1、2017-2018 学年辽宁省沈阳市郊联体高一（上）期末数学试卷（B 卷）一、选择题（本大题共 12 小题，共 60.0 分）1.集合 A=y|y=x+1， x R， B=y|y=2x， x R，则 A B 等于（ ）A. B. C. D. ，【答案】A【解析】由 得 ， 得 ，则 ，故选A.2.下列四个函数中，在 上为增函数的是( )A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】为减函数， 的对称轴为 ，所以不单调， 在 为减函数。【详解】 为减函数， 的对称轴为 ，所以不单调， 在为减函数。故选 C【点睛】基本初等函数的单调性学生要熟练掌握。3.若直线 和直线 平行，则 的值为（ ）A
2、. 1 B. -2 C. 1 或-2 D. 【答案】A【解析】试题分析：由两直线平行可知满足考点：两直线平行的判定4.若 a=20.5， b=log 3， c=log20.3，则（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】利用对数函数与指数函数的单调性即可得出【详解】a=2 0.51，1b=log 30，c=log 20.30， abc 故选：D【点睛】本题考查了对数函数与指数函数的单调性，属于基础题5.直线 ax+by+c=0 经过第一、第二、第四象限，则 a， b， c 应满足（ ）A. ， B. ， C. ， D. ，【答案】B【解析】【分析】直线 ax+by+c=0 化为：
3、 ，利用斜率与截距的意义即可得出【详解】直线 ax+by+c=0 化为： ，直线 ax+by+c=0 经过第一、第二、第四象限， ， ab0，bc0故选：B【点睛】本题考查了直线斜率与截距的意义，属于基础题6.函数 f（ x）=ln x+3x-7 的零点所在的区间是（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】由函数的解析式求得 f（2）f（3）0，再根据根据函数零点的判定定理可得函数 f（x）的零点所在的区间【详解】函数 f（x）=lnx+3x-7 在其定义域上单调递增， f（2）=ln2+23-7=ln2-10，f（3）=ln3+9-7=ln3+20， f（2）f（3）0 根据函
4、数零点的判定定理可得函数 f（x）的零点所在的区间是（2，3） ， 故选：C【点睛】本题主要考查求函数的值，函数零点的判定定理，属于基础题7.给定下列四个命题：若一个平面内的两条直线与另一个平面都平行，那么这两个平面相互平行；若一个平面经过另一个平面的垂线，那么这两个平面相互垂直；垂直于同一直线的两条直线相互平行；若两个平面垂直，那么一个平面内与它们的交线不垂直的直线与另一个平面也不垂直其中，为真命题的是（ ）A. 和 B. 和 C. 和 D. 和【答案】D【解析】略8.某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积等于 （ ）A. B. C. D. 15【答案】B【解析】试题分析：根据三视图可
5、知，该几何体为一个直四棱柱，底面是直角梯形，两底边长分别为，高为 ，直四棱柱的高为 ，所以底面周长为 ，故该几何体的表面积为 ，故选 B考点：1三视图；2几何体的表面积视频9.若偶函数 f（ x）在区间（，0上单调递减，且 f（3）=0，则不等式（ x1） f（ x）0 的解集是（）A. B. C. D. ，【答案】B【解析】试题分析：由偶函数 在区间 上单调递减，且 ，所以 在区间 上单调递增，且 ，即函数 对应的图象如图所示，则不等式 等价为或 ，解得 或 ，故选 B考点：不等关系式的求解【方法点晴】本题主要考查了与函数有关的不等式的求解，其中解答中涉及到函数的奇偶性、函数的单调性，以及函
6、数的图象与性质、不等式的求解等知识点的综合考查，着重考查了学生分析问题和解答问题的能，以及推理与运算能力，试题比较基础，属于基础题，本题的解得中利用函数的奇偶性和单调性，正确作出函数的图象是解答的关键10.如图所示的是水平放置的三角形直观图，D是ABC中 BC边上的一点，且D离 C比 D离 B近，又 ADy轴，那么原ABC 的 AB、AD、AC 三条线段中( )A. 最长的是 AB，最短的是 ACB. 最长的是 AC，最短的是 ABC. 最长的是 AB，最短的是 ADD. 最长的是 AD，最短的是 AC【答案】C【解析】【分析】由斜二测画法得到原三角形，结合其几何特征易得答案.【详解】由题意得
