1、第六节 指数与指数函数A 组 基础题组1.已知函数 f(x)=2x-2,则函数 y=|f(x)|的图象可能是( )答案 B y=|f(x)|=|2 x-2|= 易知函数 y=|f(x)|的图象的分段点是 x=1,且2-2,x 1,2-2,xy1y2B.y2y1y3C.y1y2y3D.y1y3y2答案 D y 1=40.9=21.8,y2=80.48=21.44,y3= =21.5.因为 1.81.51.44,且 y=2x在 R 上单(12)-1.5调递增,所以 y1y3y2.4.设 x0,且 10,b1,b x1,1ab,10,且 a1)的图象经过第二、三、四象限,则 ab的取值范围是 . 答
2、案 (0,1)解析 因为函数 y=ax-b 的图象经过第二、三、四象限,所以函数 y=ax-b 单调递减且其图象与 y 轴的交点在 y 轴的负半轴上.令 x=0,则 y=a0-b=1-b,由题意得 解得01, 7.若函数 f(x)=a|2x-4|(a0,且 a1),满足 f(1)=,则 f(x)的单调递减区间是 . 答案 2,+)解析 由 f(1)=得 a2=,所以 a=或 a=- (舍去),即 f(x)= .(13)|2-4|由于 y=|2x-4|在(-,2上递减,在2,+)上递增,所以 f(x)在(-,2上递增,在2,+)上递减.8.函数 y= - +1 在区间-3,2上的值域是 . (1
3、4)(12)答案 34,57解析 令 t= ,则 t ,(12) 14,8y=t2-t+1= +.(-12)2当 t=时,y min=;当 t=8 时,y max=57.故所求函数的值域为 .34,579.已知函数 f(x)= .(13)2-4x+3(1)若 a=-1,求 f(x)的单调区间;(2)若 f(x)有最大值 3,求 a 的值;(3)若 f(x)的值域是(0,+),求 a 的值.解析 (1)当 a=-1 时, f(x)= ,令 g(x)=-x2-4x+3,由于 g(x)在(-,-2)上单(13)-2-4x+3调递增,在(-2,+)上单调递减,而 y= 在 R 上单调递减,所以 f(x
4、)在(-,-2)上单调递(13)减,在(-2,+)上单调递增,即函数 f(x)的单调递增区间是(-2,+),单调递减区间是(-,-2).(2)令 g(x)=ax2-4x+3,则 f(x)= ,(13)()由于 f(x)有最大值 3,所以 g(x)应有最小值-1,因此必有 0,3-4 = -1,解得 a=1,即当 f(x)有最大值 3 时,a 的值为 1.(3)由指数函数的性质知,要使 f(x)的值域为(0,+),应使 y=ax2-4x+3 的值域为 R,因此只能 a=0(若 a0,则 y=ax2-4x+3 为二次函数,其值域不可能为 R).故 a 的值为 0.10.已知函数 f(x)=a|x+
5、b|(a0,a1,bR).(1)若 f(x)为偶函数,求 b 的值;(2)若 f(x)在区间2,+)上是增函数,试求 a,b 应满足的条件.解析 (1)因为 f(x)为偶函数,所以对任意的 xR,都有 f(-x)=f(x),即 a|x+b|=a|-x+b|,|x+b|=|-x+b|,解得 b=0.(2)记 h(x)=|x+b|=+, -,-,1 时, f(x)在区间2,+)上是增函数,即 h(x)在区间2,+)上是增函数,所以-b2,b-2.当 01 且 b-2.B 组 提升题组1.已知函数 f(x)=|2x-1|,af(c)f(b),则下列结论中,一定成立的是( )A.a0C.2-af(c)
6、f(b),结合图象知 f(a)f(c),即 1-2a2c-1,2 a+2c0,且 a1,函数 y=a2x+2ax-1 在-1,1上的最大值是 14,求实数 a 的值.解析 令 t=ax(a0,且 a1),则原函数可化为 y=f(t)=(t+1)2-2(t0).当 01 时,由 x-1,1,得 t=ax ,1,a此时 f(t)在 上是增函数 .1,a所以 f(t)max=f(a)=(a+1)2-2=14,所以(a+1) 2=16,即 a=-5(舍去)或 a=3.综上,a=或 a=3.4.已知函数 f(x)=1- (a0,且 a1)是定义在(-,+)上的奇函数.42+a(1)求 a 的值;(2)求
7、函数 f(x)的值域;(3)当 x(0,1时,tf(x)2 x-2 恒成立,求实数 t 的取值范围.解析 (1)因为 f(x)是定义在(-,+)上的奇函数,所以 f(-x)=-f(x).即 1- =-1+ ,所以 a=2.42-+a 42+a(2)记 y=f(x),即 y= ,2-12+1所以 2x= .由 2x0,得 0,1+1- 1+1-解得-1y1.所以 f(x)的值域为(-1,1).(3)由 tf(x)2 x-2 得 2 x-2,2-t2+1即(2 x)2-(t+1)2x+t-20.设 u=2x,因为 x(0,1,所以 u(1,2.即当 u(1,2时,u 2-(t+1)u+t-20 恒成立.所以 解得 t0.12-(t+1)1+t-2 0,22-(t+1)2+t-2 0,故 t 的取值范围是0,+).
