1、炎德英才大联考湖南师大附中 2019 届高三月考试卷(七)数 学(文科)命题：洪利民 王朝霞 钱华 审题：高三文科数学备课组本试卷分第卷(选择题) 和第卷(非选择题) 两部分，共 8 页。时量 120 分钟。满分 150 分。第卷一、选择题：本大题共 12 个小题，每小题 5 分，共 60 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1已知集合 A x|lg x0，Bx|x1，则(B)AA B BABR CBA DA B【解析】由 B x|x1， 且 A x|lg x0(1，)，A BR ，故选 B.2若复数 z 满足 i(z3)13i(其中 i 是虚数单位 )，则 z 的虚部为(A
2、)A1 B6 Ci D 6i【解析】iz3i13i， iz16i，z6 i ，故 z 的虚部为 1.故选A.3函数 f ln 的零点所在的大致区间为 (B)(x) (x 1)2xA. B. C. D.(0， 1) (1， 2) (2， 3) (3， 4)【解析】f ln 在 函数单增， 且 f ln (x) (x 1)2x (0， ) (1)220.所以函数 f ln 的零点所在的大致区间为(2) (x) (x 1)2x.故选 B.(1， 2)4七巧板是我国古代劳动人民的发明之一，被誉为“东方模板” ，它是由五块等腰直角三角形，一块正方形和一块平行四边形共七块板组成的如图是一个七巧板拼成的正方
3、形，若在此正方形中任取一点，则此点在阴影部分的概率是(C)A. B.932 516C. D.38 716【解析】设最小的等腰直角三角形的面积为 1，则大正方形的面积为 16，阴影部分的面积为 6，则所求的概率是 P .则选 C.616 385设 F1 和 F2 为双曲线 1(a0 ，b0) 的两个焦点，若点 P(0，2b)、x2a2 y2b2F1、F 2 是等腰直角三角形的三个顶点，则双曲线的渐近线方程是(C)Ay x By x Cy x Dy x3217 33 213【解析】由双曲线的对称性可知，直角顶点为 P， 在等腰三角形 PF1F2 中，由|PF 1|2|PF 2|2|F 1F2|2，
4、得 c24b 2c 24b 24c 2，化简得 8b22c 2，即4b2c 2，把 c2a 2b 2 代入 4b2c 2，得 3b2a 2，即 ，则双曲线的渐近线b2a2 13方程为 y x，故选 C.336给出下列四个命题：“若 x0 为 yf(x)的极值点，则 f(x0)0”的逆命题为真命题；“平面向量 a，b 的夹角是钝角”的充分不必要条件是 ab0；命题“x R，使得 x2x10)的焦点为 F，准线 l：x 1，点 M 在抛物线 C 上 ，点 M 在直线 l：x1 上的射影为 A，且直线 AF 的斜率为 ，则3MAF 的面积为(C)A. B2 3 3C4 D83 3【解析】设准线 l
5、与 x 轴交于点 N，所以|FN| 2，因为直线 AF 的斜率为，所以 AFN60 ，所以 |AF|4，由抛物线定义知，|MA|MF|，且3MAF AFN60，所以MAF 是以 4 为边长的正三角形，其面积为424 ，故选 C.34 310若函数 f(x)2 sin xcos x2sin 2 xcos 2 x 在区间3上单调递增，则正数 的最大值为(B)32， 32A. B. C. D.18 16 14 13【解析】因为 f(x)2 sin xcos x2sin 2xcos 2x sin 2x23 3cos 2x sin 2x1.由函数 yf(x )在区间 上单调递增1 cos 2x2 3 3
6、2， 32知，所以 ，即 3 ，结合 0，可得 00 或 f(x)0)”，记命题 q 为“M(x，y )满足 ”若 p 是 q 的充分不必要条件，则实数 a 的最大值为_x 2y 4，x y 4，4x 3y 4 0， )_45【解析】依题意可知，以原点为圆心，a 为半径的圆完全在由不等式组所围成的区域内 ，由于原点到直线 4x3y40 的距离为 ，2x 4y 8，x y 4，4x 3y 4 0) 45从而实数 a 的最大值为 .4516已知函数 f(x) x 2mx，若函数 f(x)在 (0，3)上有两个不同的零|x2 4|点，则实数 m 的取值范围是_ 0)对上述数据作了初步处理 ，得到相关
