， l2与该养殖区的最近点 B的距离为 2米（1）如图甲，养殖区在投食点 A的右侧，若该小组测得 BAD60，请据此算出养殖区的面积 S，并求出直线 AD与直线 l1所成角的正切值；（2）如图乙，养殖区在投食点 A的两侧，试求养殖区面积 S的最小值，并求出取得最小值时
6、 BAD的余弦值18. 已知椭圆 C： 经过点(0, )，离心率为 ，经过椭圆 C的右焦点 Fx2a2 y2b2 1(a b 0) 3 12的直线 l交椭圆于 A、 B两点，点 A、 F、 B在直线 x4 上的射影依次为 D、 K、 E（1）求椭圆 C的方程；（2）若直线 l交 y轴于点 M，且 ， ，当直线 l的倾斜角变化时，探究 MA AF MB BF 是否为定值？若是，求出 的值；若不是，说明理由；（3）连接 AE、 BD，试探索当直线 l的倾斜角变化时，直线 AE与 BD是否相交于一定点？若是，求出定点坐标；若不是，说明理由 KOABMxyDEF（图甲） （图乙）1l 1l2l 2lA
7、BBCCDD- 4 -19. 设数列 an的各项都是正数，且对任意 nN*，都有 ( a1 a2 a3 an)2a31 a32 a3 a3n（1）求数列 an的通项公式；（2）若 bn3 n(1) n12 an ( 为非零常数， nN*)，问是否存在整数 ，使得对任意 nN*，都有 bn1 bn20. 已知函数 f (x) (m,nR)在 x1 处取到极值 2mxx2 n（1）求 f (x)的解析式；（2）设函数 g(x) axln x，若对任意的 x1 , 2，总存在唯一的 x2 , e(e为12 1e2自然对数的底)，使得 g(x2) f (x1)，求实数 a的取值范围 - 5 -附加题1
8、. 已知矩阵 M ， N ，且 MN ，1ab1 c20d（）求实数 a,b,c,d的值；（）求直线 y3 x在矩阵 M所对应的线性变换下的像的方程2. 在平面直角坐标系 xOy中，直线 l的参数方程为 (t为参数)，椭圆 C的方程为 y21，试在椭圆 C上求一点 P，使得 P到直线 l的距离最小3. 如图，直三棱柱 ABC A1B1C1中，底面是等腰直角三角形， AB BC ， BB13， D为2A1C1的中点， F在线段 AA1上（1） AF为何值时， CF平面 B1DF？（2）设 AF1，求平面 B1CF与平面 ABC所成的锐二面角的余弦值. AB CC1B1A1FD班级_学号_姓名_密
9、封线内不要答题- 6 -4. 一种抛硬币游戏的规则是：抛掷一枚硬币，每次正面向上得 1分，反面向上得 2分.（1）设抛掷 5次的得分为 X，求变量 X的分布列和数学期望 E(X )；（2）求恰好得到 n (nN*)分的概率高三数学试卷参考答案2015.11、(1,2) 2、(1,1) 3、6 4、 5、63356、充要7、 8、1 9、(, ) 10、 1 11、(25,34) 12、16 13 25413、5 14、(1, e )215、解：() f (B)4sin Bcos2( )cos2 B2sin B(1sin B)4 B212sin 2B2sin B12sin B 又0 B B 或
10、12 6 56() f (B) m2 恒成立2sin B1 m2 恒成立 2sin B1 m0 B，2sin B的最大值为 2，1 m2 m116、证明：（1）正方形 ABCD中， /ACD， 又 平面 CDE， CD平面 CDE，所以 /平面 CDE（2）因为 E平 面 ，且 E平 面 ，所以 ，又 ABA正 方 形 中 ， ， 且 A， AE、 平 面 ，所以 CD平 面 ， 又 CDB平 面 ，所以 E平 面 平 面 17、解：（1）设 与 1l所成夹角为 ，则 与 2l所成夹角为 60，对菱形 AB的边长“算两次”得 3sini60， 解得 3tan5，- 7 -所以，养殖区的面积 2
11、 2231sin609sin6043 (m)i taS ；（5 分）（2）设 AD与 1l所成夹角为 ， 8BAD， ，则 B与 2所成夹角为 18，对菱形 C的边长“算两次”得 36sin0，解得 sinta2co，所以，养殖区的面积 2iS219sinta549si，由 254cos5cos4990ininS得 4co， 【要修改为：列表求最值】经检验得，当 s5时，养殖区的面积 2min=7()S 答：（1）养殖区的面积为 243 m；（2）养殖区的最小面积为 2 （15 分）18、解：（1）x24 y23 1（2）设 A(x1,y1),B(x2,y2),M(0,y0) ( x1,y1
12、y0)(1 x1, y1) ，同理， MA AF (4 k23) x28 k2x4 k2120， x1 x2 ， x1x2 x1 x22 x1x2 2 ，x1x2 x1 x21 1 83（3）当 l x轴时，易得 AE与 BD的交点为 FK的中点( ,0)52下面证明： BD过定点 P( ,0)52B、 D、 P共线 kBP kDP y2 x2y1 y13 y22 x2y15 y132 523 k(x21)2 x2k(x11)5 k(x11)2 kx1x25 k(x1 x2)8 k02 k 5 k8 k02 k(4k212)40 k38 k(4k23)0 成立得证同理， AE过定点 P( ,0
