1、 2017-2018 学年高一数学（必修 3）百所名校速递分项汇编专题 06 几何概型一、选择题1 【甘肃省静宁县第一中学 2018-2019 学年高二上学期期中考试】如图，在正方形围栏内均匀撒米粒，一只小鸡在其中随意啄食，此刻小鸡正在正方形的内切圆中的概率是( )A B C D 【答案】B【解析】设正方形的边长为 2a,则圆的半径为 a,由几何概型的概率公式得 ,故 答案为：B2已知地铁列车每 10 分钟一班，在车站停 1 分钟则乘客到达站台立即乘上车的概率是（ ）A B C D 【答案】A【解析】由于地铁列车每 10 分钟一班，列车在车站停 1 分钟，乘客到达站台立即乘上车的概率为：，故选
2、 A。3 【贵州省铜仁市第一中学 2018-2019 学年高二上学期期中考试】若 是从区间0,20中任取的一个实数,则函数 无零点的概率是( )A 0.3 B 0.2 C 0.1 D 0.4【答案】B来源:Z_xx_k.Com4 【江西省上饶市民校联盟 2018-2019 学年高二上学期阶段 （一）测试】下图是 2002 年 8 月中国成功主办的国际数学家大会的会标，是我们古代数学家赵爽为证明勾股定理而绘制的，在我国最早的数学著作周髀算经中有详细的记载若图中大正方形 ABCD 的边长为 4，小正方形的边长为 2，现作出小正方形的内切圆，向大正方形所在 区域模拟随机投掷 个点，有 个点落在中间的
3、圆内，由此可估计 的所似值为（ ） A B C D 【答案】A【解析】大正方形的边长为 4，总面积为 16，小正方形的边长为 2，其内切圆的半径为 1，面积为 ；则 = ，解得 = 来源:学科网故选：A5 【黑龙江省大庆市大庆第一中学 2017-2018 学年高二上学期第三次月考】已知椭圆的面积公式为 ，某同学通过下面的随机模拟实验估计 的值过椭圆的左右焦点 分别作与 轴垂直的直线与椭圆 交于 四点，随机在椭圆 内撒 粒豆子，设落入四边形 内的豆子数为 ，则圆周率 的值约为（ ）A B C D 【答案】A【解析】根据题意得到 将方程 中的 a,b,c 代入等式中得到： 。故答案为：A。6某路口
4、人行横道的信号灯为红灯和绿灯交替出现，红灯持续时间为 40 秒若一名行人来到该路口遇到红灯，则至 少需要等待 15 秒才出现绿灯的概率为（ ）A B C D 【答案】B【解析】红灯持续时间为 40 秒，至少需要等待 15 秒才出现绿灯，一名行人前 25 秒来到该路口遇到红灯，至少需要等待 15 秒才出现绿灯的概率为 = 故选：B7 【黑龙江省海林市朝鲜族中学人教版高中数学必修三同步练习】分别以正方形 ABCD 的四条边为直径画半圆，重叠部分如图中阴影区域所示，若向该正方形内随机投一点，则该点落在阴影区域的概率为( )A B C D 【答案】B8 【福建省厦门市第一中学 2017-2018 学年
5、高二下学期期末】如图，矩形 的四个顶点依次为 ，记线段 、 以及 的图象围成的区域（图中阴影部分）为 ，若向矩形 内任意投一点 ，则点 落在区域 内的概率为（ ）A B C D 【答案】D【解析】阴影部分的面积是 ，矩形的面积是 ，点 落在区域 内的概率 ，故选 D.9 【河南省濮阳市 2017-2018 学年高一下学期升级考试】 路公共汽车每 分钟发车一次，小明到乘车点的时刻是随机的，则他候车时间不超过两分钟的概率是（ ）A B C D 【答案】A【解析】公共汽车站每隔 5 分钟有一辆车通过当乘客在上一辆车开走后 3 分钟内到达候车时间会超过 2 分钟乘客候车时间不超过 2 分钟的概率为 故
6、选 A .10 【河北省保定市 2017-2018 学年高二下学期期末考试】从区间 上任意选取一个实数 ，则双曲线的离心率大于 的概率为（ ）A B C D 【答案】D【解析】由题意得 ，解得 ，即 .故选：D.11 【湖南省岳阳市第一中学 2017-2018 学年高二下学期期末考试】如图，四个相同的直角三角形与中间的小正方形拼成一个大正方形，已知小正方形的外接圆恰好是大正方形的内切圆，现在大正方形内随机取一点，则此点取自阴影部分的概率为（ ）A B C D 【答案】B【解析】设大正方形的边长为 1，其内切圆的直径为 1，则小正方形的边长为 ，所以大正方形的面积为 1，圆的面积为 ，小正方形的