7、的值如下表： 6 i 1 （ln xi）i 1 （ln xiln yi）6 i 1 （ln yi）(ln xi)275.3 24.6 18.3 101.4(1)根据所给数据，求 y 关于 x 的回归方程；(2)已知这种产品的年利润 z 与 x，y 的关系为 z y x.若想在 2018 年达2e14到年利润最大，请预测 2018 年的宣传费用是多少万元？附：对于一组数据 ， ， ，其回归直线 vu(u1， v1)(u2， v2) (un， vn)中的斜率和截距的最小二乘估计分别为 ， .v u 【解析】(1)对 yax b，(a，b0)两边取对数得 ln yln abln x，令 uiln x
8、i，v iln y i得 vln abu，由题给数据，得： 4.1， 3.05，u 24.66 v 18.36101.4，于是(ln xi)2 b ，ln 75.3 64.13.05101.4 6(4.1)2 0.270.54 12a b 3.05 4.11，v u 12得 ae，故所求回归方程为 ye .8 分x(2)由(1)知，年利润 z 的预报值为 y xe x (x14 )z 2 e14 2x e14 e14 2x ( 7 )27e ，所以当 7 即 x98 时， 有最大值e14 x 2 x 2 z 故当 2018 年的宣传费用为 98 万元时，年利润有最大值.12 分20(本题满分
9、12 分)如图，已知圆 F1 的方程为(x 1) 2y 2 ，圆 F2 的方程为(x 1) 2y 2 ，498 18若动圆 M 与圆 F1 内切， 与圆 F2 外切(1)求动圆圆心 M 的轨迹 C 的方程；(2)过直线 x2 上的点 Q 作圆 O：x 2y 22 的两条切线，设切点分别是M，N，若直线 MN 与轨迹 C 交于 E，F 两点，求| EF|的最小值【解析】(1)设动圆 M 的半径为 r，动圆 M 与圆 F1 内切，与圆 F2 外切， r ，且 r.于是， 2 2，|MF1|724 |MF2| 24 |MF1| |MF2| 2|F1F2|所以动圆圆心 M 的轨迹是以 F1，F 2 为
10、焦点，长轴长为 2 的椭圆从而，2a ， c1 ，2所以 b1.故动圆圆心 M 的轨迹 C 的方程为 y 21.5 分x22(2)设直线 x2 上任意一点 Q 的坐标是(2，t)，切点 M，N 坐标分别是， ；(x3， y3)(x4， y4)则经过 M 点的切线斜率 k ，方程是 x3xy 3y2，x3y3经过 N 点的切线方程是 x4xy 4y2，又两条切线 MQ，NQ 相交于Q(2，t )则有 所以经过 M，N 两点的直线 l 的方程是 2xty2，2x3 ty3 2，2x4 ty4 2， )当 t0 时，有 M(1，1) ，N(1，1) ，E ，F ，则(1， 22) (1， 22) ；
11、|EF| 2当 t0 时，联立 整理得( t28)x 2 16x82t 20；2x ty 2，x22 y2 1， )设 E，F 坐标分别为( x5，y 5)，(x 6，y 6)，则x5 x6 16t2 8，x5x6 8 2t2t2 8， )所以 2 ，|EF|1 ( 2t)2 （x5 x6）2 4x5x6 22（t2 4）t2 8 2 82t2 8 2综上所述，当 t0 时，|EF| 有最小值 .12 分221(本题满分 12 分)已知函数 g aln x，f x 3x 2bx.(x) (x)(1)若 f 在区间 上不是单调函数 ，求实数 b 的范围；(x) 1， 2(2)若对任意 x ，都有