7、到原ABC 的平面图为：其中，ADBC，BDDC，ABACAD，ABC 的 AB、AD、AC 三条线段中最长的是 AB，最短的是 AD故选：C【点睛】本题考查了斜二测画法，考查三角形中三条线段长的大小的比较，属于基础题11.由直线 y=x+1 上一点向圆（ x-3） 2+y2=1 引切线，则该点到切点的最小距离为（ ）A. 1 B. C. D. 3【答案】B【解析】【分析】从题意看出，切线长、直线上的点到圆心的距离、半径之间满足勾股定理，显然圆心到直线的距离最小时，切线长也最小【详解】从题意看出，切线长、直线上的点到圆心的距离、半径之间满足勾股定理，显然圆心到直线的距离最小时，切线长也最小圆心
8、到直线的距离为： .切线长的最小值为： .故选 B【点睛】本题考查直线和圆的方程的应用，圆的切线方程，考查转化的数学思想，是基础题12.若关于 x 的不等式 在 上恒成立，则实数 a 的取值范围是（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】两个函数的恒成立问题转化为最值问题，此题 4x-logax 对 恒成立，函数 的图象不在 y=logax 图象的上方对数函数另一方面要注意分类对底数 a 讨论即可求解。【详解】由题意得 4x- log ax 在 上恒成立，即当 时，函数 的图象不在 y=logax 图象的上方，由图知：当 a1 时，函数 的图象在 y=logax 图象的上方；当
9、0a1 时， ，解得 故选：A【点睛】本题考查了函数在其定义域内值域的问题，两个函数的恒成立问题转化为最值问题对数函数另一方面要注意分类对底数 a 讨论属于中档题二、填空题（本大题共 4 小题，共 20.0 分）13.函数 的定义域是_【答案】 .【解析】试题分析：由题意，要使函数有意义，则 ，解得： 且 .即函数的定义域为.考点：函数的定义域.14.长方体的一个顶点上的三条棱长分别是 3，4，5 ，且它的 8 个顶点都在同一个球面上，则这个球的表面积是 【答案】【解析】略15.直线（2m+1）x+（3m2）y+15m=0 被圆 x2+y2=16 截得弦长的最小值为 【答案】【解析】,由 ,所
10、以直线过定点 A(1,1)，圆心 C（0，0） ，当 AC 与直线垂直时弦长最小.因为 .16. 如图，已知四棱锥 PABCD，底面 ABCD 为正方形，PA平面 ABCD给出下列命题：PBAC；平面 PAB 与平面 PCD 的交线与 AB 平行；平面 PBD平面 PAC；PCD 为锐角三角形其中正确命题的序号是 （写出所有正确命题的序号）【答案】【解析】试题分析：ACBD=O，由题意证明 ACPO，由已知可得 ACPA，与在同一平面内过一点有且只有一条直线与已知直线垂直矛盾说明错误；由线面平行的判定和性质说明正确；由线面垂直的判定和性质说明正确；由勾股定理即可判断，说明错误解：如图，、若 P
11、BAC，ACBD，则 AC平面 PBD，ACPO，又 PA平面 ABCD，则 ACPA，在平面 PAC 内过 P 有两条直线与 AC 垂直，与在同一平面内过一点有且只有一条直线与已知直线垂直矛盾错误；、CDAB，则 CD平面 PAB，平面 PAB 与平面 PCD 的交线与 AB 平行正确；、PA平面 ABCD，平面 PAC平面 ABCD，又 BDAC，BD平面 PAC，则平面 PBD平面 PAC正确；、PD 2=PA2+AD2，PC 2=PA2+AC2，AC 2=AD2+CD2，AD=CD，PD 2+CD2=PC2，PCD 为直角三角形，错误，故答案为：考点：空间中直线与平面之间的位置关系三、
12、解答题（本大题共 6 小题，共 70.0 分）17.已知全集 , , .（）求 ；（）求 .【答案】 （） （）【解析】试题分析：两集合 A,B 的交集为两集合的相同的元素构成的集合，并集为两集合所有的元素构成的集合，补集为全集中除去集合中的元素，剩余的元素构成的集合试题解析：（）（）考点：集合的交并补运算18.三角形 ABC 的三个顶点 A（-3，0） ， B（2，1） ， C（-2，3） ，求：（1） BC 边所在直线的方程；（2） BC 边上高线 AD 所在直线的方程【答案】 （1） x+2y-4=0 （2）2 x-y+6=0【解析】【分析】（1）直接根据两点式公式写出直线方程即可； （
13、2）先根据直线的垂直关系求出高线的斜率，代入点斜式方程即可【详解】 （1） BC 边所在直线的方程为：= ，即 x+2y-4=0；（2） BC 的斜率 K1=- ， BC 边上的高 AD 的斜率 K=2， BC 边上的高线 AD 所在直线的方程为： y=2（ x+3） ，即 2x-y+6=0【点睛】此题考查了中点坐标公式以及利用两点式求直线方程的方法，属于基础题。19.如图，在四棱锥 P-ABCD 中，底面 ABCD 是正方形， PD底面 ABCD， M， N 分别是 PA， BC的中点，且 AD=2PD=2（1）求证： MN平面 PCD；（2）求证：平面 PAC平面 PBD；（3）求四棱锥