13、)，直线 AE与 BD相交于一定点( ,0)52 52【注】：书写可证明： kBP kDP，证明值为 019、证明：(1)在已知式中, 当 n1 时, a10 a11a31 a21当 n2 时, ( a1 a2 an)a31 a32 a3 a3n2KOABMxyDEF- 8 - ( a1 a2 an1 )a31 a32 a3 a3n 12(n2)由得, an2(a1 a2 an1 ) an (n2) an0a3n 2( a1 a2 an1 ) an(n2) a2n2( a1 a2 an2 ) an1 (n3) a2n 1得, 2 an1 an an1 an1 an (n3)a2n a2n 1
14、an1 an0, an an1 1( n3), a11， a22 a2 a11 an an1 1( n2) 数列 an是等差数列,首项为 1,公差为 1, 可得 an n（2） an n, bn3 n(1) n12 n bn1 bn3 n+1(1) n2 n+13 n(1) n12 n23 n3( 1) n12n0( 1) n1( )n132当 n2 k1, k1,2,3,时, 式即为 ( )2k232依题意, 式对 k1,2,3,都成立, 1当 n2 k,k1,2,3,时, 式即为 ( )2k132依题意, 式对 k1,2,3,都成立 32 1 又0, 存在整数 1, 使得对任意 nN*,
15、都有 bn1 bn3220、解： （1） f ( x) 由 f (x)在 x1 处取到极值 2， 0， 2, ，经检验，此时 f (x)在 x1 处取得极值，故 f (x)（ 2）记 f (x)在 ,2上的值域为 A，函数 g(x)在 ,e上的值域为 B， 12 1e2由（1）知： f ( x) f (x)在 ,1上单调递增，在(1,2上单调递减，12由 f (1)2， f (2) f ( ) ，故 f (x)的值域 A ,212 85 85依题意 g( x) a x ,e e21x 1e2 1e 1x当 a 时， g( x)0 g(x)在 ,e上递减 B g(e),g( )，1e 1e2 1
16、e2由题意得： ,2B g(e) ae1， g( ) a 2，85 0 a1e 1e当 a e2时， e 当 x , )时， g( x)0；当 x( ,e时， g( x)1e 1a 1a 1a0；对任意的 y1 ,2，总存在唯一的 x2 ,e，使得 g(x2) y1 85 1e2 g(e) g( ) ae a 3 a(e )3- 9 -当 a e2时， g(e) g( )， 无解当 a 时， g(e) g( ) a1e 1e当 a 时， g(e) g( )不成立；当 a e2时， g( x)0 g(x)在 ,e上递增 B g( ), g(e)1a 1e2 1e2 ,2B g(e)2， g( )
17、 无解85 1e2 85综上，0 a附加题1、解：（）由题设， 得 ，解得 ；1ab1c20d a 1b 1c 2d 2)（）取直线 y3 x上的两点(0,0)、(1,3)，由 ， 得：点(0,0)、(1,3)在矩阵 M所对应的线性1 1 1 100 00 1 1 1 113变换下的像是(0，0)，(2，2)，从而直线 y3 x在矩阵 M所对应的线性变换下的像的方程为 y x2、解：直线 l的参数方程为 (t为参数) x2 y4设 P(2cos ,sin ) P到 l的距离为 d 当且仅当 sin( )1，即 2 k 时等号成立此时，4 4sin cos P( , )23、解：（1）因为直三棱
18、柱 ABC A1B1C1中， BB1面 ABC， ABC 2以 B点为原点， BA、 BC、 BB1分别为 x、 y、 z轴建立如图所示空间直角坐标系.因为 AC2， ABC90，所以 AB BC ，( ,0,0)2 2从而 B(0，0，0)， A( ,0,0)， C(0, ,0)， B1(0，0，3)， A1 A( ,0,3)，2 2 2C1(0, ,3)， D( , ,3)， E(0, , )所以 ( , ,3)，设 AF x，则232 CA1 2 2F( ，0， x)，2( , ,x)， ( ,0,x3) ， ( , ,0) CF 2 2 B1F 2 B1D 0，所以 CF B1D CF
19、 B1D要使 CF平面 B1DF，只需 CF B1F.由 2 x(x3)0，得 x1 或 x2， CF B1F故当 AF1 或 2时， CF平面 B1DF（2）由（1）知平面 ABC的法向量为 m(0,0,1). 设平面 B1CF的法向量为 n( x,y,z)，- 10 -则由 得 令 z1 得 n( , ,1)， 232 2所以平面 B1CF与平面 ABC所成的锐二面角的余弦值 cos m,n4、解：（1）所抛 5次得分 的概率为 P( i) ( )5 (i5，6，7，8，9，10)，Ci-5512其分 布列如下： E （2）令 Pn表示恰好得到 n分的概率. 不出现 n分的唯一情况是得到 n1 分以后再掷出一次反面. 因为“不出现 n分”的概率是 1 Pn， “恰好得到 n1 分”的概率是 Pn1 ，因为“掷一次出现反面”的概率是 ，所以有 1 Pn Pn1 ，即 Pn ( Pn1 ).12 12 23 12 23于是 Pn 是以 P1 为首项，以 为公比的等比数列. 23 23 12 23 16 12所以 Pn ( )n1，即 Pn 2( )n. 答：恰好得到 n分的概率是23 16 12 13 122( )n.13 12 5 6 7 8 9 10PAB CC1B1A1FDxyz
