1、厦门外国语学校 2018-2019学年高三第三次月考数学（理）试题一、选择题1.已知集合 ， ，则 ( )A. B. C. D. 【答案】A【解析】， ，故选 A2.“ ”是“ ”的（ ）A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件【答案】B【解析】，故为必要不充分条件.3.数列 为等差数列， 是其前 项的和，若 ，则 （ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】利用等差数列前 项公式，以及等差数列的性质，将 转化为 的形式，求出 ，进而求得的值.【详解】依题意 ，所以 ，故 .故选 D.【点睛】本小题主要考查等差数列前 项和公式，考查
2、等差数列的性质，以及考查特殊角的三角函数值，属于基础题.4.若 ， （常数 ） ，则点 的轨迹是（ ）A. 椭圆 B. 线段 C. 椭圆或线段 D. 椭圆或直线【答案】C【解析】当 a=2时，若 F1（2，0） ，F 2（2，0） ，|PF 1|+|PF2|=4，则点 P的轨迹是线段，当 时 4,这时轨迹是椭圆。故答案为 C。5.已知实数 满足 ，则 的最小值为（ ）A. 1 B. 3C. 4 D. 6【答案】C【解析】试题分析：画出可行域如下图所示，由图可知目标函数 在点 处取得最小值为 .考点：线性规划.6.算法统宗是中国古代数学名著，由明代数学家程大位所著，该作完善了珠算口诀，确立了算盘
3、用法，完成了由筹算到珠算的彻底转变，该作中有题为“李白沽酒” “ 李白街上走，提壶去买酒。遇店加一倍，见花喝一斗,三遇店和花，喝光壶中酒。借问此壶中，原有多少酒？” ，如图为该问题的程序框图，若输出的 值为 0，则开始输入的 值为( ) A. B. C. D. 【答案】C【解析】模拟程序的运行，可得时， ， 满足条件 ，执行循环体；时， ， 满足条件 执行循环体；时， ， 不满足条件 ，退出循环体，输出故选 C7.已知函数 的最大值为 2，且满足 ，则（ ）A. B. C. 或 D. 或【答案】C【解析】函数满足 ，则函数关于直线 对称，由函数的解析式可得： ，分类讨论：若 ，则 ，由函数的对
4、称性可得： ，令 可得： ；若 ，则 ，由函数的对称性可得： ，令 可得： ；综上可得： 或 .本题选择 C选项.8.已知直线 与双曲线 交于 两点，且线段 的中点 的横坐标为 ，则该双曲线的离心率为（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】由题意得 M ，设 代入双曲线方程相减得故选 B点睛：本题考查了直线与双曲线的位置关系，已知弦 AB的中点 M坐标，可采用点差法，得出 是解决本题的关键.9.已知函数 ( 为自然对数的底数)，若 在 上恒成立，则实数 的取值范围是（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】分析：不等式 在 上恒成立等价于 在 上恒成立，可利用导数求在 上的函数的
5、最小值.详解：因为 在 上恒成立，故在 上不等式 总成立，令 ，则 .当 时， ，故 在 上为减函数；当 时， ，故 在 上为增函数；所以 ，故 ，故选 D.点睛：含参数的不等式的恒成立问题，优先考虑参变分离的方法，注意利用导数来求新函数的最值.10.已知等腰直角 中， ，斜边 ，点 D是斜边 上一点（不同于点A、B） ，沿线段 折起形成一个三棱锥 ，则三棱锥 体积的最大值是（ ）A. 1 B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】设 ，将 折起使得平面 平面 ，求得三棱锥 体积的表达式，然后利用换元法求得体积的最大值.【详解】设 ，将 折起使得平面 平面 ，在三角形 中，由面积公式得 （其
6、中 到 的距离为 ） ，则 .故三棱锥 体积为（ ）.令 ，故，由于 是递减函数，故当 时取得最大值，为 .【点睛】本小题主要考查三棱锥体积的计算，考查函数的单调性，考查换元法求函数的最值，属于中档题.11.给定两个单位向量 ， ，且 ，点 在以 为圆心的圆弧 上运动，则 的最小值为（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】给定两个单位向量 ， ，且 则 ，建立如图所示的坐标系，则 A（1，0） ，B（cos150，sin150） ，即 设AOC= ，则因为 则 ， 所以 =因为 ， 所以 有最小值-1.故选 B12.已知数列 的前 项和为 ，数列 为 ，若 ，则( )A. B. C.
