1、师出教育 电话：400-600-2690 第 1 页 共 3 页 咨询QQ:1400700402nna an nn用放缩法处理数列和不等问题一先求和后放缩（主要是先裂项求和，再放缩处理）例 1 正 数 数 列 an 的 前 n 项 的 和 Sn ， 满 足 2（ 1） 数 列 an 的 通 项 公 式 ； an 1，试求：（ 2） 设 b 1 ，数列 b 的前 n 项的和为 B ，求证： B 1n nn n1n n 2解：（1）由已知得4S n (an 1)2 ， n 2 时 ， 4S n1 (an1 1)2 ， 作 差 得 ： 4a a 2 2a 2n1 2a n1 ，所以 (an an1
2、)(an an1 2) 0 ， 又 因 为 an 为 正 数 数 列 ， 所 以 an an1 2 ， 即 an 是 公 差 为 2 的 等 差 数 列 ，由 2 a1 1，得 a1 1 ，所以 an 2n 1（2） bn 1an an1 1(2n 1)(2n 1) 1 (2 1 2n 1 12n 1) ，所以B 1 (1 1 1 1 1 1 ) 1 1 1n 2 3 3 5 2n 1 2n 1 2 2(2n 1) 2二先放缩再求和1. 放缩后成等比数列，再求和例 2 等 比 数 列 a 中 ， a 1 ， 前 n 项 的 和 为 S ， 且 S , S , S 成等差数列n 1 2a 2n
3、7 9 81设 b n ，数列 b 前 n 项的和为 T ，证明： T n 1 a n n n 3解： A A a a ， A A a ， a a a ，公比q a9 1 9 7 8 9 8 9 918 9 9 a8 2 an ( 1 )n 2 bn 4n1 ( 1 )n2 14n (2)n 1 3 2n（利用等比数列前n 项和的模拟公式 S Aq n A 猜想） B b b b 1 1 11 (1 1 ) 1 2 22 1 (1 1 ) 1 n 1 2 n 3 2 3 22 3 2n 3 1 123 2n 32. 放缩后为“差比”数列，再求和 a师出教育 电话：400-600-2690 第
4、2 页 共 3 页 咨询QQ:1400700402n n 1例 3已知数列a n 满足： a 1 1 ， an1 (1 2n )an (n 1,2,3) 求 证： a n1 an 3 2n1证明：因为a (1 n )a ，所以 a 与 a 同号，又因为 a 1 0 ，所以 a 0 ，n1 2n n n1 n 1 n即a n1 an n a2n n 0 ，即 an1 an 所以数列 an 为递增数列，所以 an a1 1，n n 1 2 n 1即a n1 an 2n an 2n ，累加得： a n a1 2 22 2n11 2 n 1 1 1 2 n 1令 S n 2 22 2n1 ，所以 2
5、Sn 22 23 2n ，两式相减得：12 Sn 1 12 22 1 23n 112n1 n 1 ， 所 以 S2n n 2 n 1 ， 所 以 a2n1 n 3 n 1 ，2n1故得a n1 an 3 2n1 3. 放缩后成等差数列，再求和例 4已知各项均为正数的数列 a 的 前 n 项 和 为 S ,且 a2 a 2S .n n n n na 2 a 2(1) 求 证 ： Sn n n1 ；4(2) 求 证 ： Sn Sn1 1解：（1）在 条 件 中 ， 令 n 1， 得 a 2 a 2S 2a ， a 0 a 1 ， 又 由 条 件 a 2 a 2S 有1 1 1 1 1 1 n n n2n1 an1 2S n1，上述两式相减，注意到a n1 Sn1 Sn 得(an1 an )(an1 an 1) 0 an 0n(n 1) an1 an 0 an1 an 1所以， an 1 1 (n 1) n ， Sn 2n(n 1) 1 n 2 (n 1)2 a 2 a 2所以 Sn 2 2 2 n n1 4n n 1（2）因为n n 1 ，所以 ，所以a师出教育 电话：400-600-2690 第 3 页 共 3 页 咨询QQ:1400700402n 2 3n S 1 1 2 32 22 n n 1n(n 1) S n1 ； n