12、 g x 2(a2)x 恒成立，求实数 a 的取值1， e (x)范围；(3)当 b0 时 ，设 F 对任意给定的正实数 a，曲线(x) f（ x）， x0，f(x) min 5 b0，1， ea 恒成立，即 a ，x2 2xx ln x (x2 2xx ln x) min令 t ， ，求导得 t ，(x)x2 2xx ln x(x 1， e) (x) (x 1)(x 2 2ln x)(x ln x)2 当 x 时，x 10，0ln x1，x22ln x0，从而 t 0，1， e (x)t 在 上是增函数，t min t 1，a1.8 分(x) 1， e (x) (1)(3)由条件，F (x)
13、 x3 x2， x0) ( t， t3 t2)POQ 是以 O 为直角顶点的直角三角形， 0， t 2F 0 (*)OP OQ (t)(t3 t2)是否存在 P，Q 等价于方程(*)在 t0 且 t1 是否有解，当 01 时， 方程(*) 为t 2aln t 0，即 ln t，(t3 t2)1a (t 1)设 h ln t ，则 h ln t 1，(t) (t 1) (t1) (t)1t显然，当 t1 时，h 0，即 h 在 上为增函数，(t) (t) (1， )h 的值域为 ，即 ， 当 a0 时，方程 总有解，(t) (h(1)， ) (0， ) (*)对任意给定的正实数 a，曲线 yF
14、上存在两点 P，Q ，使得POQ 是以(x)O(O 为坐标原点 )为直角顶点的直角三角形，而且此三角形斜边中点在 y 轴上.12分请考生在第 22、23 两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分。做答时请写清题号。22(本题满分 10 分) 选修 44：极坐标与参数方程在直角坐标系中，圆 C1：x 2y 21 经过伸缩变换 后得到曲线 C2.x 2x，y 3y)以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴 ，并在两种坐标系中取相同的单位长度，建立极坐标系，直线 l 的极坐标方程为 (2cos sin )9.3(1)求曲线 C2 的直角坐标方程及直线 l 的直角坐标方程；(2)设点 M 是
15、C2 上一动点，求点 M 到直线 l 的距离的最大值【解析】(1)由 x2y 21 经过伸缩变换 可得曲线 C2 的方程为x 2x，y 3y) 1，(x2)2 (y3)2 即 1，由极坐标方程 (2cos sin ) 9 可得直线 l 的直角坐标方x24 y23 3程为 2x y90.5 分3(2)因为椭圆的参数方程为 ( 为参数)，所以可设点 M(2cos ，x 2cos ，y 3sin )sin )，3由点到直线的距离公式，点 M 到直线 l 的距离为 d |4cos 3sin 9|7(其中 sin ，cos )，|5sin（ ） 9|7 45 35由三角函数性质知，当 时，点 M 到直线
16、 l 的距离有最大值 2 .107分23(本题满分 10 分) 选修 45：不等式选讲已知函数 f ，g ，其中 a，b 均为正实(x) |x 1| |1 x| (x) |x a2| |x b2|数，且 ab2.(1)求不等式 f 1 的解集；(x)(2)当 xR 时，求证 f g .(x) (x)【解析】(1)由题意 ，f (x) 2， x 1，2x， 1 x 1，2， x 1， )当 x1 时，f 21，不等式 f 1 无解；当1x1 时，f(x) (x) 2x1， 解得 x ，所以 x1.(x)12 12当 x1 时 ，f 21 恒成立，所以 f 1 的解集为 .5 分(x) (x) 12， )(2)当 xR 时，f |x1 1x x1 |2；(x) | | | | (1 x)g a 2 b2.(x) |x a2| |x b2| |x a2 (x b2)|而 a2b 2(ab) 22ab(ab) 22 2，(a b2 )2 （a b）22当且仅当 ab1 时，等号成立，即 a2b 22，因此，当 xR 时，f 2a 2b 2g ，(x) (x)所以，当 x R 时，f g .10 分(x) (x)