7、D. 【答案】D【解析】【分析】设 ，其从第二项起，前 项和 .利用 求得 所在的位置，并由此求得 的值.【详解】设 ，从第二项起， 项和.令 即 ，故当 时符合题意.由于 从 开始，即，而 .即， 故 .故选 D.【点睛】本小题主要考查新定义数列的前 项和的求法，以及等差数列前 项和公式，考查分析和运算求解能力，属于中档题.解题过程中，首先是观察题目所给数列的规律，数列是分组呈现的，第一组的分母是 ，分子是 ，第二组分母是 ，分子从 递增，以此类推.找到规律后，先求得每组和的公式，然后求整体的和，列不等式来求 的位置.二、填空题13.已知 i是虚数单位，若 是纯虚数，则实数 _【答案】1【解
8、析】【分析】利用复数的除法运算化简复数 ，根据复数为纯虚数求得 的值.【详解】依题意， 为纯虚数，故 .【点睛】本小题考查复数的除法运算、乘法运算，考查纯虚数的概念，考查运算求解能力，属于基础题.14.过直线 与抛物线 的两个交点，并且与抛物线准线相切的圆的为_【答案】【解析】【分析】求得直线 与抛物线交点的坐标.根据圆的对称性得到圆心在 轴上，设出圆心坐标，利用圆和准线 相切列方程，解方程求得圆心坐标并求出圆的半径.【详解】抛物线的准线方程为 ，将 代入抛物线的方程，求得 ，故两个交点的坐标为 .由于圆和 相切，根据圆的对称性可知，圆心在 轴上.设圆心的坐标是，故 ，解得 ，故圆心为 ，半径
9、为 ，所以圆的方程为.【点睛】本小题主要考查抛物线的几何性质，考查圆的方程的确定，考查直线和圆的位置关系.得到一个抛物线的方程，首先确定好抛物线的开口方向、焦点坐标和准线方程等等.直线和抛物线的交点坐标，可以将直线方程代入抛物线方程来求解出来.圆是对称图形，弦的垂直平分线经过圆心，这是一个很重要的性质，主要用来确定圆心的位置.15.如图，网格纸上小正方形的边长为 l，粗实线画出的是某几何体的三视图，该几何体是由一个三棱柱切割得到的，则该几何体外接球的表面积为_【答案】【解析】【分析】画出三视图对应的几何体的直观图，根据几何体的三条相互垂直的棱，确定几何体外接球的半径，从而求得外接球的表面积.【
10、详解】画出三视图对应的几何体的直观图如下图所示的三棱锥 ，由三视图可知两两垂直，故几何体的外接球是以 分别为长、宽、高的长方体的外接球.由于 ，是以长方体的体对角线也即是外接球的直径为 ，故外接球的半径为 ，表面积为 .【点睛】本小题主要考查空间几何体的三视图、考查几何体外接球的表面积的求法，考查数形结合的数学思想方法，属于基础题.16.已知直线上 与函数 的图象交于三点,其横坐标分别是 .若对任意的 ， 恒成立,则实数 a的取值范围是_【答案】【解析】【分析】先找到直线 所过的定点，利用导数画出函数 在 上的图像，在 上的图像先明确过的定点，再结合直线 和函数 图像交点的性质，列不等式组，从
11、而求得 的取值范围.【详解】直线 方程可化为 ，故直线过定点 .当 时， ，故函数也过 .不妨设 .故 恒成立.当 时，令 ，解得，故函数 在 上递减，在 上递减.， .画出函数 在 上的图像，由图可知，当时：在 ， 与直线有且只有两个交点，且一个交点处于 轴左侧，另一个交点为. 时， 和直线有一个交点，则 .则当 时，令 ，化简得，解得 .当 时，由 ，解得 .由于 ，则 ，化简得 ，由于 ，所以.【点睛】本小题主要考查直线过定点，考查利用导数求函数的单调区间并利用单调区间画出函数图像，考查了数形结合的数学思想方法，属于中档题.三、解答题17.已知数列 和 对任意的 满足 ，若数列 是等比数
