1、第二章 2.5 第 1 课时 A 级 基础巩固一、选择题1已知a n是由正数组成的等比数列，S n表示a n的前 n 项和若a13，a 2a4144，则 S10 的值是( D )A511 B1 023C1 533 D3 069解析 由题意知 a2a4144，即 a1qa1q3144，所以 a q4144，21q416， q2，S 10 3(2 101) 3 069.a11 q101 q2在各项都为正数的等比数列a n中，首项 a13，前 3 项和为 21，则 a3a 4a 5 等于( C )A33 B72C84 D189解析 设等比数列公比为 q.a1a 2a 321 且 a13，a1(1 q
2、q 2) 21，1 qq 27，q 2q60，q 2 或 q3(舍) ，又 a3a 4a 5a 1q2(1qq 2)，(a3a 4a 5) 34784.3等比数列a n中，已知前 4 项之和为 1，前 8 项和为 17，则此等比数列的公比 q 为( C )A2 B2C2 或2 D2 或1解析 S 41，S 8S 4q 4S41q 417q2.4在等比数列a n中，a 1a，前 n 项和为 Sn，若数列a n1成等差数列，则 Sn等于( C )Aa n1 a Bn(a1)Cna D( a1) n1解析 利用常数列 a，a，a，判断，则存在等差数列 a1，a1，a1，或通过下列运算得到：2(aq1
3、)( a1) (aq 21)，q1， Snna.5已知等比数列前 20 项和是 21，前 30 项和是 49，则前 10 项和是( D )A7 B9C63 D7 或 63解析 由 S10，S 20S 10，S 30S 20成等比数列，(S20 S10)2S 10(S30S 20)，即(21S 10)2S 10(4921)，S107 或 63.6已知a n是等比数列，a 22，a 5 ，则 a1a2a 2a3 a nan1 ( C )14A16(14 n ) B16(12 n )C (14 n ) D (12 n )323 323解析 q 3 ，q .a5a2 18 12anan 14( )n1
4、 4( )n12 122 52n ，故 a1a2a 2a3a 3a4a nan12 32 12 1 2 3 2 52n81 14n1 14 (14 n )323二、填空题7已知等比数列a n的首项为 8，S n是其前 n 项和，某同学经计算得S224，S 338，S 465，后来该同学发现其中一个数算错了，则算错的那个数是_S 2_，该数列的公比是_ _.32解析 设等比数列的公比为 q，若 S2计算正确，则有 q2，但此时S338，S 465，与题设不符，故算错的就是 S2，此时，由 S338 可得 q ，且 S46532也正确8某厂去年产值为 a，计划在 5 年内每年比上一年产值增长 10
5、%，从今年起 5 年内，该厂的总产值为_11a(1.1 5 1)_.解析 依题意知，每年的产值构成一等比数列，其公比为 110%1.1.其首项为 1.1a，故从今年起 5 年内，该厂的总产值为：S5 11a(1.1 5 1)1.1a1 1.151 1.1三、解答题9在等比数列a n中，(1)若 Sn189，q2，a n96，求 a1 和 n；(2)若 a1a 310，a 4a 6 ，求 a4 和 S5；54(3)若 q2，S 41，求 S8.解析 (1)解法一：由 Sn ，a na 1qn1 以及已知条件得a11 qn1 qError!，a12n 192， 2n .192a1189a 1(2n
6、 1)a 1( 1)，192a1a13.又 2n1 32，n6.963解法二：由公式 Sn 及条件得a1 anq1 q189 ，解得 a13，又由 ana 1qn1 ，a1 9621 2得 9632 n1 ，解得 n6.(2)设公比为 q，由通项公式及已知条件得Error!，即Error!a10,1q 20，得 q3 .18即 q ，a 18.12a4a 1q38( )31，12S5 .a11 q51 q81 1251 12 312(3)设首项为 a1，q 2，S 41， 1，a11 241 2即 a1 .115S8 17.a11 q81 q 1151 281 210(2017全国卷文，17)
7、已知等差数列 an的前 n 项和为 Sn，等比数列 bn的前 n项和为 Tn，a 1 1，b 11，a 2b 22.(1)若 a3b 35，求b n的通项公式；(2)若 T321，求 S3.解析 设a n的公差为 d，b n的公比为 q，则 an1(n1) d，b nq n1 .由 a2b 22 得 dq3.(1)由 a3b 35 得 2dq 26.联立和解得Error!( 舍去) ，Error! .因此b n的通项公式为 bn2 n1 .(2)由 b11，T 321 得 q2q 200.解得 q5 或 q4.当 q5 时，由得 d8，则 S321.当 q4 时，由得 d1，则 S36.B 级