14、P-ABCD 的体积【答案】 （1）见解析 （2）见解析（3） 【解析】【分析】（1）先证明平面 MEN平面 PCD，再由面面平行的性质证明 MN平面 PCD； （2）证明 AC平面 PBD，即可证明平面 PAC平面 PBD； （3）利用锥体的体积公式计算即可【详解】 （1）证明：取 AD 的中点 E，连接 ME、 NE， M、 N 是 PA、 BC 的中点，在 PAD 和正方形 ABCD 中， ME PD， NE CD；又 ME NE=E， PD CD=D，平面 MEN平面 PCD，又 MN平面 MNE， MN平面 PCD； （2）证明：四边形 ABCD 是正方形， AC BD，又 PD底面
15、 ABCD， PD AC，且 PD BD=D， AC平面 PBD，平面 PAC平面 PBD；（3） PD底面 ABCD， PD 是四棱锥 P-ABCD 的高，且 PD=1，正方形 ABCD 的面积为 S=4，四棱锥 P-ABCD 的体积为VP-ABCD= S 四边形 ABCDPD= 41= 【点睛】本题考查了空间中的平行与垂直关系的应用问题，也考查了锥体体积计算问题，是中档题20.已知不过第二象限的直线 l： ax-y-4=0 与圆 x2+（ y-1） 2=5 相切（1）求直线 l 的方程；（2）若直线 l1过点（3，-1）且与直线 l 平行，直线 l2与直线 l1关于直线 y=1 对称，求直
16、线 l2的方程【答案】 （1）2 x-y-4=0 （2）2 x+y-9=0【解析】【分析】（1）利用直线 l 与圆 x2+（y-1） 2=5 相切， ，结合直线 l 不过第二象限，求出a，即可求直线 l 的方程；（2）直线 l1的方程为 2x-y+b=0，直线 l1过点（3，-1） ，求出 b，即可求出直线 l1的方程；利用直线 l2与 l1关于 y=1 对称，求出直线的斜率，即可求直线 l2的方程【详解】 （1）直线 l 与圆 x2+（ y-1） 2=5 相切， ，直线 l 不过第二象限， a=2，直线 l 的方程为 2x-y-4=0；（2）直线 l1过点（3，-1）且与直线 l 平行，直线
17、 l1的方程为 2x-y+b=0，直线 l1过点（3，-1） ， b=-7，则直线 l1的方程为 2x-y-7=0，直线 l2与 l1关于 y=1 对称，直线 l2的斜率为-2，且过点（4，1） ，直线 l2的斜率为 y-1=-2（ x-4） ，即化简得 2x+y-9=0【点睛】本题考查直线方程，考查直线与直线的位置关系，属于中档题21.如图，在直三棱柱 ABC-A1B1C1中， AC=BC=CC1， AC BC，点 D 是 AB 的中点（1）求证： CD平面 A1ABB1；（2）求证： AC1平面 CDB1【答案】 （1） 见解析（2）见解析【解析】【分析】（1）欲证 CD平面 A1ABB1
18、，可先证平面 ABC平面 A1ABB1，CDAB，面 ABC面A1ABB1=AB，满足根据面面垂直的性质； （2）欲证 AC1平面 CDB1，根据直线与平面平行的判定定理可知只需证 AC1与平面 CDB1内一直线平行，连接 BC1，设 BC1与 B1C 的交点为 E，连接 DE根据中位线可知 DEAC 1，DE平面 CDB1，AC 1平面 CDB1，满足定理所需条件【详解】 （1）证明： ABC-A1B1C1是直三棱柱，平面 ABC平面 A1ABB1 AC=BC，点 D 是 AB 的中点， CD AB，面 ABC面 A1ABB1=AB CD平面 A1ABB1（2）证明：连接 BC1，设 BC1
19、与 B1C 的交点为 E，连接 DE D 是 AB 的中点， E 是 BC1的中点， DE AC1 DE平面 CDB1， AC1平面 CDB1， AC1平面 CDB1【点睛】本题考查直线与平面平行的判定，直线与平面垂直的判定，考查学生空间想象能力，逻辑思维能力，是中档题22.已知函数 f（ x）= （ m Z）为偶函数，且在（0，+）上为增函数（1）求 m 的值，并确定 f（ x）的解析式；（2）若 g（ x）=log af（ x）- ax（ a0 且 a1） ，是否存在实数 a，使 g（ x）在区间2，3上的最大值为 2，若存在，求出 a 的值，若不存在，请说明理由【答案】 （1） 或 ，(2) 存在实数 ，使 在区间 上的最大值为 2【解析】试题分析：（1）由条件幂函数 ，在 上为增函数，得到解得 2 分又因为所以 或 3 分又因为是偶函数当 时， 不满足 为奇函数；当 时， 满足 为偶函数；所以 5 分（2） 令 ，由 得：在 上有定义， 且在 上为增函数. 7 分当 时，因为 所以 8 分当 时，此种情况不存在， 9 分综上，存在实数 ，使 在区间 上的最大值为 2 10 分考点：函数的基本性质运用。点评：解决该试题的关键是能理解函数的奇偶性和单调性的运用，能理解复合函数的性质得到最值，属于基础题。