12、列，且.（1）求数列 和 的通项公式；（2）设 ，求数列 的前 项和 .【答案】 （1） ；（2） .【解析】【分析】（1）利用 求出 ，利用 求出 ，从而求得 ，由此求得等比数列 的首项和公比，进而求得数列 的通项公式，代回已知条件求解出 的通项公式.（2）利用分组求和法以及裂项相消求和法求得数列 的前 项和.【详解】 （1）由条件可知 ，得 ，于是 ， ，解得 ，又数列 是等比数列，则公比为 ，于是 ，又 ，于是 ， 解得 . （2）由题意得 ， .【点睛】本小题主要考查等比数列通项公式的求解，考查分组求和法以及裂项相消求和法，属于中档题.18.在平面直角坐标系 中，角 的顶点是原点，始边
13、与 轴的正半轴重合，终边交单位圆于点 ，且 ，点 的坐标为 （I）若 ，求点 的坐标；（II）若 ，且在 中，角 ， ， 的对边分别为 ， ， ， ， ，求 的最大值【答案】(1) .(2) .【解析】试题分析：(1)由题意结合平面向量数量积的坐标运算法则结合三角函数的性质可得点 的坐标是 ；(2)由题意结合正弦定理将边长问题转化为三角函数问题，结合辅助角公式可得 的最大值是 .试题解析：（1）由题意， ， ，因为 ，所以 ，即 .又 ，所以 ， ， ，所以点的坐标为 .（2）由 知，向量 ， 同向平行，易知直线 的倾斜角为 ，所以 ，即 .由正弦定理得 当 时， .19.如图， 为多面体，平
14、面 与平面 垂直，点 在线段 上， 都是正三角形.（1）证明：直线 面 ；（2）在线段 上是否存在一点 ，使得二面角 的余弦值是 ，若不存在请说明理由，若存在请求出 点所在的位置。【答案】 （1）见解析；（2）见解析.【解析】【分析】（1）通过证明 ，证得平面 平面 ,由此证得 平面 .（2）设的中点为 ，以 为原点， 、 、 所在直线分别为 轴、 轴、 轴建立空间直角坐标系设出 点的坐标，利用平面 和平面 的法向量计算二面角的余弦值，由此列方程解出 点的坐标，确定 为 的中点.【详解】 （1）依题意，在平面 中， ，又 平面 ， 平面 ；同理，在平面 中， 平面 ； 面 ， 面 ， 面 ，
15、面 ，由可得，平面 平面 .又 面 ，所以直线 面 .（2）设 的中点为 ，以 为原点， 、 、 所在直线分别为 轴、 轴、 轴建立空间直角坐标系。易知， ， ， , .设 ， .可得 ，设 为平面 的法向量，由 有 ，可取 ，又面 的法向量可取 ，所以 ，所以 ，又 ， 。存在满足条件的点 ， 为 中点。【点睛】本小题主要考查空间直线和平面平行的证明，考查探究某个点使二面角为定值的问题，考查方程的思想方法，属于中档题.要证明直线和平面平行，有三种方法，第一种方法是利用中位线，证得直线和平面内的一条直线平行，第二种是利用平行四边形，第三种就如本题中的，利用面面平行来证明.20.在直角坐标系 中
16、，曲线 上的点均在曲线 外，且对 上任意一点 ，到直线 的距离等于该点与曲线 上点的距离的最小值（1）求动点 的轨迹 的方程；（2）若点 是曲线 的焦点，过 的两条直线 关于 轴对称，且分别交曲线 于 ，若四边形 的面积等于 ，求直线 的方程.【答案】 （1） ；（2） .【解析】【分析】（1）求得 的圆心和半径，利用题目所给“ 到直线 的距离等于该点与曲线 上点的距离的最小值”列方程，化简这个方程可求得轨迹 的方程.（2）设出直线 的方程，代入抛物线的方程求得弦长 的值.根据对称性求得 的值，利用面积公式列方程，从而求得所求直线的斜率，进而求得直线方程.【详解】 （1）由已知得曲线 是以 为