7、面积为 ，则阴影部分的面积为 ，所以在大正方形内随机取一点，则此点取自阴影部分的概率 .12 【北京十二中 2016-2017 学年下学期高二期中】欧阳修卖炭翁中写道 ：（翁）乃取一葫芦置于地，以钱覆其口，徐以杓酌油沥之，自钱孔入，而钱不湿可见“行行出状元”，卖油翁的技艺让人叹为观止若铜钱是直径为 的圆，中间 的正方形孔，若你随意向钱上滴一滴油，则油（油滴大小忽略不计）正好落入圆孔中的概率为（ ）A B C D 【答案】A【解析】由题意得， ，则油正好落入圆孔中的概率 二、填空题13 【江西省上饶市民校联盟 2018-2019 学年高二上学期阶段（一） 】2018 年 1 月 31 日晚上月全
8、食的过程分为初亏、食既、食甚、生光、复圆五个阶段，月食的初亏发生在 19 时 48 分，20 时 51 分食既，食甚时刻为 21 时 31 分，22 时 08 分生光，直至 23 时 12 分复圆全食伴随有蓝月亮和红月亮，全食 阶段的“红月亮”将在食甚时刻开始，生光时刻结束，一市民准备在 19:55 至 21：56 之间的某个时刻欣赏月全食，则他等待“红月亮”的时间超过 30 分钟的概率是_。【答案】【解析】由题意可知，该市民在 19：55 至 21：56 之间的某个时刻欣赏月全食，其时间区间长度为 121 分钟该市民等待“红月亮”的时间超过 30 分钟，则应该在 19:55 至 21：01
9、分之间的任意时刻到达，区间长度为 66如图：由测度比为长度比，可知他等待“红月亮”的时间超过 30 分钟的概率是 故答案为： 14 【内蒙古鄂尔多斯市第一中学 2018-2019 学年高二上学期期中考试】已知 都在球面 C 上，且 P在 所在平面外， ， ，在球面 C 内任取一点，则该点落在三棱锥 内的概率为_【答案】【解析】如图，在三角形 EGF 中，由已知可得 EG=GF=2，EGF=120，可得 ，设三角形 EFG 的外接圆的半径为 r，由 ，可得 r=2再设EGF 的外心为 G1，过 G1 作底面 EGF 的垂线 G1O，且使 连接 OE，则 OE=2 为三棱锥 P-EFG 的外接球的
10、半径则 由测度比为体积比，可得在球 C 内任取一点，则该点落在三棱锥 P-EFG 内的概率为 故答案为： 15 【河北省辛集中学 2018-2019 学年高二上学期第一次月考】下列关于概率和统计的几种说法：10 名工人某天生产同一种零件，生产的件数分别是 15，17，14，10，15，17，17，16，14，12，设其平均数为 a，中位数为 b，众数为 c，则 a，b，c 的大小关系为 cab；样本 4，2，1，0，2 的标准差是 2；在面积为 S 的ABC 内任选一点 P，则随机事件“PBC 的面积小于 ”的概率为 ；从写有 0，1，2，9 的十张卡片中，有放回地每次抽一张，连抽两次，则两张
11、卡片上的数字各不相同的概率是 .其中正确说法的序号有_来源:Zxxk.Com来源:学&科&网【答案】【解析】对于，由题意原 数据为 10，12，14，14，15，15，16，17，17，17，故可得该组数据的平均数 ，中位数 ，众数为 ，所以 ，故不正确 来源:学| 科|网 Z|X|X|K对于，由题意得样本的平均数为 1，故方差为 ，所以标准差为 2，故正确对于，如图，作出ABC 的高 ，当PBC 的面积等于 时， ，要使PBC 的面积小于 ，则点 P 应位于图中的阴影部分内，由题意可得 ，故 ，所以由几何概型概率公式可得“PBC 的面积小于 ”的概率为 ，故不正确对于，由题意得所有的基本事件
