1、- 1 -江苏省常州市西夏墅中学高中数学 第 2 章 推理与证明复习与小结 新人教 A 版选修 2-2教学目标：1了解合情推理的含义，能利用归纳和类比等进行简单的推理，了解合情推理在数学发现中的作用2了解演绎推理的重要性，掌握演绎推理的基本模式，并能运用它们进行一些简单推理3了解直接证明的基本方法：分析法、综合法和数学归纳法；了解分析法、综合法和数学归纳法的思考过程、特点4了解本章知识结构，进一步感受和体会常用的思维模式和证明方法，形成对数学的完整认识教学重点：了解本章知识结构，进一步感受和体会常用的思维模式和证明方法，形成对数学的完整认识教学难点：认识数学本质，把握数学本质，灵活选择并运用所
2、学知识解决问题教学过程：一、 知识回顾本章知识结构：- 2 -基础知识过关：（1）合情推理包括 推理、 推理（2） 称为归纳推理；它是一种由 到 ，由 到 的推理（3） 称为类比推理；它是一种由 到 的推理（4）归纳推理的一般步骤是： ， （5）类比推理的一般步骤是： ， （6）从一般性的原理出发，推出某个特殊情况下的结论，我们称这种推理为 ，它是一种 到 的推理（7） 和 是直接证明的两种基本方法（8）反证法证明问题的一般步骤： ， ， ； （9）数学归纳法的基本思想 ；数学归纳法证明命题的步骤： ， ， 二、数学运用例 1 （1）考察下列一组不等式：235 32 2525 2，2 45 4
3、2 3525 3，2 55 52 3522 253，将上述不等式在左右两端仍为两项和的情况下加以推广，使以上的不等式成为推广不等式的特例，则推广的不等式可以是 （2）在平面上，若两个正三角形的边长的比为 12，则它们的面积比为 14，类似地，- 3 -在空间内，若两个正四面体的棱长的比为 12，则它们的体积比为 （3）若数列 an是等差数列，对于 bn (a1 a2 an)，则数列 bn也是等差数列类比上述性质，若数列 cn是各项都为正数的等比数列，对于 dn0，则 dn 时，数列 dn也是等比数列解 （1） ；(0)mnmnabababmN ， ， ， ， （2）体积比为 18；（3） 12
4、nncN， 说明 （1）是从个别情况到一般情况的合情推理；（2）是从平面到空间的类比推理；（3）是从等差数列到等比数列的类比推理例 2 若 ABC 的三个内角 A， B， C 成等差数列，分别用综合法和分析法证明：1cab 证明 （分析法）要证 ，1cab 只需证 ，()()()ca 即证 ，22c ABC 的三个内角 A， B， C 成等差数列， C60，由余弦定理得 ，即 ，22os60ba 22cab 故原命题成立（综合法） ABC 的三个内角 A， B， C 成等差数列， C60，由余弦定理得 ，即 ，22cos60ba 22cab 或 ，()()()cb 两边同除以 得 c 1ac
5、说明 分析法和综合法是两种常用的直接证明方法分析法的特点是执果索因，综合法的特点是由因导果，分析法常用来探寻解题思路，综合法常用来书写解题过程例 3 已知 a， b， c(0，1)，求证：(1 a)b，(1 b)c，(1 c)a 不能同时大于 41- 4 -分析 “不能同时大于 ”包含多种情形，不易直接证明，可考虑反证法41证明：假设(1 a)b，(1 b)c，(1 c)a 同时大于 14，即 (1 a)b ，(1 b)c ，(1 c)a ， a， b， c(0，1)，三式同向相乘得(1 a)b(1 b)c(1 c)a ，164又 ，21()(4 同理 ， ，bc )c (1 a)b(1 b)
6、c(1 c)a ，这与假设矛盾，故原命题得证16说明 反证法属于“间接证明法” ，是从反面的角度思考问题的证明方法用反证法证明命题“若 p 则 q”时，可能会出现以下三种情况：（1）导出非 p 为真，即与原命题的条件矛盾；（2）导出 q 为真，即与假设“非 q 为真”矛盾；（3）导出一个恒假命题使用反证法证明问题时，准确地作出反设（即否定结论） ，是正确运用反证法的前提当遇到否定性、惟一性、无限性、至多、至少等类型问题时，常用反证法例 4 已知数列 an， an 0， a10， an1 2 an1 1 an 2(nN *)记 Sn a1 a2 an Tn11212()()()naa 求证：当
7、nN *时， （1） an an1 ；（2） Sn n2 ；（3） Tn3解 （1）证明：用数学归纳法证明 n1 时，因为 a2是方程 x2 x10 的正根，所以 a1 a2 设当 n k(kN *)时， ak ak1 ，因为 ak1 2 ak2( ak2 2 ak2 1)( ak1 2 ak1 1)( ak1 ak1 ) (ak1 ak1 1)，所以 ak1 ak2 即当 n k1 时， an an1 也成立根据和，可知 an an1 对任何 nN *都成立- 5 -（2）证明：由 ak1 2 ak1 1 ak2， k1，2， n1（ n2） ，得 an2( a2 a3 an)( n1) a
8、12因为 a10，所以 Sn n1 an2由 an an1 及 an1 1 an22 an1 21，得 an1，所以 Sn n2（3）证明：由 ak1 2 ak1 1 ak22 ak，得( k2，3， n1， n3)1k 所以 ( a3)，234 2()()()nnaa 于是 ( n3)，234 21()()()nn 2n1故当 n3 时， ，13nnT 又因为 T1 T2 T3，所以 Tn3三、学生总结引导学生从知识、方法、收获三个方面进行小结，明确推理、归纳推理的概念及彼此间的关系认识数学本质，把握数学本质，增强创新意识，提高创新能力四、课后作业 教材第 102103 页复习题第 3 题，第 4 题，第 5 题，第 9 题，第 12 题，第 13 题