17、圆心， 为半径的圆.设 ，则 到直线 的距离等于 ，又 到圆 上的点的距离的最小值为 ，所以由已知可得 ，化简得 ， 所以曲线 的方程为 .（2）依题意可知，直线 的斜率存在，并且互为相反数.设直线 的方程 ，代入抛物线方程并化简得 ，故 ，由弦长公式得，同理 .下面求直线 夹角的正弦值.设直线 的倾斜角为 ，则 ，则直线 夹角为 ，且.所以四边形 的面积为， ，解得 ，此时直线 的斜率为，根据对称性可知.当直线 斜率为 时， 斜率为 ，也符合题意.故 ，所求的直线方程为 .【点睛】本小题主要考查利用直接法求动点的轨迹方程，考查直线和抛物线的位置关系，考查四边形面积公式，属于中档题.21.已知
18、函数 ，其中 为自然对数的底数（1）若 ，求曲线 在点 处的切线方程；（2）若关于 的不等式 在 上恒成立，求实数 的取值范围【答案】 （1） （2） 【解析】试题分析：（1）利用导数的意义求得切线方程为 ；（2），设 ，通过求导，分类讨论，得到的取值范围为 试题解析：（1）依题意， ， ，故 ，而 ，故所求方程为 ，即 （2） ，依题意，当 时， ，即当 时， ；设 ，则 ，设 ，则 当 时， ， ，从而 （当且仅当 时，等号成立） ， 在 上单调递增，又 ，当 时， ，从而当 时， ， 在 上单调递减，又 ，从而当 时， ，即 ，于是当 时， ；当 时，令 ，得 ， ，故当 时， ， 在
19、上单调递减，又 ，当 时， ，从而当 时， ， 在 上单调递增，又 ，从而当 时， ，即 ，于是当 时， ，不符合题意综上所述，实数 的取值范围为 【请从 22，23 题中任选一题答在 22题位置】22.在平面直角坐标系 中,曲线 的参数方程为 为参数);在以原点 为极点,轴的正半轴为极轴的极坐标系中,曲线 的极坐标方程为 (1)求曲线 的极坐标方程和曲线 的直角坐标方程;(2)若射线 与曲线 的交点分别为 异于原点),当斜率 时,求的取值范围【答案】 （1） ， ；（2） .【解析】试题分析：（）首先将曲线 的参数方程化为普通方程，从而求得 的极坐标方程，将曲线 的极坐标方程两边同乘以 ，由
20、此可求得 的直角坐标方程；（）首先求得射线 的极坐标方程，然后联立曲线 的极坐标方程，从而利用参数的几何意义求解试题解析：（I） 的极坐标方程为 3 分的直角坐标方程为 5 分（II）设射线 的倾斜角为 ，则射线的极坐标方程为 ，且 ，联立 得 ，7 分联立 ，得 ，9 分所以 ，即 的取值范围是 10 分考点：1、参数方程；2、极坐标方程与直角坐标方程间的互化23.已知函数 .(1)当 时，解不等式 ；(2)当 时， 恒成立，求 的取值范围.【答案】 （1） ；（2） .【解析】【分析】（1）当 时，利用零点分段法去绝对值，将原函数写为分段函数的形式，由此求得不等式的解集.（2）将恒成立的不等式化简为 ，用含有一个绝对值的不等式的解法去掉绝对值符号，解不等式，由此求得实数 的取值范围.【详解】 （1）当 时， ，有所以 或 或 ，所以 或 或 ， 综上，不等式解集为（2）当 时， 恒成立，有 .恒成立. 或 恒成立.或 恒成立， 当 时， 或 恒成立，解得 不存在；解得： . 综上知， .【点睛】本小题主要考查利用零点分段法解含有两个绝对值的不等式，考查求解不等式恒成立问题.属于中档题.