8、 素养提升一、选择题1(20182019 学年度山东荣成六中高二月考 )设 Sn是等比数列 an的前 n 项和， S3S6，则 等于( B )13 S6S12A B310 15C D18 19解析 设公比为 q， ，q1.S3S6 13 ，a11 q31 qa11 q61 q a11 q31 q 1 qa11 q31 q3 11 q3 13q32. S6S12a11 q61 qa11 q121 q a11 q61 q 1 qa11 q61 q6 .11 q6 11 4 152设a n是等比数列，S n是a n的前 n 项和，对任意正整数 n，有an2a n1 a n2 0，又 a12，则 S1
9、01 的值为( A )A2 B200C2 D0解析 设公比为q， an 2an1 a n2 0，a 12a 2a 30，a 12a 1q a1q20， q22q10，q1，又a 12，S101 2.a11 q1011 q 21 11011 13(2015福建理，8)若 a，b 是函数 f(x)x 2pxq( p0，q0)的两个不同的零点，且 a，b，2 这三个数可适当排序后成等差数列，也可适当排序后成等比数列，则 pq 的值等于( D )A6 B7C8 D9解析 由韦达定理得 abp，abq，因为 p0，q0，则 a0，b0，当a，b，2 适当排序后成等比数列时，2 必为等比中项，故 ab(
10、2) 24，故q4，b .当适当排序后成等差数列时，2 必不是等差中项，当 a 是等差中项时，4a2a 2，解得 a1，b4， ；当 b 是等差中项时， a2，解得 a4，b1，综上所述，4a 8aabp5，所以 pq9，选 D4设a n是由正数组成的等比数列，S n为其前 n 项和，已知 a2a41，S 37，则 S5( B )A B152 314C D334 172解析 a n是正数组成的等比数列，a 3 1，又 S37，Error!，消去 a1得，a2a47，解之得 q ，a 14，S 5 .q2 q 1q2 124(1 125)1 12 314二、填空题5设等比数列a n的前 n 项和
11、为 Sn，若 a11，S 64S 3，则 a4_3_.解析 若 q1 时，S 33a 1，S 66a 1，显然 S64S 3，故 q1， 4 ，1q 34，q 33.a11 q61 q a11 q31 qa4a 1q33.6将正偶数集合2,4,6,8， ，2n， 中的数从小到大按第 n 组有 2n个数进行分组如下：第 一 组 2，4 第 二 组 6，8，10，12 第 三 组 14，16，18，20，22，24，26，28 则 2 018 位于第_9_组解析 前 n 组共有 2482 n 2 n1 2 个数由 an2n2 22n 12 1018 得 n1 009，2 018 为第 1 009
12、个偶数29512,2 101 024，前 8 组共有 510 个数，前 9 组共有 1 022 个数，因此 2 018 位于第 9 组三、解答题7(2016全国卷文，17)已知 an是公差为 3 的等差数列，数列 bn满足 b11，b 2，a nbn1 b n1 nb n.13(1)求a n的通项公式；(2)求b n的前 n 项和解析 (1)由已知， a1b2b 2b 1，b 11，b 2 ，13得 a12.所以数列a n是首项为 2，公差为 3 的等差数列通项公式为 an3n1.(2)由(1)和 anbn1 b n1 nb n，得 bn1 ，因此数列 bn是首项为 1，公比为 的等比bn3
13、13数列记b n的前 n 项和为 Sn，则Sn .1 13n1 13 32 123n 1C 级 能力拔高1(2017全国卷文，17)设数列 an满足 a13a 2(2 n1)a n2n.(1)求a n的通项公式；(2)求数列 的前 n 项和an2n 1解析 (1)因为 a13a 2 (2n1)a n2n，故当 n2 时，a13a 2(2n3)a n1 2(n1) ，两式相减得(2n1)a n2，所以 an (n2)22n 1又由题设可得 a12，满足上式，所以a n的通项公式为 an .22n 1(2)记 的前 n 项和为 Sn.an2n 1由(1)知 ，an2n 1 22n 12n 1 12
14、n 1 12n 1则 Sn 11 13 13 15 12n 1 12n 1 .2n2n 12(2016全国卷理，17)已知数列 an的前 n 项和 Sn1a n.其中 0.(1)证明a n是等比数列，并求其通项公式；(2)若 S5 ，求 .3132解析 (1)由题意得 a1S 1 1a 1，故 1，a 1 ，a 10.11 由 Sn1a n， Sn1 1a n1 得 an1 a n1 a n，即 an1 (1)a n.由 a10，0 且 1 得 an0，所以 .an 1an 1因此a n是首项为 ，公比为 的等比数列，11 1于是 an ( )n1 .11 1(2)由(1)得 Sn1( )n.1 由 S5 得 1( )5 ，即 ( )5 .3132 1 3132 1 132解得 1.