12、总数为 个，事件“有放回地每次抽一张，连抽两次，则两张卡片上的数字各不相同”包含的基本事件有 个，根据古典概型的概率公式得所求概率为，故正确综上可得正确故答案为 16 【吉林省长春外国语学校 2018-2019 学年高二上学期第一次月考】已知直线 l 过点(1,0)，l 与圆C：( x1) 2 y23 相交于 A、 B 两点，则弦长| AB|2 的概率为_.【答案】【解析】三、解答题17 【江西省上饶市民校联盟 2018-2019 学年高二上学期阶段（一）测试】设关于 的一元二次方程（1）若 是从 0，1，2，3，4 五个数中任取的一个数， 是从 0，1，2 三个数中任取的一个数，求上述方程有
13、实根的概率；（2）若 是从区间 上任取的一个数， 是从区间 上任取的一个数，求上述方程有实根的概率【答案】 （1） ；（2）【解析】（1）由题意知本题是一个古典概型，设事件 A 为“方程有实根” ，总的基本事件共 15 个：（0，0）（0， 1）（0，2）（1，0）（1，1）（1，2）（2，0）（2，1）（2，2）（3,0）（3,1）（3,2）（4，0）（4，1）（4，2），其中第一个数表示 a 的取值，第二个数表示 b 的取值事件 A 中包含 8 个基本事件（a2b）， （0，0）（1，0）（2，0）（2，1）（3，0）（3，1）（4，0）（4，1）（4，2），事件 A 发生的概率为 ；（2
14、）由题意知本题是一个几何概型，试验的全部结束所构成的区域为（a，b）|0a4，0b2 ，满足条件的构成事件 A 的区域为（a，b）|0a4，0b2，a2b 所求的概率是 18 【江苏省兴化市第一中学 2017-2018 学年第二学期高二月考】已知有一个三边长分别为 3,4,5 的三角形.求下面两只蚂蚁与三角形三顶点的距离均超过 1 的概率.(1)一只蚂蚁在三角形的边上爬行(2)一只蚂蚁在三角形所在区域内部爬行【答案】 （1） .（2） .【解析】记“蚂蚁与三角形三顶点的距离均超过 1”为事件 A.(1) 根据题意，如图 ，则 的周长为 12，由图分析可得，距离三角形的三个顶点的距离均超过 1
15、的部分为线段 上，即其长度为 6；则蚂蚁距离三角形的三个顶点的距离均超过 1 的概率蚂蚁在三角形的边上爬行,其测度是长度,所求概率P(A)= = .(2)蚂蚁在三角形所在区域内部爬行,其测度是面积, 三角形 的面积为 ，离三个顶点距离都不大于 1 的地方的面积为 ，所以其恰在离三个顶点距离都大于 1 的地方的概率为所求概率 P(A)= =1- .19小明一家订阅的晚报会在下午 5:306:30 之间的任何一个时间随机地被送到,小明一家人在下午6:007:00 之间的任何一个时间随机地开始晚餐.(1)你认为晚报在晚餐开始之前被送到和晚餐开始之后被送到哪一种可能性更大?(2)晚报在晚餐开始之前被送
16、到的概率是多少?【答案】(1) 事件 A 发生的可能性大(2)【解析 】建立如图所示的坐标系.图中直线 x=6,x=7,y=5.5,y=6.5 围成一个正方形区域 G,该试验的所有结果与区域 G 内的点(x,y) 一一对应.由题意知,每次结果出现的可能性是相同的,是几何概型.(1)作射线 y=x(x0).晚报在晚餐前送达即 yx,因此图中阴影部分表示事件 A:“晚报在晚餐前送达”.而 G 中空白部分则表示事件 B: “晚报在晚餐开始后送到 ”.由图知事件 A 发生的可能性大.(2)易求 G 的面积为 1,而 g 的面积为 ,由几何概型的概率公式可得 P(A)= .学科网20 【福建省泉州市永春县第 一中学 2017-2018 学年高二上学期期初考试】已知圆 直 线.学!科网（1）圆 的圆心到直线 的距离为？（2）圆上 任意一点 到直线 的距离小于 的概率为多少？【答案】 （1） ；（2） .【解析】 （1）由题意知，圆 的圆心是 ，圆心到直线的距离是.（2）圆心 到直线 的距离是 ，到直线 的距离是 ，则劣弧 所对应的弧上的点到直线 的距离都小于 ，优弧所对应的弧上的点到直线 的距离都大于 ， ， ， ，根据几何概型的概率公式得到 .
